精品解析：甘肃省张掖市甘州区2024—2025学年上学期九年级第二次学情检测数学试卷

2024~2025学年度第一学期第二次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分． 每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 直径所在直线是圆的对称轴 B. 同弧所对的圆周角相等 C. 直径是弦 D. 平面上三个点确定一个圆 5. 如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径为，则长为的弦所对的优弧上的圆周角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，半径于点C，为的直径，连接，若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 84 8. 抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 把二次函数变形为的形式，则k的值为__________． 10. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 11. 如图，、、均为半径，连接、，若，，则的度数为__________°． 12. 如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为____________. 13. 如图，是的直径，，点M在上，连接，，N是的中点，P是直径上的一动点，连接、，则的最小值为__________． 三、解答题（共13小题，计81分． 解答应写出过程） 14. 用因式分解法解方程：． 15. 已知的半径为6，为上的弧，它所对的圆心角为，求的长度．（结果保留π） 16. 如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的直径，求圆锥全面积． 17. 如图，用尺规作出△ABC的外接圆⊙O，保留作图痕迹，不写作法． 18. 如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 19. 如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． （1）当半径时，求与的位置关系； （2）当半径时，求与的位置关系． 20. 如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 21. 如图，在中，以为直径的与相切于点A，F是上一点，且，连接，若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是、、，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、）． 在图中画出，并计算线段所扫过的图形面积．（结果保留） 23. 如图，在中，，以为直径的与底边交于点D，过点D作，垂足为E． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长．（结果保留π） 24. 如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为，跨度为，把它放在如图所示的平面直角坐标系中，点M为抛物线的最高点． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点P处（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高，且P点在M点的左侧，求灯与y轴的距离． 【问题提出】 26. （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 27. 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 28. 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期第二次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分． 每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把，代入， 得：， 解得：； 故选A． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可． 本题主要考查中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项正确； 故选D． 3. 如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 直径所在直线是圆的对称轴 B. 同弧所对的圆周角相等 C. 直径是弦 D. 平面上三个点确定一个圆 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆的对称轴、圆周角定理的推论、确定圆的条件等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 直径所在直线是圆的对称轴，故选项说法正确，不合题意； B. 同弧所对的圆周角相等，故选项说法正确，不合题意； C. 直径是弦，故选项说法正确，不合题意； D. 平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，故选项说法错误，符合题意． 故选：D 5. 如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的内切圆， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 6. 已知的半径为，则长为的弦所对的优弧上的圆周角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据题意画出图形，由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出，确定出三角形为等腰直角三角形，同理三角形为等腰直角三角形，确定出度数，利用圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求出与的度数． 【详解】解：如图所示，的半径，，过点O作于点C，点D是优弧上的任一点，点E是劣弧上的任一点， ， 为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：，即， 为等腰直角三角形， ， 同理， ， ∵， ， ∵四边形是圆内接四边形， ， 弦所对的优弧上的圆周角为， 故选：D． 7. 如图，是的弦，半径于点C，为的直径，连接，若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质、垂径定理的应用，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，先根据勾股定理列式计算，得出半径，根据分别是，的中点，得出，即可求解． 【详解】解：∵是的弦，半径于点， ∴， 在中， 解得， ∵分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 8. 抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线对称轴，经过点得到，再由开口向下，得到，则，据此可判断①④；根据时，，即可判断②；根据时，，得到，进而得到，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴， ，，故④正确； ∵开口向下， ∴， ， ∴且；故①错误； ∵抛物线对称轴， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于，抛物线对称轴， 抛物线与x轴的另外一个交点为， 时，， ， ， ，即，故③错误， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 把二次函数变形为的形式，则k的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键；将转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：， ∴，， 故答案为：3． 10. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的中心角的度数等于360度除以边数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，正多边形的边数为：． 故答案为：9． 11. 如图，、、均为半径，连接、，若，，则的度数为__________°． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的性质，先由等边对等角得到，再由平行线的性质得到，然后根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了求不规则图形的面积，用到了扇形面积公式、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，根据题意得到，即可得到答案. 【详解】解：如图，设半圆与的交点为点E， 取的中点为点O，连接，设以A为圆心，为半径画弧交于点F， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为： 13. 如图，是的直径，，点M在上，连接，，N是的中点，P是直径上的一动点，连接、，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、最短路径问题、等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作点M关于直径的对称点，连接、、、、，由轴对称的性质可得和是等边三角形，再利用两点之间线段最短可得的最小值为，求出的长即可解答． 【详解】解：如图，作点M关于直径的对称点，连接、、、、， ， ， 是的中点， ， 点M、关于直径对称，P是直径上的动点， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 即的最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（共13小题，计81分． 解答应写出过程） 14. 用因式分解法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴或 解得： 15. 已知的半径为6，为上的弧，它所对的圆心角为，求的长度．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆中弧长的求取公式，掌握弧长公式是关键． 根据弧长公式，直接求出即可． 【详解】解：由题意得，弧长， ∴的长度． 16. 如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的直径，求圆锥全面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算、扇形的面积的计算，熟记相关计算公式是解答本题的关键． 根据题意得出底面积为：，底面周长为：，再计算侧面积，然后求和即可． 【详解】解：∵底面圆的直径， ∴底面半径是， ∴底面积为：，底面周长为：， ∵圆锥的母线长， ∴侧面积为：， ∴这个圆锥的全面积为底面积侧面积． 17. 如图，用尺规作出△ABC的外接圆⊙O，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】如图，⊙O为所作． 【解析】 【分析】分别作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，连结OB，然后以点O为圆心，OB为半径作圆即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形外心． 18. 如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余，进而得出，根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 19. 如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． （1）当半径时，求与的位置关系； （2）当半径时，求与的位置关系． 【答案】（1）相离 （2）相切 【解析】 【分析】题目主要考查直线与圆的位置关系，根据等边三角形的性质求出点到直线的距离是解题的关键 （1）根据等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，然后与半径比较即可； （2）根据（1）中结果，与半径比较即可． 【小问1详解】 解：∵等边中，D为边上一点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相离； 【小问2详解】 当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相切． 20. 如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 21. 如图，在中，以为直径的与相切于点A，F是上一点，且，连接，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查切线的性质及勾股定理解三角形，理解题意，得出，设，则，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径，与相切于点A， ∴． ∴为直角三角形， 设，则， ∵， ∴在中，由勾股定理， 得， 解得． ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是、、，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、）． 在图中画出，并计算线段所扫过的图形面积．（结果保留） 【答案】解：如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形，勾股定理，求扇形面积；根据题意画出，进而勾股定理求得，再根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】图略 ∵，， ∴线段所扫过的图形面积为． 23. 如图，在中，，以为直径的与底边交于点D，过点D作，垂足为E． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长．（结果保留π） 【答案】（1） 证明：连接， ∵为直径， ∴， 即， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵D点在上， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，中位线的定义及性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）首先连接，由圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质确定，利用三角形中位线的性质及切线的判定即可证明； （2）由等腰三角形的性质求解 再利用圆周角定理得出 ，结合 由弧长公式直接求解的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 24. 如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵是半径，是的切线， ∴， ∴， 即∴， ∵于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，掌握切线的性质，等边对等角，勾股定理，角平分线的性质是解题的关键． （1）连接，根据是半径，是的切线得，， 即，根据于F得，则，根据得，即可得； （2）结合图形确定，根据题意由勾股定理可得，根据于F，得，，可得，再由垂径定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于F， ∴， ， ∴， ∴． 25. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为，跨度为，把它放在如图所示的平面直角坐标系中，点M为抛物线的最高点． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点P处（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高，且P点在M点的左侧，求灯与y轴的距离． 【答案】（1） （2）2米 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，根据题意，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）根据题意得出，设抛物线所对应的函数关系为，然后利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）灯离地面高，即时，求x的值，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 设抛物线所对应的函数关系为， 点在抛物线上， ∴， 解得：． 故抛物线的函数关系式为． 【小问2详解】 根据题意得：当时， ， 解得：或， ∵P点在M点的左侧， ∴， ∴灯与y轴的距离为2米． 【问题提出】 26. （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 27. 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 28. 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解； （2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图， 连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接， 根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $