2024年九年级中考数学一轮复习备考知识清单分式

分式——中考数学一轮复习备考知识清单 知识梳理 一、分式的有关概念 分式：如果表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式 最简分式：分子和分母没有公因式的分式 有关结论：分式有意义的条件为；条件为且 【拓展延伸】 （1）分式是一种特殊的代数式，与其他代数式的计算方法相同，求分式的值就是将分式中的字母用数代替，再进行计算，所得的结果就是分式的值. （2）对于分式，若分式的值为正，则同号；若分式的值为负，则异号；若分式的值为1，则且；若分式的值为，则且. 【规律方法】 求使分式的值为0所需的条件时，首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值. 【易错点津】 （1）分式的值为零是在分式有意义的前提条件下才可以考虑的，若使分子等于零的数使分母为零，则必须舍去. （2）解题时易出现只考虑分子为零，而忽略了分母不能为零的情况. 二、分式的基本性质的应用 文字语言 数学语言 举例 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. ， 其中是整式 ， 其中是整式 【拓展延伸】 （1）运用分式的基本性质时，一定要注意关键词“同一个”与“不等于零”. （2）分式符号的变化：一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，可用式子表示为. 【规律方法】 不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数分两种情况： （1）对于各项系数为小数的分式，分子、分母要同时乘相应的倍数. （2）对于各项系数是分数的分式，要将分子和分母同乘分数分母的最小公倍数. 【易错点津】 （1）在分式的基本性质中，是隐含的已知条件，而则是附加的限制条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调这个前提条件. （2）应用分式的基本性质时，要避免犯只乘（或除以）分子（或分母）的错误. （3）若分式的分子或分母是多项式，则运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式. 三、分式的化简与求值 分式的约分、最简分式 约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即. 方法 如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个是多项式，就先分解因式. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【拓展延伸】 （1）约分的依据是分式的基本性质. （2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式. （3）约分的结果是整式或最简分式. 【规律方法】 分式约分的一般步骤： （1）分解因式：当分子、分母中有多项式时，应先分解因式；（单项式无需分解因式） （2）定公因式：系数取最大公约数，字母取相同字母，字母的指数取最小的； （3）改为乘积：将分子、分母表示成某个因式与公因式乘积的形式； （4）约去公因式：运用分式的基本性质，约去分子、分母的公因式. 【易错点津】 分式的约分，约去的是分子和分母整体的公因式，而不是某些项的公因式，因此约分前要保证分式的分子和分母都是乘积的形式. 分式的通分 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 字母表示 （分母都为）. 最简公分母 通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 通分的步骤 （1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应先进行因式分解. （2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积. （3）将分子、分母同乘一个因式使分母变为最简公分母. 【拓展延伸】 （1）约分和通分的联系：约分和通分都是依据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. （2）约分与通分的区别：①约分是针对一个分式来说的，约分可使分式变得简单； ②通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 【规律方法】 确定最简分母的方法： （1）若分母是单项式，则应取各项系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积作为最简公分母. （2）若分母是多项式，则应先进行因式分解，再取各项系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. （3）特殊情况：① 只有一个分母时，这个分母就是最简公分母；② 分母互为相反数时，每个分母都可作为最简公分母；③ 若有能约分的分式，则应化简后再找最简公分母. 分式的乘除 法则 式子表示 分式的乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 分式的除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 【拓展延伸】 （1）分式乘除法的运算按从左到右的顺序进行，结果如果不是最简分式，要进行约分. （2）根据分式乘法法则有： ①分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式，那么先分解因式，再看能否约分，然后相乘；②整式与分式相乘时，可以直接把整式看成分母是1的代数式，再与分式相乘； ③分式的乘法实际就是约分，所以计算结果如果能约分，必须约分，或通过分解因式后能约分的也要约分，必须把结果化为最简分式或整式. （3）根据分式除法法则我们知道，分式的除法需转化成乘法，转化的过程实际上是“一变一倒”的过程，即除号变为乘号，除式的分子与分母颠倒位置. 分式的乘方：（为整数） 【拓展延伸】 （1）分式的乘方与乘除混合时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时，应先分解因式在约分. （2）分式乘方法则中，“把分子、分母分别乘方”里的分子、分母是指分子、分母的整体，而不是部分. （3）注意负数的乘方规律，负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；在分子、分母分别乘方时，要注意正确运用积的乘方的运算法则. 【规律方法】 （1）当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方. （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它与实数乘方确定符号的方法相同. 分式的加减 法则 式子表示 同分母分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母分式的加减法 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，在加减 【拓展延伸】 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式. （2）异分母分式加减法的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：分母不变，分子相加减； ③合并：分子去括号，合并同类项； ④约分：分子、分母进行约分，将结果化成最简分式或整式，异分母分式加减运算的关键是通分. 【规律方法】 （1）一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看成是分母为1的“分式”进行通分，这样不易出错. （2）当两个分式的分母互为相反数时，应运用符号法则：等性质变为同分母的分式. 【易错点津】 同分母分式相加减时，“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，当分子为多项式时，应添加括号，避免出现符号错误. 分式的混合运算：分式混合运算顺序与分数混合运算顺序类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 【规律方法】 （1）对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减. （2）在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算的技巧性. 【易错点津】分式的混合运算的结果必须化为最简分式或整式. 方法点拨 1.解代数式有、无意义的问题 ①分式有、无意义；分母中含有字母的式子时分式，若分母中字母的取值使分母不等于零，则分式有意义；若分母中字母的取值使分母等于零，则分式无意义. ②二次根式有意义的条件：必须使被开方数为非负数，如果二次根式作为分母在分式中出现，必须使被开方数为正数，列出不等式，即可求出字母的取值范围. 2.解分式的化简（计算）与求值问题 分式的混合运算与分数的混合运算类似，也是先进行乘除运算，再进行加减运算；当分式的混合运算含有括号时，一般应先计算括号内的；当分式的分子和分母是多项式时，应先将分子、分母分别分解因式，再进行通分或约分；分式运算的结果应化为最简分式或整式. 学科网（北京）股份有限公司 $$