精品解析：江西省上饶市鄱阳洪迈学校2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

江西省2025届九年级期中综合评估 数学 上册21．1~24．1 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内． 错选、多选或未选均不得分． 1. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 2. 以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（ ） A. 7 B. 3 C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（ ） A. 2，，11 B. 2，，5 C. ，，11 D. ，8，5 6. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的解是__． 8. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 9. 如图，是半圆O的直径，，为的中点，连接，则的度数为__________． 10. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________．（结果化为一般式） 11. 在平面直角坐标系中，若抛物线向左平移2个单位长度后经过点，则的最大值为__________． 12. 如图，在矩形中，连接，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的周长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，且于点，求的度数． 14. 某件夏天T恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率． 15. 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，求的长． 16. 如图，是的直径，点，点在上，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在上作一点，使得是以为底边的等腰三角形． （2）如图2，在上方作一点，使得为等边三角形． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴没有交点． （1）求的取值范围． （2）请直接写出抛物线顶点所在的象限． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标． （2）当时，请利用图象，直接写出的取值范围． （3）当时，请利用图象，直接写出的取值范围． 19. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，． （1）求证：点，，在同一条直线上． （2）若，，求的面积． 20. 某主播销售一种商品，已知这种商品的成本价为20元/个，规定销售价格不低于成本价，且不高于成本价的2倍，通过前几天的销售发现，该商品每天的销售量（单位：个）与销售价格（单位：元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表： /（元/个） … 23 25 28 110 /个 … 540 500 440 … （1）求出关于的函数关系式，并直接写出的取值范围． （2）求销售该商品每天的最大利润． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． （1）如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 （2）如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，． （1）求该抛物线的解析式． （2）若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标． （3）当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，是等边内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 初步感知 （1）如图1，的延长线与交于点，求的度数． 特例应用 （2）如图2，作点关于的对称点，若点在的角平分线上． ①当点与点重合时，的长为______； ②当点与点不重合时，判断四边形的形状，并证明． 拓展延伸 （3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，记为，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2025届九年级期中综合评估 数学 上册21．1~24．1 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内． 错选、多选或未选均不得分． 1. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，一般地，形如（其中，且）的函数叫做二次函数，据此可得． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， 故选：B． 2. 以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念判断． 【详解】解：选项A、B、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 3. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（ ） A. 7 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为，，则，．设方程的另一根为，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆周角定理得到，再由圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解；∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（ ） A. 2，，11 B. 2，，5 C. ，，11 D. ，8，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，由题意得出，结合题意得出抛物线的顶点坐标为，求出点关于轴对称的点的坐标为，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数关于轴对称的图象，再绕图象的顶点旋转，所得抛物线与抛物线的开口方向相同， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴最后得到的抛物线的解析式为， ∴． 故选：A． 6. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 8. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（2，） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（，4）关于原点对称的点的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 9. 如图，是半圆O的直径，，为的中点，连接，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理；根据题意得出，进而根据圆周角定理得出，根据，即可求解． 【详解】∵是半圆O的直径， D为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 10. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________．（结果化为一般式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，则，求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∵甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 整理得：， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若抛物线向左平移2个单位长度后经过点，则的最大值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，熟知以上知识是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律，可得到抛物线，将点代入，得，根据平方的非负性可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度后可得，平移后经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴有最大值为9 故答案为：9． 12. 如图，在矩形中，连接，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的周长为__________． 【答案】3或或 【解析】 【分析】分三种情况：当时，此时，当时，此时，当时，此时，分别求解即可得解． 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时， 此时 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴的周长为； 如图，当时，此时 ， ∴， ∴． ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴的周长为 如图，当时，此时 ∴， ∴． ∴的周长为 综上所述，的周长为3或或 故答案为：3或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，且于点，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得解； （2）由旋转的性质可得，，再求出的度数即可得解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ，． （2）解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，． 又， ， ． 14. 某件夏天T恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率． 【答案】平均每次降价的百分率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为． 由题意得， 解得，（舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． 15. 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出,在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：是的中点，， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 16. 如图，是的直径，点，点在上，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在上作一点，使得是以为底边的等腰三角形． （2）如图2，在上方作一点，使得为等边三角形． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2） 如图，F点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等知识，熟练掌握相关图形的基本性质是解题关键． （1）如图，连接与交于点，即所求． （2）如图，延长，交于F点，连接，即所求． 【小问1详解】 如图，连接与交于点，即所求． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． 【小问2详解】 如图，延长，交于F点，连接，即所求． ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴没有交点． （1）求的取值范围． （2）请直接写出抛物线顶点所在的象限． 【答案】（1） （2）第二象限 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、二次函数图像的性质等知识点，熟练掌握抛物线与对应方程的关系是解题的关键． （1）由抛物线与x轴没有交点，可得对应方程的判别式小于零，据此列不等式求解即可； （2）先把抛物线解析式写成顶点式，然后确定顶点坐标，最后根据c的取值范围确定顶点所在象限即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴没有交点， ∴方程没有实数解， ，即，解得． 【小问2详解】 解：， 该抛物线的顶点坐标为． ， ， 点在第二象限． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标． （2）当时，请利用图象，直接写出的取值范围． （3）当时，请利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）把代入，可求出的值，得出抛物线解析式，进行配方即可得出抛物线顶点坐标； （2）根据二次函数的增减性结合函数图象，求出当时，y的取值范围即可； （3）先求出抛物线与x轴的两个交点，结合函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入，得： ， 解得，； ∴ 所以，抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的顶点坐标为， 当时；； 当时，， 所以，当时，结合图象可知，； 【小问3详解】 解：当时，， 解得，， 所以，根据图象得，当时，的取值范围是或． 19. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，． （1）求证：点，，在同一条直线上． （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：是由绕点A顺时针旋转得到的， ，， ， ． 又， ， 点，，在同一条直线上． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由旋转的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，，，则有，然后问题可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ． ， ． ， ． 20. 某主播销售一种商品，已知这种商品的成本价为20元/个，规定销售价格不低于成本价，且不高于成本价的2倍，通过前几天的销售发现，该商品每天的销售量（单位：个）与销售价格（单位：元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表： /（元/个） … 23 25 28 110 /个 … 540 500 440 … （1）求出关于的函数关系式，并直接写出的取值范围． （2）求销售该商品每天的最大利润． 【答案】（1） （2）销售该商品每天的最大利润为4500元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设关于的函数关系式为，根据表中数据利用待定系数法求解； （2）根据成本、售价、销量之间的关系列出W关于x的二次函数，再求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数关系式为． 将，代入上式， 得，解得， ． 【小问2详解】 解：设销售该商品每天的利润为元． 由题意得． ，， 当时，取得最大值，且最大值为4500． 答：销售该商品每天的最大利润为4500元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． （1）如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 （2）如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 【答案】（1） ． 证明：， ， ，即． （2） ①证明：是的中点， ． ， ， ， ， ． ② 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． （1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图，过点作，是垂足，连接． 在中，，， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，． （1）求该抛物线的解析式． （2）若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标． （3）当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】利用待定系数法，把点的坐标代入解析式中，求得的值，即可求解； 由抛物线解析式可求得点、的坐标，则可求得点的坐标，从而可求得的面积；由题意求得的边上的高，由点在抛物线上，可求得点的横坐标； 设点的坐标为，由待定系数法求得直线的解析式为；过点作轴，交于点．则可得点的坐标，从而求得；则可得关于的二次函数关系式，由二次函数的性质即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入抛物线， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 当时，可得：， 解得：，， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ， ， ， 其中为的边上的高，， ， 点的纵坐标为， 或， 或， 点的横坐标为或； 【小问3详解】 由知，； 设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式中, 可得：， 解得：， ． 如上图所示，过点作轴，交于点． 当时，， 点的坐标为， ， 则， 当时，的值最大，且最大值为， 故的最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最大值，求二次函数与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，是等边内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 初步感知 （1）如图1，的延长线与交于点，求的度数． 特例应用 （2）如图2，作点关于的对称点，若点在的角平分线上． ①当点与点重合时，的长为______； ②当点与点不重合时，判断四边形的形状，并证明． 拓展延伸 （3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，记为，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（1）； （2）①， ②四边形为平行四边形． 证明：如图1，连接． 图1 在等边中，平分， ． 又，关于对称， ，， ， ． 在等边中，，， ． 在等边中，，， ， ， ， ，． 平分， ， ， ， 为等边三角形， ， ． ，， 四边形为平行四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，然后利用“8”字型有，即可求解； （2）①先证明当点与点重合时，点E、P、B在直线上，，再由（1）知：，所以，所以，由勾股定理求得，，即可由求解． ②先证明，再证明，得到，．然后证明为等边三角形，得到，从而得出．即可由平行四边形的判定得出结论． （3）设与的交点记为．先证明，得到，从而得到，即可得到点的运动路径为图2中的长，为的中点，再证明是等边三角形．得到，又由是的中点，得，，即可由勾股定理求解． 【详解】解：（1）， ，即． 又，， ， ． ， ． （2）①如图， 是等边的角平分线， ， ， 点在上， ， 点关于的对称点，点与点重合， 点与点关于的对称， 点E、P、B在直线上， ， 由（1）知：， ， ， ∴， ， ， ． 故答案为：． ②略 （3）将图1中与的交点记为． 由（2）知． ， ， ， 即， ，， ∴ ， ． 如图2，当点从点运动到点时． 图2 ， 点的运动路径为图2中的长，为的中点， 连接，． ，同理可得， 是等边三角形． ∴， 是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理．此题词综合性较强，属中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $