精品解析：内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

赤峰第四中学2024-2025学年度上学期月考试题 高一数学 本试卷共6页19小题，共150分，考试时间120分钟 注意事项； 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：（本大题共11小题.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上奇函数，，当时函数单调递增，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. （二）多选题：每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给定函数，，对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的最大值是 C. 函数在递增 D. 函数有四个单调区间 10. 已知定义域为R函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上为增函数 C. D. 11. 定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，则使得不等式成立的的取值可能是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知幂函数的图象过点，则______. 13. 函数的单调递增区间为______. 14. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 三、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设为实数，集合，. （1）若，求， （2）若，求实数的取值范围. 16. 计算下列各式的值： （1） （2）. 17. 已知关于不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 18. 2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润多少？请说明理由. 19. 已知函数为奇函数. （1）写出的定义域，并求的值； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2024-2025学年度上学期月考试题 高一数学 本试卷共6页19小题，共150分，考试时间120分钟 注意事项； 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：（本大题共11小题.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别确定集合，再根据交集的概念求解即可． 【详解】因为， 所以， ， 所以． 故选：A． 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：B 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 又，，， 所以， 所以函数有唯一零点，且在内. 故选：C 4. 设，则“”是“”（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根充要条件的定义即可求解. 【详解】由于， 故， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得结果. 【详解】易知，因此， 当且仅当时，等号成立，的最小值是6. 故选：B 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，从而可求得的取值范围． 【详解】因为函数是上的减函数， 所以；解得. 故选：A 8. 定义在R上奇函数，，当时函数单调递增，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出的图象，数形结合，求得的解集． 详解】由题意可得，(1)，在上单调递增，的图象如图所示： 再根据，可得与异号，①，或②． 由①可得x∈，由②可得，故的范围是：． 故选：D． （二）多选题：每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给定函数，，对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的最大值是 C. 函数在递增 D. 函数有四个单调区间 【答案】AD 【解析】 【分析】可作出函数草图，数形结合，判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：由图可知，的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故A正确； 对B：由图可知，函数在上单调递增，且，所以，当时，，故B错误； 对C：由图象可知，函数在上单调递减，故C错误； 对D：由图象可知，函数在和上单调递减，在和上单调递减，所以函数有四个单调区间.故D正确. 故选：AD 10. 已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上为增函数 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数的性质可得图象关于直线对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为函数为偶函数，其图象关于对称， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B，函数在上为增函数且函数的图象关于对称， 所以函数在上为减函数，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于对称，且函数在上为增函数， 所以，故C错误； 对于D，由于， 因为函数在上为减函数，且， 所以，即，故D正确. 故选：AD 11. 定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，则使得不等式成立的的取值可能是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数的新定义得出函数的对称中心和单调性，即可得出函数有奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性解不等式即可． 【详解】因为函数满足条件①， 所以当时，，故是减函数， 又函数满足条件②，则的图象关于点对称， 由于函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数是以为对称中心，即函数是奇函数， 又是减函数，所以也是减函数， 不等式化为， 所以，解得或，只有AD满足． 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，将点代入，解出，即可求解. 【详解】设，因为函数的图象过点， 所以，解得，所以， 所以. 故答案为： 13. 函数的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性，即转化为求在定义域上的减区间即可. 【详解】因为，解得或， 所以函数的定义域为， 设，则原函数， 因为在单调递减， 在单调递减，在单调递增， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 【答案】 ①. ②. （也可以写作） 【解析】 【分析】确定，根据线段间的关系计算，确定，根据得到不等式. 【详解】，， ， 由可得，即． 故答案为：； 三、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设为实数，集合，. （1）若，求， （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出时集合，再利用集合的运算即可解； （2）根据得出关于的不等式，求解即可. 【小问1详解】 时，， 所以， 所以或； 【小问2详解】 由，得或， 即或， 所以实数的取值范围是. 16. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数运算法则，即可求得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得到和是方程的两根，再由韦达定理即可求解； （2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得，解得，； 【小问2详解】 由（1）得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最小值， 即的最小值为. 18. 2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1） （2）当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，，而， 所以函数的解析式为， 即. 【小问2详解】 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 19. 已知函数为奇函数. （1）写出的定义域，并求的值； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为， （2）函数定义域上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解，根据奇函数的定义即可验证奇偶性， （2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性即可求解， （3）根据函数的单调性以及奇偶性，结合二次型函数恒成立，利用判别式即可求解. 【小问1详解】 对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 满足， 所以，当时，函数为奇函数. 【小问2详解】 由（1）知：， 则函数在定义域上单调递增， 证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，， 所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增. 【小问3详解】 因为不等式对任意的恒成立， 且函数为上的奇函数， 所以，对任意的恒成立， 又因为函数为增函数，则， 则对任意的恒成立， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $