精品解析：青海省西宁七中优质教育集团2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷

西宁七中优质教育集团2024-2025学年度第一学期 期中测试（九年级数学试卷） （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. “二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 3. 关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是（ ） A. B. 3 C. 或1 D. 3或 4. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上） 9. 已知点A(2a，－b)与点B(-6，-2)关于坐标原点对称，则a+b=______ 10. 若，是方程的两个根，则________． 11. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为________． 12. 已知实数是关于的方程的一根，则代数式值为______. 13. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 14. 如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 15. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为__________． 16. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面上升时，水面的宽度为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________． 18. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线；③的另一个解是；④当时，；⑤抛物线与轴的两个交点间的距离是，其中正确的是__________． 三、解答题（本大题共9小题，第19，20题每小题6分，第21，22，23，24题每小题8分，第25，26题每小题10分，第27题12分，共76分） 19. 解方程：3x2﹣1＝4x． 20. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 21. 在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空： 作出关于原点成中心对称的，写出点的坐标________； 作出绕点逆时针旋转的，写出点的坐标________． 22. 如图所示，一次函数（b为常数）的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像相交于A、B两点，且点A的坐标为． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 23. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 24. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为10元，每日销售量与销售单价（元）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于24元．设销售板栗的日获利为（元）． （元） 17 18 19 20 230 220 210 200 （1）求日销售量与销售单价之间的函数解析式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 25. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． AI （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 26. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为 解方程①可得． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 （1）在由原方程的到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． （2）请仿照材料的方法，解下列方程： ①； ②． 27. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁七中优质教育集团2024-2025学年度第一学期 期中测试（九年级数学试卷） （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. “二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣， A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是（ ） A. B. 3 C. 或1 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值. 【详解】根据题意知，x=0是关于x的一元二次方程的根 ∴a2-2a-3=0，解得，a=3或a=-1 又∵a2-1≠0， ∴.a≠±1. ∴.a=3. 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解使方程的左右两边相等. 4. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 5. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【详解】解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为， 则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 又第一季度共生产零件182万个， 则得：． 故选：B． 6. 如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质等；由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，，由直径所对的圆周角为直角得，即可求解；掌握 圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 故选：C． 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 8. 如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质．先根据，求出S与x之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得，则， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴S与x之间的函数图象为开口向上的抛物线的一段， 当时，有最小值，最小值为6， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 第II卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上） 9. 已知点A(2a，－b)与点B(-6，-2)关于坐标原点对称，则a+b=______ 【答案】a+b= 1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得2a-6=0，-b-2=0，解出a、b的值，然后可得a+b的结果． 【详解】由题意得：2a-6=0，-b-2=0， 解得：a=3，b=-2， a+b=3-2=1， 故答案为1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．首先把方程转化为一元二次方程的一般形式：，然后再根据一元二次方程根与系数的关系、得到两根之和与两根之积，代入即可求解． 【详解】解：把移项， 得：， 、、， ，， ． 故答案为： ． 11. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线向右平移3个单位后得到， ∴新抛物线的顶点作为：． 故答案为：． 12. 已知实数是关于的方程的一根，则代数式值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】把x=m代入已知方程可求得m2-3m=1，然后将其整体代入所求的代数式并求值． 【详解】解：∵实数m是关于x方程x2-3x-1=0的一根， ∴m2-3m-1=0， ∴m2-3m=1， ∴2m2-6m+2=2（m2-3m）+2=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 13. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 【答案】0，（答案不唯一，即可）． 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以 解得 故答案为：0，（答案不唯一，即可） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 14. 如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 15. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， 直线轴， ，B两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， 又点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， ， ． 故答案为：3． 16. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面上升时，水面的宽度为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点， 抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半，即米，抛物线顶点坐标为， 通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入点坐标到抛物线解析式得出：， 所以抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ， 解得：， 所以水面的宽度为， 故答案为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，易证明，求出OE、BE的长即可求出B的坐标． 【详解】解：如图所示，点绕点顺时针旋转得到点， 过点A作x轴垂线，垂足为D，过点B作x轴垂线，垂足为E， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴CD=2，AD=3， 根据旋转的性质，AC=BC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AD=CE=3，CD=BE=2， ∴OE=2，BE=2， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转变换和三角形全等的判定与性质，证明是解题关键． 18. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线；③的另一个解是；④当时，；⑤抛物线与轴的两个交点间的距离是，其中正确的是__________． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设抛物线解析式为：，将代入得，根据可判断结论①正确；抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线，可判断结论②正确；根据所给的表格可得，当时，，再根据抛物线的对称性得的另一个解为，可判断结论③正确；根据所给表格可判断结论④错误；根据所给表格可得，抛物线与轴的两个交点为，，则抛物线与轴的两个交点间的距离是，可判断结论⑤正确，即可得． 【详解】解：设抛物线解析式为：， 将代入得：， 解得：， ， 抛物线开口向上，故①正确； 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线，故②正确； 根据所给的表格可得，当时，， 抛物线的对称轴为直线， 的另一个解为，故③正确； 根据所给表格可得，当时，，故④错误； 根据所给表格可得，抛物线与轴的两个交点为，， 则抛物线与轴的两个交点间的距离是：，故⑤正确； 综上，①②③⑤正确， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（本大题共9小题，第19，20题每小题6分，第21，22，23，24题每小题8分，第25，26题每小题10分，第27题12分，共76分） 19. 解方程：3x2﹣1＝4x． 【答案】 【解析】 【分析】对原方程进行移项，找出a、b、c的值，根据求根公式即可得出方程的解． 【详解】解：原方程移项得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的方程：公式法，熟练掌握求根公式是解题关键． 20. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 21. 在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空： 作出关于原点成中心对称的，写出点的坐标________； 作出绕点逆时针旋转的，写出点的坐标________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征分别写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，于是可得到△A2B2C2，再写出点C2的坐标． 【详解】解：(1)如图,为所作，点的坐标为(4,−4)； (2)如图,为所作，点的坐标为(1,4)． 故答案为(4，4)，(1，4)． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，熟悉掌握是关键． 22. 如图所示，一次函数（b为常数）的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像相交于A、B两点，且点A的坐标为． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式， （1）把的坐标代入两个解析式即可得出答案； （2）求出两函数组成的方程组，即可求出的坐标； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 解： 两函数图象相交于点， 代入得：，， 解得，， 反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 联立， 解得：，， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 时的取值范围是：或． 23. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，旋转的性质，勾股定理． （1）根据三角形的内角和定理得出，根据旋转的性质得出，，最后根据等腰三角形的性质，即可解答； （2）根据勾股定理得出，根据旋转的性质得出，进而得出，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到 ，， ； 【小问2详解】 解：， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ， ， ． 24. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为10元，每日销售量与销售单价（元）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于24元．设销售板栗的日获利为（元）． （元） 17 18 19 20 230 220 210 200 （1）求日销售量与销售单价之间的函数解析式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为24元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为2240元． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得关于的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，设与之间的函数关系式为， 把，和，代入得： ， 解得， 日销售量与销售单价之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ，对称轴为直线，越靠近对称轴的所对应的函数值越大 ∵销售单价不低于成本价且不高于24元． 当时，， ∴有最大值为2240元． 当销售单价定为24元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为2240元． 25. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． AI （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）半径为6， 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义得出，结合等边对等角得出，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理计算得出的半径为6，，作于，由等面积法得出，再由角平分线的性质定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由，可得， 解得：， 即的半径为6，， 作于， 由等面积法可得：， ， 由角平分线的性质定理可得：． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 26. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为 解方程①可得． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 （1）在由原方程的到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． （2）请仿照材料的方法，解下列方程： ①； ②． 【答案】（1）降次 （2）①， ；② 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【小问1详解】 解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想， 故答案为：降次． 【小问2详解】 解：①， 设， ∴原方程化为：， ∴， 解得：， 当时，， 解得：； 当时， ∴此方程无解， ∴原方程的根为； ②， 设， ∴原方程化为， ∴， 解得：， 当时，x2﹣x＝6，即， ∴， 解得：； 当时，，即， ∵， ∴此方程无解， ∴原方程的根为． 27. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 解：因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，则∶ ， 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ∴， 当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $