第五章 走进几何世界 第5.1节 观察 抽象-2024-2025学年七年级数学上册培优全攻略（2024苏科新版）

苏科2024新版第五章 走进图形世界 5.1 观察 抽象 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.认识基本的几何体；能说出基本几何体的图形特征，能进行简单的分类； 2. 知道点、线、面是构成几何体的基本要素，掌握棱柱、棱锥的结构特征，了解它们的顶点数、棱数、面数之间的关系，发展空间观念。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——学习方程能干啥？欧几里得是谁？ 欧几里得（约公元前330年—公元前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础， 欧几里得的《几何原本》被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：基本几何体及其分类 1. 立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等. 2. 常见的基本几何体的分类方法： 3. 3.平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 4. 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等． 知识点2：几何体的构成要素 1. 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体； 2. 包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种； 3. 面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种； 4. 线和线相交的地方形成点. 5. 从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体. 知识点3：棱柱与棱锥的特征 几何体 棱柱 棱锥 图示 相关概念 棱 两面相交 顶点 棱与棱相交 面 分为底面和侧面 其它特征 侧棱长度相等； 上下底面完全相同，且平行； 棱锥的的侧面都是三角形 棱柱、棱锥中顶点数、面数、棱数的数量关系： 顶点数+面数-棱数=2 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 认识几何体 例题1．下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A．B． C． D． 【变式训练】 1．下面几何体中，是圆柱的为（    ） A． B． C． D． 2．河北碧螺春是中国十大名茶之一，被誉为“绿茶中的香槟”．如图是河北碧螺春的包装盒，这个包装盒对应的几何体名称为（   ） A．四棱柱 B．六棱柱 C．圆柱 D．圆锥 3．下列图形中，形状为圆锥的是（   ） A． B． C． D． 4．下面的几何体中，属于棱柱的是（   ） A．B． C． D． 题型2 常见几何体的分类问题 例题2．下列几何体中，属于柱体的有（   ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．如图，图中柱体的个数是 个． 2．如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 3．将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 4．将下列几何体按名称分类： 柱体有______； 锥体有______； 球体有______．（请填写序号） 题型3 棱柱与棱锥的特征 例题3.五棱柱有 个顶点， 个面， 条棱， 个侧面，侧面形状是 形，底面形状是 形． 【变式训练】 1．如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱． 2．一个棱柱有21条棱，则它是 棱柱． 3．观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 4．如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 题型4 探究棱柱与棱锥顶点数、棱数、面数 例题4．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【变式训练】 1．【项目式学习】：根据素材，探索完成任务． 材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体． 简单多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：，这一关系式被称为欧拉公式． 任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； 任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求的值； 任务三：在任务二的条件下，已知，求代数式的值． 2．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 3．观察下列几何体，并把下表补充完整． 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 观察上表中的结果，写出之间的关系式． 4．欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式. (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 4 ______ ______ ______ 棱数 6 ______ ______ ______ 面数 4 ______ ______ ______ (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：______；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？ 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 2．下列几何体中是三棱锥的是（   ） A． B． C． D． 3．下列立体图形中，面数最多的是（    ） A． B． C． D． 4．下列几何体由5个平面围成的是（    ） A．B． C． D． 5．下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 6．下列几何体中，锥体的是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 8．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法：①三棱锥的底面是三角形；②棱柱有个面，个顶点，条棱；③若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面的面积也相等；④圆锥有两个面，底面与侧面相交形成曲线；⑤时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了点动成线；⑥如果用一个平面去截八棱柱，截面形状一定不是九边形．其中正确的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．一个棱柱有18条棱，则这个棱柱共有几个面（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（本大题共10小题） 11．下面六个几何体中，属于棱柱的有 个． 12．对于粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐、书本这些生活中的物品，其形状类似于棱柱的有 ． 13．观察如图所示的棱柱： （1）这个棱柱的底面是 ； （2）这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； （3）侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” （4）这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； （5）若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 14．写出下面几何体的名称 ( )       ( )        ( )         ( )      ( )     ( ) 15．如图是一个几何体，请你描述这个几何体的特点（写出三点）： ． 16．图中的几何体由 个面围成． 17．下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）    18．一个七棱柱共有 条棱． 19．一个棱柱有15条棱，那么它共有 个顶点、 条侧棱、 个面． 20．如图的多面体的名称 ，它有 个顶点， 条棱， 个面． 三、解答题（本大题共5小题） 21．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面的多面体模型，将表格填写完整； 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 长方体 ________ 八面体 ________ 8 十二面体 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系是________（用所给的字母表示）； (3)若一个多面体的面数比顶点数少，且有条棱，则这个多面体的面数是多少？ (4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体的面数为，求的值． 22．我们知道，如图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面． (1)其他木块是图①的正方体被截去一部分后得到的图形，请你将它们的顶点数、棱数、面数填入下表： 图 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 12 6 ④ 8 13 ⑤ 10 7 (2)上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系有一定规律．请你写出顶点数、棱数、面数之间满足的关系式是______； (3)有一个几何体，它有12个顶点，20个面，则这个几何体的棱数为______． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第五章 走进图形世界 5.1 观察 抽象 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.认识基本的几何体；能说出基本几何体的图形特征，能进行简单的分类； 2. 知道点、线、面是构成几何体的基本要素，掌握棱柱、棱锥的结构特征，了解它们的顶点数、棱数、面数之间的关系，发展空间观念。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——学习方程能干啥？欧几里得是谁？ 欧几里得（约公元前330年—公元前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础， 欧几里得的《几何原本》被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：基本几何体及其分类 1. 立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等. 2. 常见的基本几何体的分类方法： 3. 3.平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 4. 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等． 知识点2：几何体的构成要素 1. 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体； 2. 包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种； 3. 面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种； 4. 线和线相交的地方形成点. 5. 从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体. 知识点3：棱柱与棱锥的特征 几何体 棱柱 棱锥 图示 相关概念 棱 两面相交 顶点 棱与棱相交 面 分为底面和侧面 其它特征 侧棱长度相等； 上下底面完全相同，且平行； 棱锥的的侧面都是三角形 棱柱、棱锥中顶点数、面数、棱数的数量关系： 顶点数+面数-棱数=2 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 认识几何体 例题1．下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的认识，根据圆柱体的特征逐项判断即可得解． 【详解】解：A、是四棱锥，故不符合题意； B、是圆柱，故符合题意； C、是四棱柱，故不符合题意； D、是三棱柱，故不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．下面几何体中，是圆柱的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．根据圆柱体的特征判断即可． 【详解】解：A、是三棱柱，故此选项不符合题意； B、是长方体，故此选项不符合题意； C、是圆柱，故此选项符合题意； D、是圆锥，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．河北碧螺春是中国十大名茶之一，被誉为“绿茶中的香槟”．如图是河北碧螺春的包装盒，这个包装盒对应的几何体名称为（   ） A．四棱柱 B．六棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的性质：棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形，结合棱柱的性质即可求解． 【详解】解：由图可知，该几何体侧面为平行四边形，有两个底面互相平行且为形状相同的六边形，故该几何体为六棱柱， 故选：B． 3．下列图形中，形状为圆锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了认识立体图形，关键是掌握常见的立体图形．根据圆锥、圆柱、棱锥、棱柱的特点分别进行分析即可． 【详解】解：A、此立体图形是四棱锥，不符合题意； B、此立体图形是三棱，不符合题意； C、此立体图形是圆锥，符合题意； D、此立体图形是球，不符合题意； 故选：C． 4．下面的几何体中，属于棱柱的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体．解决本题的关键是熟练地掌握各种几何体的特征，根据不同几何体的特征进行判断． 【详解】解：A选项：A选项中的图形是一个三棱柱，故A选项符合题意； B选项：B选项中的图形是一个球，故B选项不符合题意； C选项：C选项中的图形是一个圆柱，故C选项不符合题意； D选项：D选项中的图形是一个棱锥，故D选项不符合题意． 故选：A． 题型2 常见几何体的分类问题 例题2．下列几何体中，属于柱体的有（   ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的分类．柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：①⑤是四棱柱，②是圆柱，③是三棱柱，④是圆锥，⑥是球， ∴属于柱体的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【变式训练】 1．如图，图中柱体的个数是 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了柱体的识别，一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，据此进行判断即可． 【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个． 故答案为：5． 2．如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧ 【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、曲面的定义进行求解即可． 【详解】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧， 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧． 3．将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③ 【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 4．将下列几何体按名称分类： 柱体有______； 锥体有______； 球体有______．（请填写序号） 【答案】（1）（2）（3），（5），（4） 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键．根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】解：根据图形可知 柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有（1）（2）（3）； 锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5） 球体属于单独的一类，球有（4）． 故答案为：（1）（2）（3），（5），（4）． 题型3 棱柱与棱锥的特征 例题3.五棱柱有 个顶点， 个面， 条棱， 个侧面，侧面形状是 形，底面形状是 形． 【答案】 10 7 15 5 长方 五边 【分析】本题考查认识立体图形，关键在于熟悉五棱柱的特征．根据五棱柱的特征，填空即可． 【详解】解：五棱柱有10个顶点，7个面，15条棱，5个侧面，侧面形状是长方形，底面形状是五边形． 故答案为：10，7，15，5，长方，五边． 【变式训练】 1．如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱． 【答案】 五 7 10 15 【分析】本题主要考查的是棱柱的认识，掌握棱柱的概念是解题的关键． 根据n棱柱的底面是n边形，n棱柱有个面， 个顶点，条棱求解即可 ． 【详解】解：这个棱柱的底面是五边形， 它有7个面，有10个顶点，有15条棱． 故答案为：五；7；10；15． 2．一个棱柱有21条棱，则它是 棱柱． 【答案】七 【分析】本题主要考查了棱柱的特点，棱柱的总棱数除以3即为侧棱数，据此求出侧棱数即可得到答案． 【详解】解：一个棱柱有21条棱，则它的侧棱有条，则它是七棱柱， 故答案为：七． 3．观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】(1)三角形； (2)3，长方形； (3)相等； (4)6；3，9； (5)45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】（1）解：这个棱柱的底面是三角形； 故答案为：三角形； （2）解：这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； 故答案为：3，长方形； （3）解：依题意，侧面的个数是3，底面的边数是3 ∴侧面的个数与底面的边数相等； 故答案为：相等． （4）解：这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； 故答案为：6；3，9； （5）解：， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为： 45． 4．如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)5，9，6 (2)6，12，8 (3)7，15，10 (4)，， 【分析】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点． （1）结合图形及四棱柱的特点即可求解； （2）结合图形及五棱柱的特点即可求解； （3）结合图形及六棱柱的特点即可求解； （4）由三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，总结即可． 【详解】（1）解：三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点； 故答案为：5，9，6； （2）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； 故答案为：6，12，8； （3）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； 故答案为：7，15，10； （4）n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，． 题型4 探究棱柱与棱锥顶点数、棱数、面数 例题4．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 【变式训练】 1．【项目式学习】：根据素材，探索完成任务． 材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体． 简单多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：，这一关系式被称为欧拉公式． 任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； 任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求的值； 任务三：在任务二的条件下，已知，求代数式的值． 【答案】任务一：12；任务二：20；任务三：35 【分析】本题考查简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的关系，即欧拉公式，代数式求值，理解掌握欧拉公式是解题的关键． 任务一直接由欧拉公式求解即可； 任务二：顶点数为，面数为，棱数为，代入欧拉公式求解即可； 任务三：由任务二可知，得，代入，得，然后将变形为，再整理体代入即可求解． 【详解】解：任务一：由题意得：，解得：，故这个多面体的顶点数为； 任务二：由题意得，顶点数为，面数为，棱数为， 依照欧拉公式建立等式： ，即， 则的值为； 任务三：由任务二可知，则， 又， 则， 化简后，， 故． 2．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念． （1）观察几何体，补充表格即可； （2）通过观察，发现棱数顶点数面数． 【详解】（1）解： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）解：观察表得， 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：． 3．观察下列几何体，并把下表补充完整． 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 观察上表中的结果，写出之间的关系式． 【答案】8，  15，  18，  6，  7；关系式为 【分析】此题考查了棱柱中顶点数、棱数、面数的关系． 探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式）结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案， 利用前面的规律得出a，b，c之间的关系． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，个顶点和条棱； 故a，b，c之间的关系：． 4．欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式. (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 4 ______ ______ ______ 棱数 6 ______ ______ ______ 面数 4 ______ ______ ______ (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：______；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？ 【答案】(1)6，9，5；8，12，6；6，12，8 (2)，20 (3) 【分析】（1）观察图形，直接写出答案即可； （2）分析表格中的数据，发现；根据，，列方程求解； （3）根据有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据即可求解． 本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】（1）解：依题意，三棱柱的顶点数是6，棱数是9，面数是5； 正方体的顶点数是8，棱数是12，面数是6； 正八面体的顶点数是6，棱数是12，面数是8； 故答案为：6，9，5；8，12，6；6，12，8； （2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：， ，，， ， ， 故答案为：，20； （3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，八边形的个数为个， 有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， 共有（条， ，解得． ． ∴该多面体表面三角形与八边形的个数之和是． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的识别，根据棱柱，球，圆锥，圆柱的特点分析即可． 【详解】解：由题意可得：该作品中有棱柱，球，圆锥，没有圆柱， 故选：C． 2．下列几何体中是三棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三棱锥的定义和特点，根据三棱锥的特点：三棱锥的每个面都是三角形即可得解，熟练掌握三棱锥的定义是解决此题的关键． 【详解】根据三棱锥的定义，选项D中几何体由四个三角形组成，是三棱锥， 故选：D． 3．下列立体图形中，面数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体．解决本题的关键是数出四个几何体的面数，通过比较得出面数最多的几何体． 【详解】解：长方体有个面，圆柱体有个面，圆锥有个面，三棱柱有个面， 面数最多的几何体是长方体． 故选：A ． 4．下列几何体由5个平面围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项几何体的特征逐一分析即可． 【详解】A选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意； B选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意； C选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题意； D选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查的是几何体的特征，掌握常见几何体的特征是解决此题的关键． 5．下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 6．下列几何体中，锥体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．关键是根据锥体的概念判断．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：A、是圆柱； B、是正方体； C、是三棱锥； D、是圆锥； 属于锥体的是D． 故选：D． 7．如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，侧面是长方形，底面是三角形，则该几何体是三棱柱，故该几何体有3条侧棱，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱，侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 8．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球体，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：①是圆锥，属于锥体，符合题意， ②是三棱锥，属于锥体，符合题意， ③是四棱柱，属于柱体，不符合题意， ④是球体，不符合题意， ⑤是圆柱，属于柱体，不符合题意， ∴属于锥体的有①②，共个． 故选：B． 9．下列说法：①三棱锥的底面是三角形；②棱柱有个面，个顶点，条棱；③若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面的面积也相等；④圆锥有两个面，底面与侧面相交形成曲线；⑤时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了点动成线；⑥如果用一个平面去截八棱柱，截面形状一定不是九边形．其中正确的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的性质，几何体的特征，截面图形的边数，解题的关键是熟练掌握几何体的定义．根据立体图形的特征，截几何体的方法进行判定是几边形． 【详解】解：①三棱锥的底面是三角形，说法正确； ②棱柱有个面，个顶点，条棱，原说法错误； ③若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面的面积也相等，说法正确； ④圆锥有两个面，底面与侧面相交形成曲线，说法正确； ⑤时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了线动成面，原说法错误； ⑥如果用一个平面去截八棱柱，截面形状一定不是九边形，说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑥共4个． 故选：B． 10．一个棱柱有18条棱，则这个棱柱共有几个面（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：一个棱柱有18条棱，那么这个棱柱是六棱柱，那么这个棱柱有8个面； 故选C． 二、填空题（本大题共10小题） 11．下面六个几何体中，属于棱柱的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了认识立体图形，根据棱柱的定义即可得解，熟练掌握棱柱的定义是解此题的关键． 【详解】解：从左到右依次是三棱柱、球、圆锥、正方体、圆柱、六棱柱， 故属于棱柱的有三棱柱、正方体、六棱柱，共个， 故答案为：． 12．对于粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐、书本这些生活中的物品，其形状类似于棱柱的有 ． 【答案】粉笔盒、三棱镜、书本 【分析】本题考查了棱柱的特征，熟练掌握棱柱的特征是解题的关键； 棱柱所有侧棱长都相等，底面是多边形，上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． 【详解】解：粉笔盒、三棱镜、书本可以看成棱柱，乒乓球是球体，易拉罐瓶是圆柱； 故答案为：粉笔盒、三棱镜、书本 13．观察如图所示的棱柱： （1）这个棱柱的底面是 ； （2）这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； （3）侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” （4）这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； （5）若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】 三角形 3 长方形 相等 6 3 9 45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】解：（1）这个棱柱的底面是三角形； （2）这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； （3）侧面的个数与底面的边数相等； （4）这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； （5）， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为：（1）三角形；（2）3，长方形；（3）相等；（4）6；3，9；（5）45． 14．写出下面几何体的名称 ( )       ( )        ( )         ( )      ( )     ( ) 【答案】 圆柱 长方体 正方体 球 五棱柱 圆锥 【分析】此题考查了常见几何体的识别．根据常见几何体的形状进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得，①是圆柱；②是长方体；③是正方体；④是球体；⑤五棱柱；⑥是圆锥． 故答案为：圆柱；长方体；正方体；球体；五棱柱；圆锥． 15．如图是一个几何体，请你描述这个几何体的特点（写出三点）： ． 【答案】①有六个顶点；②有九条棱；③有五个面（答案不唯一） 【分析】本题考查了几何体的结构特征，根据点、棱、面可写出三个特点，了解几何体的结构特征是解题的关键． 【详解】解：由图可得：该几何体有六个顶点， 有九条棱， 有五个面，其中两个面是三角形，三个面是四边形， 故答案为：①有六个顶点；②有九条棱；③有五个面． 16．图中的几何体由 个面围成． 【答案】9 【分析】可将几何体分成两个部分观察． 【详解】该几何体可分为上下两个部分，上面部分有4个面，下面部分有5个面，共有9个面． 故答案为：9 【点睛】本题考查立体几何的相关知识，解题的关键是具有空间想象能力． 17．下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）    【答案】③④⑤⑥ 【分析】根据几何体的分类即可求得答案． 【详解】①为圆柱体，不属于棱柱； ②为圆锥体，不属于棱柱； ③为长方体，属于棱柱； ④为正方体，属于棱柱； ⑤为长方体，属于棱柱； ⑥为六棱柱，属于棱柱； ⑦为球体，不属于棱柱． 故答案为：③④⑤⑥． 【点睛】本题主要考查几何体的分类，牢记几何体的分类是解题的关键． 18．一个七棱柱共有 条棱． 【答案】21 【分析】本题考查立体图形，根据n棱柱有条棱即可解答． 【详解】解：一个七棱柱共有21条棱． 故答案为：21 19．一个棱柱有15条棱，那么它共有 个顶点、 条侧棱、 个面． 【答案】 10 5 7 【分析】本题考查了棱柱的相关知识，解答关键是熟记一个n棱柱棱的条数与n的关系． 根据一个n棱柱有条棱，个顶点，个面，即可求解． 【详解】解：∵一个棱柱有15条棱，， ∴该棱柱为五棱柱， ∴底面是五边形，共个顶点，5条侧棱，个面． 故答案为：10，5，7． 20．如图的多面体的名称 ，它有 个顶点， 条棱， 个面． 【答案】 四棱柱 8 12 6 【分析】本题主要考查的是棱柱的认识，掌握棱柱的概念是解题的关键． 根据底面是n边形就叫n棱柱，n棱柱有个面， 个顶点，条棱求解即可 ． 【详解】解：该直棱柱底面是四边形，所以该直棱柱是四棱柱， 它有8个顶点，有12条棱，有6个面． 故答案为：四棱柱；8；12；6． 三、解答题（本大题共5小题） 21．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面的多面体模型，将表格填写完整； 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 长方体 ________ 八面体 ________ 8 十二面体 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系是________（用所给的字母表示）； (3)若一个多面体的面数比顶点数少，且有条棱，则这个多面体的面数是多少？ (4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体的面数为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元一次方程，多面体的性质，熟练掌握多面体的性质是解题的关键； （1）上面的多面体模型数一数即可求解； （2）观察可得顶点数面数棱数； （3）代入（2）中的式子即可得到面数； （4）得到多面体的棱数，求得面数即求解． 【详解】（1）解：从上到下填：； （2）解：观察可得顶点数面数棱数，即； （3）解：由题意，得， 解得，所以这个多面体的面数是． （4）解：因为该多面体的顶点数，且每个顶点处有条棱， 所以该多面体的棱数． 因为， 所以， 解得； 22．我们知道，如图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面． (1)其他木块是图①的正方体被截去一部分后得到的图形，请你将它们的顶点数、棱数、面数填入下表： 图 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 12 6 ④ 8 13 ⑤ 10 7 (2)上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系有一定规律．请你写出顶点数、棱数、面数之间满足的关系式是______； (3)有一个几何体，它有12个顶点，20个面，则这个几何体的棱数为______． 【答案】(1)，，； (2) (3)30 【分析】本题考查了立体图形，图形类规律探索，找顶点数，棱数，面数的时候做到不重不漏是解题关键． （1）观察图形即可得到答案； （2）根据表格数据分析即可得到答案； （3）根据（2）所得关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：观察图③可知，图形的顶点数为； 观察图④可知，图形的面数为7； 观察图⑤可知，图形的棱数为； 即，，； （2）解：图①：， 图②：， 图③：， …… 观察发现：顶点数面数棱数，即， 故答案为：； （3）解：由（2）可知，顶点数面数棱数， 若一个几何体，它有12个顶点，20个面， 则这个几何体的棱数为：顶点数面数， 故答案为：30． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$