专题01反比例函数的六种类型（六种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题01反比例函数的六种类型（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01在密度中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示，当时，气体的密度是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（20-21九年级上·广东珠海·期末）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝100m3时，ρ＝1.4kg/m3；那么当V＝2m3时，氧气的密度为 kg/m3. 【例1-3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 【变式演练】 【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【变式1-2】（21-22九年级上·湖北襄阳·期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．则当时，二氧化碳的密度为 ． 【变式1-3】（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）也随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．    (1)求密度与体积的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当密闭容器的体积不能超过，直接写出密度的取值范围． 题型02在力学中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河北沧州·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，那么动力（    ）和动力臂为1.5m. A．360N B．400N C．450N D．500N 【例2-2】（2021九年级·广东·专题练习）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．实验数据记录如下：    x/cm … 10 15 20 25 30 … y/N … 30 20 15 12 10 … 则y与x之间的函数关系式为 ． 【例2-3】（23-24九年级上·山东临沂·期末）小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米．（杠杆定律：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，即：动力×动力臂=阻力×阻力臂） (1)动力F与动力臂有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）一杠杆装置如图．杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（    ）      A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【变式2-2】（23-24九年级上·河南·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，即：阻力阻力臂动力动力臂．其中阻力和阻力臂的反比例函数图像如图．在同一杠杆中若想使动力不超过，则动力臂至少需要（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023九年级上·全国·专题练习）问题背景：同学们一定都熟悉这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”它道出了“杠杆原理”的意义和价值，如图1，杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂． 解决问题：如图2，小伟用撬棍撬动一块大石头，已知平衡时，阻力和阻力臂分别为1600N和m． (1)①求动力F和动力臂L的函数关系式． ②当动力臂为2m时，撬动这块石头高于平衡位置，至少需要的力为　　N．（直接写出答案） (2) 若想动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂L至少要加长多少？ 题型03在电磁学中的应用 【典例分析】 【例3-1】1888年，海因里希•鲁道夫•赫兹证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础．电磁波波长λ（单位：米）、频率f（单位：赫兹）满足函数关系λf＝3×108，下列说法正确的是（　　） A．电磁波波长是频率的正比例函数 B．电磁波波长20000米时，对应的频率1500赫兹 C．电磁波波长小于30000米时，频率小于10000赫兹 D．电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹 【例3-2】车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为 ． 【例3-3】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化，已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 6 (1)求波长λ关于频率f的函数关系式； (2)当时，求此电磁波的频率f． 【变式演练】 【变式3-1】在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A．波长是频率的正比例函数 B．波长为m时，频率为Hz C．波长大于m时，频率大于Hz D．波长小于m时，频率大于Hz 【变式3-2】（2023九年级·全国·专题练习）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f/MHz 10 15 50 波长λ/m 30 20 6 (1)求波长λ关于频率f的函数解析式； (2)当f=75 MHz时，求此电磁波的波长λ． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江台州·期末）电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．下表是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 15 20 25 波长（m） 30 20 15 12 (1)在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式； (2)当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？ 题型04在电学中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（       ） A．4 B．9 C．32 D．0 【例4-2】（23-24九年级上·山东滨州·期末）已知家庭电路中电灯两端的电压U为，若所选用灯泡的电阻R不低于，则通过此灯泡的电流强度I最大不超过 A． 【例4-3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻R为时，求电流I． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的取值范围是 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 题型05反比例函数与三角形的综合应用 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例5-2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图所示，双曲线上有一动点A，连接，以O为直角顶点、为直角边，构造等腰直角三角形，则面积最小时点A坐标为 ． 【例5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图（），一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图（）中的图象，请直接写出关于的不等式的解集． (3)如图（），在线段上取点（不与点，重合），连接，交反比例函数的图象于点，连接．当时，求点的坐标． 【变式演练】 【变式5-1】（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，点为双曲线上一点，点为轴正半轴上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别是，．，，则函数的图像经过点C，则k的值为 ． 【变式5-3】（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数（）的图象经过点A和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直线上有一点C，使得，直接写出点C的坐标． 题型06反比例函数与四边形的综合应用 【典例分析】 【例6-1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，A，B是函数与的图象的两个交点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，，则四边形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例6-2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，反比例函数的图象与正方形的边，分别交于点，．若为的中点，则正方形的边长为 ． 【例6-3】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． (1)求反比例函数的表达式及点、的坐标； (2)点P在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的倍，求点的坐标． 【变式演练】 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C和边的中点D．若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，点是边的中点，点均在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则平行四边形的面积为 ． 【变式6-3】．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 一、单选题 1．（22-23九年级上·山东淄博·期末）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象经过的中点E，与边交于点F，作轴于点M，轴于点N．若阴影部分（四边形）的面积等于，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 二、填空题 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为时，电阻为 ． 6．（2021九年级上·全国·专题练习）一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，kg/m3，当V＝40m3时， kg/m3． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线和相交于A、B两点，已知点A的坐标为，且，则点C的坐标是 ． 三、解答题 8．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，点D，与反比例函数图象的其中一个交点为点，过点B作轴于点C． (1)填空： _____，点B的坐标为_____，反比例函数的表达式为：_________． (2)在第二象限反比例函数的图象上有一点P，且的面积为3，求点P的坐标． (3)在x轴上是否存在一点M，使得以点M、A、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（22-23九年级上·全国·单元测试）一定质量的二氧化碳，当它的体积 时，它的密度． (1)求与之间的函数表达式． (2)当气体的体积是时，它的密度是多少？ (3)当气体的密度为时，它的体积是多少？ 10．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、．若的面积为． (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01反比例函数的六种类型（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01在密度中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示，当时，气体的密度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先利用待定系数法求出密度与体积的函数关系式，再把代入即可求出答案，正确求出反比例函数的关系式是解题的关键. 【详解】解：∵密度是体积的反比例函数， ∴设， 由题意可得：点在反比例函数图象上， ∴，即， ∴， ∴当时，气体的密度； 故选：D. 【例1-2】（21-22九年级上·广东河源·期末）一定质量的干木，当它的体积 时，它的密度 ，则 与 的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据质量，密度，体积的关系求函数关系式． 【详解】解：设干木的质量为k千克，由题意得： ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求反比例函数关系式，理清质量，密度，体积之间的关系是求解本题的关键． 【例1-3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，即可解答， 熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； （2）解：当时，代入，可得， 解得：． 【变式演练】 【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【详解】易得反比例函数表达式为． A．当液体密度时，浸在液体中的高度，故不符合题意； B．当液体密度时，浸在液体中的高度，故不符合题意； C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故符合题意； D．当液体的密度时，浸在液体中的高度，故不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（21-22九年级上·湖北襄阳·期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．则当时，二氧化碳的密度为 ． 【答案】1.1 【分析】观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当V＝9时的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将（5，1.98）代入表达式中得， ∴反比例函数的解析式为， 当V＝9时，， ∴当V＝9m3时，气体的密度是1.1kg/m3， 故答案为：1.1． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【变式1-3】（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）也随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．    (1)求密度与体积的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当密闭容器的体积不能超过，直接写出密度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设密度（单位：）与体积（单位：）的反比例函数解析式为，把点代入解析式根据待定系数法即可求得； （2）把代入解析式即可求出的值； （3）结合的取值范围，即可求出二氧化碳密度的变化范围． 【详解】（1）解：设密度关于体积的函数解析式为． 当时，， ， ， 密度关于体积的函数解析式为； （2）把代入， 得， ； （3）， ， ， ， ， 即密度的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数解析式． 题型02在力学中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河北沧州·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，那么动力（    ）和动力臂为1.5m. A．360N B．400N C．450N D．500N 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，代入有关数据计算即可． 【详解】解：由题意可知：动力×动力臂=阻力×阻力臂， 即：， 解得． 故选：B． 【例2-2】（2021九年级·广东·专题练习）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．实验数据记录如下：    x/cm … 10 15 20 25 30 … y/N … 30 20 15 12 10 … 则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，利用待定系数法求，将其余各点代入验证均适合即可． 【详解】解：由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设， 把，代入得：， ∴， 将其余各点代入验证均适合， ∴y与x的函数关系式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的关系判断，与待定系数法求反比例函数解析式，掌握反比例函数中，是判断反比例函数的关键． 【例2-3】（23-24九年级上·山东临沂·期末）小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米．（杠杆定律：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，即：动力×动力臂=阻力×阻力臂） (1)动力F与动力臂有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【答案】(1)，撬动石头至少需要400牛顿的力 (2) 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键． （1）直接利用：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出F与l之间的关系； （2）直接利用动力F不超过题（1）中所用力的一半，进而得出l的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 当动力臂为1.5米时， 则撬动石头至少需要：（牛顿）， 答：动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要400牛顿的力； （2）当动力不超过题（1）中所用力的一半，即， 则， 解得：， 即动力臂至少要加长， 答：动力臂至少要加长 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）一杠杆装置如图．杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（    ）      A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【答案】C 【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断． 【详解】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得， ∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变， ∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远， ∵最小， ∴丙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远． 故选：C 【点睛】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键． 【变式2-2】（23-24九年级上·河南·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，即：阻力阻力臂动力动力臂．其中阻力和阻力臂的反比例函数图像如图．在同一杠杆中若想使动力不超过，则动力臂至少需要（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上的点，确定解析式，计算N时，得值，根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】设反比例函数的解析式为，根据题意，得， 解得， ∴， 当N时，， ∵时，在每个象限内，F随L的增大而减小， ∴至少需要， 故选B． 【变式2-3】（2023九年级上·全国·专题练习）问题背景：同学们一定都熟悉这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”它道出了“杠杆原理”的意义和价值，如图1，杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂． 解决问题：如图2，小伟用撬棍撬动一块大石头，已知平衡时，阻力和阻力臂分别为1600N和m． (1)①求动力F和动力臂L的函数关系式． ②当动力臂为2m时，撬动这块石头高于平衡位置，至少需要的力为　　N．（直接写出答案） (2)若想动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂L至少要加长多少？ 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与之间的关系是解题关键． （1）①直接利用：阻力阻力臂动力动力臂，得出关系即可；②把代入①中关系式计算即可； （2）直接利用动力F不超过题（1）中所用力的一半，进而得出的值． 【详解】（1）解：①∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别为1600N和， ∴， 即； ②当时，， （2）当时，即， 解得， ∴， 答：动力臂L至少要加长． 题型03在电磁学中的应用 【典例分析】 【例3-1】1888年，海因里希•鲁道夫•赫兹证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础．电磁波波长λ（单位：米）、频率f（单位：赫兹）满足函数关系λf＝3×108，下列说法正确的是（　　） A．电磁波波长是频率的正比例函数 B．电磁波波长20000米时，对应的频率1500赫兹 C．电磁波波长小于30000米时，频率小于10000赫兹 D．电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹 【答案】D 【分析】根据电磁波波长λ（单位：米）、频率f（单位：赫兹）满足的函数关系式λf＝3×108 可以对题目每个选项的正确性进行逐一甄别． 【详解】解：A、∵函数关系λf＝3×108，∴电磁波波长是频率的反比例函数，故错误，不符合题意； B、当λ＝20000米时，f＝＝15000赫兹，故错误，不符合题意； C、∵f＝，∴f随着λ的增大而减小，∴电磁波波长小于30000米时，频率大于10000赫兹，故错误，不符合题意； D、电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹，故正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的表达式和性质，准确把握反比例函数的增减性和表达式是解题关键． 【例3-2】车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式以及求反比例函数的自变量，设反比例函数为：，用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后再根据函数值求自变量即可． 【详解】解：设反比例函数为：， 由函数图像可知，函数过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：， 当时，则：， 故答案为：30． 【例3-3】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化，已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 6 (1)求波长λ关于频率f的函数关系式； (2)当时，求此电磁波的频率f． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数—物理知识综合题，解题关键是波长λ与频率f是反比例函数关系． （1）由波长λ与频率f是反比例函数关系可得，将表格数据代入即可． （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：已知波长λ与频率f是反比例函数关系， 设波长λ与频率f的函数表达式为：， 由表可知：当时，代入得： ， 故波长λ与频率f的函数表达式为：． （2）将代入， 解得：， 故当时，电磁波的频率． 【变式演练】 【变式3-1】在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A．波长是频率的正比例函数 B．波长为m时，频率为Hz C．波长大于m时，频率大于Hz D．波长小于m时，频率大于Hz 【答案】D 【分析】根据正比例函数和反比例函数的概念及性质分析即可． 【详解】解：A、， ， 波长是频率的反比例函数，故此选项错误，不符合题意； B、，让， ，故此选项错误，不符合题意； C、，让， ，波长大于时，频率小于Hz，故此选项错误，不符合题意； D、，让， ，波长小于时，频率大于Hz，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例和反比例函数的概念、反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质得应用 【变式3-2】（2023九年级·全国·专题练习）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f/MHz 10 15 50 波长λ/m 30 20 6 (1)求波长λ关于频率f的函数解析式； (2)当f=75 MHz时，求此电磁波的波长λ． 【答案】(1)λ= (2)4 m 【详解】8．解 （1）设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=（k≠0）， 把点（10，30）代入上式中，得=30，解得k=300，∴λ=． （2）当f=75 MHz时，λ==4． ∴当f=75 MHz时，此电磁波的波长λ为4 m． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江台州·期末）电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．下表是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 15 20 25 波长（m） 30 20 15 12 (1)在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式； (2)当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？ 【答案】(1)； (2)波长至少是米． 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值，反比例函数的性质等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （）根据可判断反比例函数能反映波长与频率的变化规律，设解析式为，用待定系数法求解即可； （）解方程，由反比例函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴反比例函数能反映波长与频率的变化规律， 设波长关于频率的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）解：∵， ∴， ∵当电磁波的频率为时， ∴， 解得：， 由反比例函数的性质知，当电磁波的频率不超过时，， 答：波长至少是米． 题型04在电学中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（       ） A．4 B．9 C．32 D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意，设，当时，， ∴， ∴； ∴当时，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，理解反比例函数的定义是解题关键． 【例4-2】（23-24九年级上·山东滨州·期末）已知家庭电路中电灯两端的电压U为，若所选用灯泡的电阻R不低于，则通过此灯泡的电流强度I最大不超过 A． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．根据，代入公式，列不等式计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． ∴通过此灯泡的电流强度I最大不超过． 故答案为：． 【例4-3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻R为时，求电流I． 【答案】电流I为 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，进而求出当时，I的值即可得到答案． 【详解】解：设电流I与电阻R的函数关系式为． 把代入中，得，解得，                     ∴电流I与电阻R的函数关系式为， ∴当时，， ∴电流I为． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：A． 【变式4-2】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法即可求出电流关于电阻的函数关系式，将代入函数关系式解出即可． 【详解】解：设， 根据题目条件知，当时，， 故， ， ， 当电流时， 即， ， 所以当电路中的电流时，电阻的取值范围是， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【答案】(1)反比例函数 (2) (3)串入的滑动电阻需增加欧姆 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可． 【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； （2）， ， ； （3）A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 题型05反比例函数与三角形的综合应用 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，将的面积转化为梯形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3， ∴， ∴，解得：， ∴， 过点作轴，过点作轴，则：，， ∴， ∴； 故选B． 【例5-2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图所示，双曲线上有一动点A，连接，以O为直角顶点、为直角边，构造等腰直角三角形，则面积最小时点A坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，求得取最小值时A的坐标是解题的关键．根据等腰直角三角形性质得出，先求得取最小值时的长，从而求得A的坐标． 【详解】解：∵由题意得是等腰直角三角形，， ∴， ∴取最小值时，面积的值最小， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，此时， 解得：或，经检验都是原方程的根； ∵， ∴，， ∴此时A的坐标为， 故答案为：． 【例5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图（），一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图（）中的图象，请直接写出关于的不等式的解集． (3)如图（），在线段上取点（不与点，重合），连接，交反比例函数的图象于点，连接．当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到点坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （）根据函数图象解答即可求解； （）分别过点作轴轴，轴于点，由可得，进而由得到，设点的坐标，可得点的坐标为，再把点的坐标代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴反比例函数的表达式为， 将代入得，， ∴， 将代入一次函数中，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，分别过点作轴，轴于点，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标， ∴，， ∴点的坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【变式演练】 【变式5-1】（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，点为双曲线上一点，点为轴正半轴上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，作轴于，如图，设，根据勾股定理得，求得或，进而求得点的坐标，再利用三角形面 积公式即可求得，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，如图，设， ∴，， ∵，， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的面积为或， 故选：． 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别是，．，，则函数的图像经过点C，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的性质和等腰直角三角形，解题关键是恰当构建直角三角形，利用等腰直角三角形求出点C坐标； 作于点D，利用等腰直角三角形求出点C坐标，再求出k的值即可． 【详解】解：作于点D， ∵点A，B的坐标分别是， ∴， ∵， ∴， ∴设， 则点C坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， 点C坐标为， ∴k的值为4， 故答案为：4． 【变式5-3】（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数（）的图象经过点A和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直线上有一点C，使得，直接写出点C的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，解直角三角形等知识点，求出反比例函数的解析式和求出的面积是解答此题的关键． （1）把代入求出m值，再代入反比例函数的表达式，即可求出答案； （2）过A，B作于G，作于H．推出，根据．即可求出答案； （3）作于E．根据，得，当C在A上方时．，由 ．得．求得，．得．当C在A下方时，，得，．得． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴． ∴． ∴． ∵反比例函数的图象经过点A， ∴． ∴． ∴反比例函数解析式为． （2）如图，连接，分别过A，B作于G，作于H． ∵在反比例函数上， ∴． ∴． ∵， ∴ ． ∴． （3）作于E．设点B到直线在距为h， ∵， ∴． ∴， 当C在A上方时．， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴，． ∴． ②当C在A下方时，， ∴． ∴，． ∴． 综上，或． 题型06反比例函数与四边形的综合应用 【典例分析】 【例6-1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，A，B是函数与的图象的两个交点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，，则四边形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义．根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积． 【详解】解：根据正比例函数和反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：A． 【例6-2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，反比例函数的图象与正方形的边，分别交于点，．若为的中点，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，由四边形是正方形，则，，设，则，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 【例6-3】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． (1)求反比例函数的表达式及点、的坐标； (2)点P在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识； （1）根据点的坐标，矩形的性质可求点的纵坐标，点的横坐标，把点的纵坐标、点的横坐标代入直线解析式可求点的横坐标、点的纵坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出，即可求解； （2）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的倍”可求点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 把的坐标代入得：， 解得， ∴反比例函数的表达式是． 将代入得：， ∴． （2）解：由题意可得： ， ∵的面积是四边形面积的3倍， ∴， 即，解得， ∴． 【变式演练】 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C和边的中点D．若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何应用，解题的关键是数形结合． 设点，，根据平行四边形的性质得出点，根据中点得出．再根据的图象经过点C，D，得出．根据，得出，从而得出，根据求解即可． 【详解】解：设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则点， ∵点D是边的中点， ∴． ∵的图象经过点C，D， ∴， 解得：． ∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，点是边的中点，点均在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，如图，过点作轴于，过点作轴于，利用平行四边形的性质可得，进而可得，，反比例函数解析式为，再根据可得，即得，，得到，最后根据平行四边形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴轴，，， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 把代入得，， ∴, ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积， 故答案为：． 【变式6-3】．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设，利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ． 如图，C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 一、单选题 1．（22-23九年级上·山东淄博·期末）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴，整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 2．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的性质与判定，反比例函数与图形结合．解题的关键是将的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．设，则可表示；由矩形及点D在反比例函数图象上，；再由，可证明，由相似三角形的性质即可求得的值，从而求得k的值． 【详解】解：设，则； 在矩形中，，轴； ∵点D在反比例函数图象上， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∴； ∵的面积是8， ∴， 即， ∴， 即 ∴； 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，解题的关键是根据进行计算． 设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ∴， 点，在反比例函数的图象上， ， ∴， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象经过的中点E，与边交于点F，作轴于点M，轴于点N．若阴影部分（四边形）的面积等于，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，设，得以得到点，然后可以得到，然后得到点F的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵三角形，三角形是等腰直角三角形， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． 故选D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为时，电阻为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质，设该反比函数解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入所得解析式计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设该反比函数解析式为，把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 6．（2021九年级上·全国·专题练习）一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，kg/m3，当V＝40m3时， kg/m3． 【答案】0.68 【分析】直接利用已知设，进而代入已知数据得出答案； 【详解】解：设，当V＝20m3时，kg/m3， ∴， 解得：， ∴当V＝40m3时，把代入得：（kg/m3）， 故答案为：0.68． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线和相交于A、B两点，已知点A的坐标为，且，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．过A作轴于D，过B作轴于E，依据，即可得到，设，则，即可得到，根据点B在双曲线上，即可得到a的值，进而得出点C的坐标是． 【详解】解：如图，过A作轴于D，过B作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点B在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，点D，与反比例函数图象的其中一个交点为点，过点B作轴于点C． (1)填空： _____，点B的坐标为_____，反比例函数的表达式为：_________． (2)在第二象限反比例函数的图象上有一点P，且的面积为3，求点P的坐标． (3)在x轴上是否存在一点M，使得以点M、A、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、一次函数和反比例函数交点问题． （1）把代入得到，得到一次函数解析式为，把点代入得到，求出点，把代入得到，即可得到反比例函数解析式； （2）求出点C的坐标为，则，设点P的坐标是，其中，由的面积为3得到，解得，即可求出点P的坐标； （3）证明，当点M与点C重合时，满足题意，此时点M的坐标是；当，点M在x轴上，证明，则，再求出的长度，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：把代入得到 ， 解得， ∴， 把点代入得到 ， 解得， ∴点， 把代入得到， ∴， 故答案为：，， （2）解：∵点B作轴于点C． ∴点C的坐标为， ∴， 设点P的坐标是，其中， ∵的面积为3， ∴， 解得， ∴点P的坐标是； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， 当点M与点C重合时，满足题意，此时点M的坐标是； 如图，当，点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点D的坐标为，即， ∵，，点C的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 综上可知，点M的坐标为或． 9．（22-23九年级上·全国·单元测试）一定质量的二氧化碳，当它的体积 时，它的密度． (1)求与之间的函数表达式． (2)当气体的体积是时，它的密度是多少？ (3)当气体的密度为时，它的体积是多少？ 【答案】(1)（） (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．关键是建立函数关系式，会运用函数关系式解题． （1）根据：质量体积密度，可知，可求与的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数式可求； （3）将代入（1）中的函数式可求． 【详解】（1）解：由已知，得， （）； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、．若的面积为． (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2)的面积为． 【分析】（）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的面积为，即， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$