串讲02 代数式（考点串讲，5大考点+11大题型突破+6大易错+9大押题）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 串讲02 代数式 苏科版（2024） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理 十一大题型典例剖析 六大易错易混经典例题 精选9道期末真题对应考点练 考点透视 考点一： 代数式的相关概念 一、字母表示数 1.用字母表示几何图形的周长、面积、体积 2.用字母表示现实生活中的一些数量关系 二、代数式 1.代数式的概念 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式． 2.代数式的值 一般地，用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值． 3.代数式求值的方法步骤 第一步：用具体数值代替代数式里的字母，计算出结果，简称为“代入”； 第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”. 4 4. 字母表示数的书写要领： 表示数与字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，数和字母相乘，在省略乘号时，要把数字写在字母的前面，如n×2应写成2n，不能写成n2； 带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式; 后面带单位的相加、减的式子要用括号括起来; 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写； 除法运算要写成分数形式. 5 考点透视 考点二：整式的有关概念 1.单项式：都是数或字母的____，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 积 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 4.多项式：几个单项式的____叫做多项式． 5.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 6.整式：___________________统称整式． 和 单项式与多项式 7 考点透视 考点三：同类项、合并同类项 1.同类项：所含字母________，并且相同字母的指数也______的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变． 相同 相同 [注意] (1)同类项不考虑字母的排列顺序，如－7xy与yx是同类项； (2)只有同类项才能合并，如x2＋x3不能合并． 考点透视 考点四：整式的加减 1．去括号法则 (1)括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，原括号里各项的符号都_______； (2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，原括号里各项的符号都要______. 不改变 改变 2. 整式的加减及化简求值 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项． 考点透视 考点五：探索与表达规律 1.数字变化规律问题： 分母是一系列偶数，分子是一系列奇数. 偶数：2n(n为自然数）；奇数：2n+1(n为自然数）或2n-1(n为正整数） 2、无论系列奇数，还是系列偶数。均是最基础的一类“等差数列”（相邻数字之间差不变） 3、许多规律探索问题中，还有一类——“等比数列”（相邻数字之间商不变） “图形规律探索”试题大致常用四种解决方法： 一是数图法；二是分类法；三是去重法；四是补形法。 另一种就是观察图形的结构，用“分类、去重、补形”的方法去进行思考，直接从图形中寻找规律或者将此图形的规律转化为其他图形的规律，最终利用规律解决问题。 2.图形变化规律问题： 11 题型剖析 题型一：代数式的相关概念 1、下列式子书写规范的是（    ） A． B．x4y C． D．-x2y 【详解】解：A、系数用假分数表示，正确写法为，故此选项不符合题意； B、数要在字母的前面，正确写法为4xy，故此选项不符合题意； C、数要在字母的前面，正确写法为，故此选项不符合题意； D、-x2y书写正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2、下列式子x2，，p＜0，ab，S=πr2，-5，.其中是代数式的有 个． 【详解】解：∵p＜0，S=πr2中含有<、=，则它们不是代数式， ∴x2，，ab，-5，是代数式， ∴代数式有5个， 故答案为5. 13 题型剖析 题型二：列代数式 1、(1)苹果原价是p元/kg, 现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； (2)一个长方形的长是0.9m, 宽是p m,  用代数式表示这个长方形的面积； (3)某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量； 解：(1)苹果的售价是0.9p 元/kg; (2)这个长方形的面积是0.9p m²; (3)去年的产量是(2n-10)件 ； 2、说出下列代数式的意义： (1)2a+3; (2)2(a+3);  (3); (4)x²+2x+8. 解：(1)2a+3的意义是a的2倍与3的和； (2)2(a+3)的意义是a与3的和的2倍； (3)的意义是c除以a,b的积的商； (4)x²+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和. 15 3、用不同的方法表示出图中阴影部分的面积.(至少写出两种) 解:对原图进行割补如图所示: 方法1:S阴影=bc+d(a-c); 方法2:S阴影=ad+c(b-d); 方法3:S阴影=ab-(a-c)(b-d). 16 4、为了鼓励节约用电，某地对居民用电收费标准规定如下：每户每月用电不超过100度，每度按0.52元计算；每月用电超过100度，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.75元计算.小敏家4月份用电a度，则小敏家4月份应缴纳电费多少元?(用含a的式子表示) 解：当a不超过100时，应缴纳电费0.52a元；当a超过100时，应缴纳电费[52+0.75(a-100)]元. 17 5、列代数式： (1)已知一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，求这个三位数． (2)某地区夏季高山的温度从山脚处开始每升高100米，降低0.7℃，若山脚温度是28℃，求比山脚高x米处的温度． 解:(1)∵数的表示，用数位上的数字乘以数位， ∴已知一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c， 那么这个三位数用整式表示为100c+10b+c； (2)28-． 即山上x米处的温度是． 18 题型剖析 题型三：求代数式的值 1、根据下列x,y的值，分别求代数式2x+3y的值：(1)x=15,y=12;   (2)x=1,y=. 解：(1)当x=15,y=12时， 2x+3y=2×15+3×12=66; (2)当x=1,y=时， 2x+3y=2×1+3×=. 2、根据下列a,b的值，分别求代数a2-的值： (1)a=4,b=12;     (2)a=-3,b=2.  解：(1)当a=4,b=12时， a2-=42-=13； (2)当a=-3,b=2时， a2-=(-3)2-=. 20 3、如图3.2-1,某学校操场最内侧的跑道由两段 直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为a,半圆形弯道的直径为b. (1)用代数式表示这条跑道的周长；                    (2)当a=67.3m,b=52.6m时，求这条跑道的周长(π取3.14,结果取整数). 21 分析：跑道的周长是两段直道 和两段弯道的长度和.由圆的周长公 式可以求出弯道的长度. 解：(1)两段直道的长为2a;两段弯道组成一个圆，它的直径为b,周长为πb.因此，这条跑道的周长为2a+πb. (2)当a=67.3m,b=52.6m时 ， 2a+πb=2×67.3+3.14×52.6≈300(m). 因此，这条跑道的周长约为300 m. 22 4、便民超市原有(5x2-10x)桶食用油，上午卖出(7x-5)桶食用油，中午休息时又购进同样的食用油(x2-x)桶，下午清仓时发现该食用油只剩下5桶，请问： (1)现在便民超市一共有多少桶食用油？（用含x的式子表达） (2)若x=5，则便民超市现在一共有多少桶食用油？ 解：（1）(5x2-10x)-(7x-5)+(x2-x) =5x2-10x-7x+5+x2-x =6x2-18x+5; （2）当x=5时，6x2-18x+5 =6×52-18×5+5 =65(桶). 23 题型剖析 题型四：数字类规律探索 1、按一定规律排列的单项式：2a，3a2，4a3，5a4，6a5，……，第n个单项式是（    ） A．(n+1)an B．(n+1)a2n C．na2n D．2nan 【详解】解：由题意可知，第n个单项式的系数为n+1，最高次幂为， ∴第n个单项式是(n+1)an， 故选：A． 2、如图，每个图形中的四个数都是按相同规律填写的.根据此规律可确定 x 的值为(　C　) A. 135 B. 170 C. 209 D. 252 C 25 题型剖析 题型五：图形类规律 1、下面各图均由边长相同的正方形按一定规律拼接而成，请你观察、分析并解决下列问题：    (1)第5个图中的正方形的个数是______； (2)求第n个图中正方形的个数． 【详解】（1）解：第1个图中正方形的个数是：4=3×1+1， 第2个图中正方形的个数是：7=3×2+1， 第3个图中正方形的个数是：10=3×3+1， … 则第n个图中正方形的个数是：3n+1， 即第5个图中的正方形的个数是：3×5+1=16， 故答案为：16； （2）解：由（1）得，第n个图中正方形的个数是3n+1． 27 2、如图，将若干个三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2023个图形是 ． 【详解】解：观察图形的变化可知：从第3个图形开始，每6个图形一组进行循环， 即(2023-2)÷6=336······5． 所以第2023个图形是圆． 故答案为：○． 28 题型剖析 题型六：整式的相关概念 1、若 是关于 x，y 的一个四次单项式，m，n应满足的条件？　 解：由题意知m，n要满足 2+n=4，m-2≠0， 所以m≠2，n=2. 2、已知(b-8)x4ya+1是关于x，y的七次单项式，且系数为5，求(a-3)b的值. 解:根据题意，得4+a+1=7，b-8=5， 所以a=2，b=13. 所以(a-3)b=(2-3)13=(-1)13=-1. 30 3、把下列式子填在相应的大括号里: 0，，+b，a2-πr2，，x-1，x+. 单项式:{ …} 多项式:{ …} 整式:{ …} 0，， +b，a2-πr2，x-1， 0，+b，a2-πr2，，x-1， 31 4、当x=1时，式子2ax3+3bx+4的值是5，当x=-1时，求式子2ax3+3bx+4的值. 解:因为当x=1时，式子2ax3+3bx+4的值是5，所以2a+3b+4=5， 即2a+3b=1.当x=-1时，2ax3+3bx+4=-2a-3b+4. 因为2a+36与-2a-3b互为相反数，所以-2a-3b=-1. 所以当x=-1时，2ax3+36x+4=-2a-3b+4=-1+4=3. 32 5、若关于x，y的多项式(a-2)x2+(2+b)xy-x+2y+7不含二次项，则a=____，b=_____. 6、已知关于x的多项式3x4-(m+5)x3+(n-1)x2-5x+3不含x3项和x2项，求m，n的值. -2 解:因为关于x的多项式3x4-(m+5)x3+(n-1)x2-5x+3不含x3项和x2项， 所以m+5=0,n-1=0, 所以m=-5,n=l. 2 33 题型剖析 题型七：同类项 (2)4a²+3b²+2ab-4a²-4b² =(4a²-4a²)+(3b²-4b²)+2ab =(4-4)a²+(3-4)b²+2ab =-b²+2ab. 解：(1)xy2 - xy2 =(1 - )xy2 = xy2； 1、合并下列各式的同类项： (1)xy2-xy2 (2)4a²+3b²+2ab-4a²-4b². 2、 (1)求多项式2x²-5x+x²+4x-3x²-2的值，其中x=； (2)求多项式3a+abc-c2-3a+c2的值，其中a=-，b=2，c=-3. 分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求 值，这样做往往可以简化计算. 解：(1)2x²-5x+x²+4x-3x²-2  =(2+1-3)x²+(-5+4)x-2 =-x-2. 当x=时，原式=--2=-. 35 2、(1)求多项式2x²-5x+x²+4x-3x²-2的值，其中x=； (2)求多项式3a+abc-c2-3a+c2的值，其中a=-，b=2，c=-3. 解：(2)3a+abc-c2-3a+c2  =(3-3)a+abc+(-)c2 =abc. 当a=-，b=2，c=-3时，原式=(-)×2×(-3)=1. 36 3、合并同类项: (1)-2x2y-3x2y+5x2y; (2)3x2+2xy-5x-3y2-6xy. 解:(1)原式=(-2-3+5)x2y=0; (2)原式=(3-5)x2+(2-6)xy-3y2=-2x2-4xy-3y2. 37 4、求下列各式的值： 3a＋2b-5a-b，其中a=-2，b=1； 3x-4x2＋7-3x＋2x2＋1，其中x=-3. 解：(1)3a＋2b-5a-b=(3-5)a＋(2-1)b=-2a＋b 当a=-2，b=1时，原式=-2×(-2)＋1=4＋1=5. (2)3x-4x2＋7-3x＋2x2＋1=3x-3x-4x2＋2x2＋7＋1 =(3-3)x＋(-4＋2)x2＋8=-2x2+8 当x=-3时，原式=-2×(-3)2＋8=-18＋8=-10. 38 5、合并下列多项式中的同类项： (1)a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3； (2)15xn+6xn+1-4xn-7xn+1+xn+1． 解：（1）原式=a3+(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)+b3 =a3+b3． （2）原式=(15-4)xn+(6-7+1)xn+1 =11xn． 39 题型剖析 题型八：整式的加减运算 1.计算: (1)(x2-5x+4)-(3x2+2x-1)； (2)3x2+[2x-(-5x2+4x)+2]. 解:(1)原式=x2-5x+4-3x2-2x+1 =-2x2-7x+5; (2)原式=3x2+(2x+5x2-4x+2) =3x2+2x+5x2-4x+2 =8x2-2x+2. 2、小玲做一道题:“已知两个多项式A，B，其中A=x2+3x-5，计算A-2B.”她误将“A-2B”写成了“2A-B”，结果答案是x2+8x-7.请帮她求出A-2B的正确答案. 解:由题意可得2A-B=x2+8x-7， 所以B=2A-(x2+8x-7) =2(x2+3x-5)-(x2+8x-7) =2x2+6x-10-x2-8x+7 =x2-2x-3. 所以A-2B=(x2+3x-5)-2(x2-2x-3)=x2+3x-5-2x2+4x+6=-x2+7x+1. 41 3、已知M=3x2-2x+4，N=x2-2x+3，试比较M，N的大小. 解:M-N=(3x2-2x+4)-(x2-2x+3) =3x2-2x+4-x2+2x-3 =2x2+1. 因为2x2≥0，所以2x2+1＞0. 所以M-N＞0，即M＞N. 42 题型剖析 题型九：整式的化简求值 1、先化简,再求值：3x2-[8x-2(4x-3)-2x2]，其中x=-3. 解: 3x2-[8x-2(4x-3)-2x2] =3x2-8x+2(4x-3)+2x2 =3x2-8x+8x-6+2x2 =5x2-6. 当x=-3时，原式=5×(-3)2-6=39. 2、先化简,再求值: 2ab2-[a3b+2(ab2-a3b)-5a3b，其中a=-2，b=. 解:原式=2ab2-a3b-2(ab2-a3b)-5a3b =2ab2-a3b-2ab2+a3b-5a3b =-5a3b. 当a=-2，b=时，原式=-5×(-2)3×=8. 44 题型剖析 题型十：整式加减的无关型问题 46 题型剖析 题型十一：整式加减的应用 48 49 易错易混 易错点一：代数式的规范书写问题 【解析】解：A、正确书写格式为：18b,故此选项不符合题意； B、正确书写格式为： x,故此选项不符合题意； C、是正确的书写格式，故此选项符合题意； D、正确书写格式为： ，故此选项不符合题意． 故选：C． C 1.下列各式符合代数式书写规范的是( ____ ) A.18×b B. C. D.m÷2n 易错易混 易错点二：列代数式 2.如图，一个瓶子内底面半径为r,瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20厘米；倒放时，空余部分的高度为5厘米．请用含r的代数式表示瓶内溶液的体积 　　；若瓶子的容积为1.25升，则瓶子内底面面积为 　　． 【解析】解：瓶内液体的体积为：πr2×20=20πr2(cm2)， ∵1升=1立方分米，∴1.25升=1.25立方分米=1250立方厘米， 由题意得：1250-20πr2=5πr2，解得πr2=50(cm)． 故答案为：20πr2 cm2；50cm. 51 易错易混 易错点三：求代数式的值 3.定义：对于一个数x,我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]=x-1；若x＜0，则[x]=x+1．例 = ，[-2]=-1； 已知当a＞0，b＜0时有[a]=[b]+1，则代数式(b-a)3-3a+3b的值为 _____ ． -36 【解析】解：当a＞0，b＜0时，[a]=[b]+1， ∴a-1=b+1+1， ∴a-b=3， ∴(b-a)3-3a+3b=-(a-b)3-3(a-b) =-33-3×3=-27-9=-36， 故答案为：-36． 易错易混 易错点四：合并同类项 解：(1)3a+2b－5a－b =(3a－5a)+(2b－b) =(3－5)a+(2－1)b=－2a+b. (2)－4ab+ b2－9ab－ b2 =(－4ab－9ab)+( b2－ b2) =－13ab－ b2 4、练一练：合并同类项： (1)3a+2b-5a-b; (2) 53 易错易混 易错点五：整式相关概念混淆 5.下列各式是整式的是( ____ ) A.2a-b, B. C. ， ， D. ， ，(3a+b)2 【解析】解：∵2a-b和 是整式， 是分式，∴选项A不符合题意； ∵2和5πa2是整式， +3ab是分式，∴选项B不符合题意； ∵ ，- ，3a- 是整式，∴选项C符合题意； ∵ ，(3a+b)2是整式，- 是分式，∴选项D不符合题意， 故选：C． C 易错易混 易错点六：整式的化简求值 6.先化简，再求值：－(9x3－4x2＋5)－(－3－8x3＋3x2)，其中x＝2. 解：－(9x3－4x2＋5)－(－3－8x3＋3x2) ＝－8＋4－2 ＝－9x3＋4x2－5＋3＋8x3－3x2 ＝－x3＋x2－2. 当x＝2时，原式＝－23＋22－2 ＝－6. 55 押题预测 56 57 58 59 60 感谢您的观看 Thank you 61 1．已知 ， (1)求 的值，其中 ， ； (2)若多项式 与字母 的取值无关，求 的值． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 把 ， 代入得：原式 ； （2）解：由（1）可知： ， ∵多项式 与字母 的取值无关， ∴ ，∴ ． 2．已知多项式 ， ． (1)求 的值； (2)若 的值与 的取值无关，求 的值． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解：∵ ， 又∵ 的值与 的取值无关，∴ ，解得： ． 3．老师出了这样一道题：“当 ， 时，计算 的值．”但在计算过程中，有一位同学错把“ ”写成“ ”，而另一位同学错把“ ”写成“ ”，可他俩的运算结果都是正确的，请你说明其中的原因． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 化简结果等于 ，和 ， 的取值无关， 不管 ， 取什么样的值，结果都为 ． 1．如图，学校要利用专款建一长方形的自行车停车场，一面靠墙，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为 米，宽比长少 米． (1)用a，b表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度． 【详解】（1）解：根据题意，得长方形停车场的宽为 米； （2）护栏的总长度为 米． 2．如图所示长方形 ，在 边上有一点E， 边上有一点F． (1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示 的长度； (2)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积； (3)若 ，求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可知： ； （2）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 即阴影部分的面积为 ； （3）解：由（2）可得：当 时， ， 即阴影部分的面积为30． 3．小王购买了一套经济适用房，地面结构如图所示（墙体厚度、地砖间隙都忽略不计，单位：米），他计划给卧室铺上木地板，其余房间都铺上地砖． 根据图中的数据，解答下列问题：（结果用含x、y的代数式表示） (1)求整套住房需要铺多少平方米的地砖？ (2)当 ，时，求客厅的面积比其余房间的总面积多多少平方米？ 【详解】（1）解：客厅的面积为 ，厨房的面积为，卫生间的面积是 ，卧室的面积是 ；∴地砖的面积是 ； （2）解：客厅的面积为 ，厨房的面积为 ，卫生间的面积是 ，卧室的面积是 ； ∴客厅的面积比其余房间的总面积多 ． ∴当 ， 时， ． 【详解】解：由于 ，，所以 ，所以 ； 当 时， ；故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A． ，故不正确；B．，故不正确； C． ，故不正确；D． ，正确；故选D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如果 ，那么代数式 的值是（   ） A．1 B． C． D．2023 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第6个图案需（   ）根火柴． A．57 B．58 C．59 D．60 【详解】解：第1个图案需7根火柴， ； 第2个图案需13根火柴， ； 第3个图案需21根火柴， ； …… 第 个图案需 根火柴；则第6个图案需： （根）．故选A． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若单项式 与 的和是单项式，则 【详解】解： 单项式与 的和是单项式， 单项式 与 是同类项， ， ， ， ．故答案为：8． 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为 ，第二个数记为，第三个数记为 ，……，第n个数记为 ，则 ． 【详解】解：由题意可知： ， ∴ ，∴ ，∴ ； 故答案为： ． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) ； (2)． 【详解】（1）解：原式 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解：原式 EMBED Equation.DSMT4 ． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知整式 和满足： ， ． (1)求整式 （用所含 、 的代数式表示）； (2)若 的值与 的取值无关，求 的值． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∵ 的值与 的取值无关，∴ ，∴ ． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，用三种大小不同的5个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成长方形 ，其中 ．最小的正方形的边长为 ． (1) ______， ______（用含x的代数式表示） (2)用含 的代数式表示长方形 的周长，并求当 时长方形 的周长． 【详解】（1）解：设最右边的最小正方形的右下顶点为M，最左边小正方形的左上顶点为N， 根据题意，得 ，， 故 ， ， 故答案为： ， ． （2）解：根据题意，得长方形 的周长为： ， 当 时， ． $$