串讲05 平面图形的初步认识（考点串讲，8大考点+10大题型突破+4大易错+9大押题）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 串讲05 平面图形的初步认识 苏科版（2024） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 十大题型典例剖析 四大易错易混经典例题 精选9道期末真题对应考点练 考点透视 考点一：直线、射线、线段 1.直线、射线、线段的特点： 类型 线段 射线 直线 端点数 2个 能否延伸 能否度量 可度量 1个 向一个方向无限延伸 不可度量 无端点 向两个方向无限延伸 不可延伸 不可度量 2.线段、射线、直线的表示 （1）直线的表示： C E m 直线m、直线CE、直线 EC 要点归纳：表示直线的方法 ①用一个小写字母表示，如直线m; ②用两个大写字母表示，注：这两个大写字母可交换顺序. 4 （2）射线的表示： 记作： 射线 OA ( 或射线d ) O A d 射线用它的端点和射线上的另一点来表示 ( 表示端点的字母必须写在前面 ) 或用一个小写字母表示. 5 （3）线段的表示： 记作：线段 a 线段： (1) 用表示端点的两个大写字母表示； (2) 用一个小写字母表示. a A B 记作：线段 AB ( 或线段 BA ) 6 3.两点确定一条直线 ⑴ 经过一点有无数条直线； ⑵直线公理：经过两点有且只有一条直线（即：两点确定一条直线） 解释： ⑵中的“有”是存在的意思，“只有”是唯一的意思。 7 考点透视 考点二：比较线段的长度 1.线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短． 简述为：两点之间，线段最短． 2.两点之间的距离 两点之间的距离是指连接两点的线段的长度． 3.线段长度的比较有两种方法： （1）叠合比较法，如比较线段AB，CD的长度，可将线段 AB，CD移到同一条射线上，使它们的端点A，C都与射线的端点重合，再由点B与点D的位置关系，就可得出线段AB和CD的长度关系． （2）度量比较法，先用刻度尺度量各线段的长度，再按照度量的长度比较它们的长短． 9 4.对线段的中点的认识： (1)线段的中点是线段上的点，且把线段分成相等 的两条线段； (2)一条线段的中点有且只有一个； (3)如图，若M是AB的中点，则①AM＝BM＝ AB； ②AB＝2AM＝2BM；③AM＋BM＝AB且AM＝BM.反过来也成立． A B M 10 考点透视 考点三：角 1.角的定义 (1)角是由两条具有公共端点的射线组成的图形． (2)角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成． 2.角有两个要素： ①公共端点——角的顶点； ②两条射线——角的两边． 方法 图标 记法 适用范围 1.用三个大写字母表示 ∠AOB 或∠BOA 任何角 2.用一个大写字母表示 ∠O 顶点处只有一个角 3.用一个数字或希腊字母来表示 有弧线和数字 弧线和小写希腊字母 O A B O 1 3.角的表示方法: 12 4.平角与周角的概念 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角；终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．平角为180°，周角为360°. 5.角的度量 (1)角的度量单位是度、分、秒． (2)它们之间的关系是六十进制的，即1°＝60′，1′＝60″. 13 考点透视 考点四：角的比较 1. 度量法： (1)对“中”—角的顶点对量角器的中心 (3)读数—读出角的另一边所对的度数 (2)对线—角的一边与量角器的零线重合 (1)将两个角的顶点及一边重合 (2)两个角的另一边落在重合一边的同侧 (3)由两个角的另一边的位置确定两个角的大小 2. 叠合法 15 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 ⌒ ⌒ 2 1 O A C B 注意：角平分线是一条射线. 16 符号语言 ∵∠1=∠2 (或∠AOB= 2∠1 , ∠AOB= 2∠2) ∴射线OC平分∠AOB ∵射线OC平分∠AOB ∴∠1=∠2 (或∠AOB= 2∠1 , ∠AOB= 2∠2) 定义 性质 17 考点透视 考点五：相交线 （1）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角. 两个特征:(1) 具有公共顶点； (2) 角的两边互为反向延长线. 定理与性质 （1）对顶角的性质：对顶角相等. （2）垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. l A l A （2）补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. （3）余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 20 （4）垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线. 21 考点透视 考点六：平行线 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 ∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角. ∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角. ∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁内角. （3）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. （4）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 23 考点透视 考点七：平行线的判定与性质 平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行. 判定2：内错角相等，两直线平行. 判定3：同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等. 性质2：两直线平行，内错角相等. 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 考点透视 考点八：多边形 1.多边形 (1)多边形是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形 ． (2)连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 2.正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 题型剖析 题型一：直线、射线、线段 1.如图，A，B，C 是同一直线上的三点，下列说法正确的是(　　) A．射线AB与射线BA是同一条射线 B．射线AB与射线BC是同一条射线 C．射线AB与射线AC是同一条射线 D．射线BA与射线BC是同一条射线 C 2、将线段AB延长至C，再将线段AB反向延长至D，则共得到的线段有(　　) A．8条　　 B．7条　 　C．6条　　　D．5条 C 27 3、数一数，图中共有多少条线段?并分别写出这些线段. 解：由图形得：共有10条线段，分别为：线段 AB、线段BC、线段CD、线段DA、线段AC、线段AO、线段CO、线段BD、线段BO、线段DO. 28 题型剖析 题型二：线段的中点 1、如图，在直线上有A，B，C三点，AB＝ 4 cm，BC＝3 cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度. 解：∵AB＝4 cm，BC＝3 cm， ∴ AC＝AB＋ BC＝3+4=7 cm. ∵点O是线段AC的中点， ∴ OC＝ AC＝ 7 × =3.5 cm. ∴ OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm). 2、如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6，求线段MC的长． 解：AB＝6÷3×2＝4，BC＝6÷3×4＝8， AD＝AB＋BC＋CD＝18， 因为M是AD的中点， 所以MD＝ AD＝9，MC＝MD－CD＝3 30 3、如图点A，B，E，C，D在同一直线上，且AC＝BD，E是BC的中点，试说明E也是AD的中点． 解：因为AC＝BD， 所以AC－BC＝BD－BC， 所以AB＝CD， 因为E是BC的中点， 所以BE＝EC， 所以BE＋AB＝EC＋CD，即AE＝ED， 所以E也是AD的中点. 31 题型剖析 题型三：角度计算 （1）1.45°等于多少分?等于多少秒? （2）1800″等于多少分?等于多少度? 解: （1）60′×1.45 ＝87′, 即 1.45°＝87′＝5220″; （2） × 1800＝ 30′, 60″×87 ＝5220″, × 30 ＝ 0.5°, 即 1800″＝30′＝0.5°. 1、计算: 2、计算： （1）49°38′+66°22′； （2）180°-79°19′； （3）22°16′×5； （4）182°36′÷4. 解：原式=（49°+66°）+（38′+22′）=115°+1°=116°. 原式=（179°-79°）+（60′-19′）=100°+41′=100°41′. 原式=22°×5+16′×5=110°+80′=111°+20′=111°20′. 原式=182°÷4+36′÷4=45°30′+9′=45°39′. 33 8.计算: (1)28°32′46″+ 15°36′48″ (2)(30°-23°15′40″)×3 (3)108°18′36″-56.5°(结果用度、分、秒表示) (4)123°24′-60 °36′ (结果用度表示) 34 解：(1) 28°32′46″+ 15°36′48″ = (28°+15°)+(32′+36′)+(46″+48″) = 43°68′94″ = 44°9′34″. (2) (30°-23°15′40″)×3 =6°44′20″×3 =18°132′60″ =20°13′ 35 (3) 108°18′36″-56.5° =108°18′36″-56°30′ =107°78′36″-56°30′ =51°48′36″ (4) 123°24′-60 °36′ =122°84′- 60°36′ =62°48′ =62.8° 36 题型剖析 题型四：钟面角 1．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° B 题型剖析 题型五：角平分线 1、如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB,若∠COB=35°,则∠AOD等于多少度？ A B O D C 解：由题意可知 ∵OC是∠DOB的角平分线，且COB=35° ∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70° 又∵∠AOB是平角 ∴∠AOD+∠BOD=∠AOB ∠AOD=∠AOB－∠BOD =180°－70° =110° 解： 设∠BOC＝2x°， 则∠AOE＝5x°，∠AOD＝8x°. 因为O是直线AB上一点， 所以∠AOB＝180°， 所以∠COE＝(180－7x)°. 因为OE平分∠AOC， 所以∠AOE＝∠COE， 即5x＝180－7x， 解得x＝15， 所以∠AOD＝8×15°＝120°， 所以∠BOD＝60°. 2、如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC∠AOE : ∠AOD＝2 : 5 : 8，求∠BOD的度数. 39 题型剖析 题型六：对顶角 1、 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3等于(　　) A. 90° B. 150° C. 180° D. 210°, C 2．如图，a，b相交于点O，∠2＝2∠1，求∠3的度数． 解：∵O是直线a上的点 ∴∠1＋∠2＝180° 又∵∠2＝2∠1 ∴2∠1＋∠1＝180° ∴∠1＝60° ∵∠1与∠3是对顶角 ∴∠3＝∠1＝60° 41 题型剖析 题型七：补角与余角 1．已知，∠α＝35°，则∠α的余角的度数是(　　) A．55° B．65° C．145° D．155° A 2. 如果一个角的补角是120°，那么这个角是(　　) A. 150° B. 90° C. 60° D. 30° C 3．如图，∠AOB＝∠COD＝90°. (1)若∠1∶∠2＝2∶7，求∠1，∠2的度数； (2)试说明∠1和∠2的关系． 解：(1)∵∠1＋∠2＋∠AOB＋∠COD＝360°， ∠AOB＝∠COD＝90° ∴∠1＋∠2＝180° 又∵∠1∶∠2＝2∶7 ∴∠1＝ ×180°＝40°，∠2＝ ×180°＝140° (2)由(1)知∠1＋∠2＝180°， ∴∠1与∠2互补． 43 题型剖析 题型八：垂直 1． 如图，AO⊥CO，直线BD经过点O，且∠1=20°，则∠COD的度数为（　　） A． 70° B． 110° C． 140° D． 160° B 2． 如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为（　　） A． 28° B． 60° C． 62° D． 152° C 45 3.如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1=50°，求∠BOC，∠BOF的度数． 解：因为OE⊥CD于点O，∠1=50°， 所以∠AOD=90°-∠1=40°. 因为∠BOC与∠AOD是对顶角， 所以∠BOC=∠AOD=40°． 因为OD平分∠AOF，所以∠DOF=∠AOD=40°. 所以∠BOF=180°-∠BOC-∠DOF=180°-40°-40°=100°． 46 4.如图，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.请判断OF与OD的位置关系； 解：因为OF平分∠AOE， 所以∠AOF＝∠EOF＝∠AOE. 又因为∠DOE＝∠BOD， 所以∠FOD＝∠FOE＋∠EOD＝∠AOE＋∠EOB ＝(∠AOE＋∠EOB)＝∠AOB＝90°. 所以OF⊥OD. 47 题型剖析 题型九：平行线的判定与性质 1、如图，已知∠1＝70°，∠2＝110°，试问a与b平行吗？说说你的理由. 解：平行. 理由如下: ∵∠2＝110°， ∴ ∠3＝180°－∠2＝180°－110°＝ 70°. ∵ ∠1＝70°， ∴ ∠1＝∠3. ∴ a∥b(同位角相等，两直线平行). 2.如图，已知∠1＝65°，∠2＝115°，直线BC与DF平行吗？为什么？ 解：平行. 理由如下: ∵ ∠2＝115°, ∴ ∠AED＝180°－∠2＝180°－115°＝65°. ∵ ∠1＝65°, ∴ ∠1＝∠AED. ∴ BC∥DF(同位角相等,两直线平行). 49 3.如图，已知∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝122°，说明a与b，b与c，a与c的位置关系. 解：∵ ∠1＝58°,∠2＝58°, ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行). ∵ ∠3＝122°, ∴ ∠4＝58°(邻补角的定义), ∴ ∠2＝∠4, ∴ b∥c(同位角相等,两直线平行), ∴ a∥c(平行于同一直线的两直线平行). 50 4. 如图，若∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则直线a与c平行吗？为什么？ 解：a∥c.理由如下： ∵∠1＝∠2(已知) ∴a∥b(内错角相等，两直线平行) ∵∠3＋∠4＝180°(已知) ∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行) ∴a∥c(平行于同一直线的两直线平行) 51 5.如图，AB∥CD，∠α＝45°，∠D＝∠C，依次求出∠D，∠C，∠B的度数. 解：∵AB∥CD，∠α＝45° ∴∠D＝∠α＝45° 又∵∠D＝∠C，∴∠C＝45° ∵DC∥AB ∴∠C＋∠B＝180° ∴∠B＝180°－∠C＝180°－45°＝135° 52 6.如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数. 解：∵E是CD上的一点 ∴∠AEC＋∠AED＝180° ∵∠AEC＝42° ∴∠AED＝138° ∵EF平分∠AED ∴∠DEF＝ ∠AED＝ ×138°＝69° ∵AB∥CD ∴∠AFE＝∠DEF＝69° 53 7.如图，点B在AC上，点E在DF上，AF分别与BD、CE相交于点G、H，且∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明∠A＝∠F. 证明：∵AF与CE相交于点H ∴∠2＝∠3(对顶角相等) ∵∠1＝∠2(已知) ∴∠1＝∠3(等量代换) ∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行) ∴∠4＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∠C＝∠D(已知) ∴∠4＋∠D＝180°(等量代换) ∴DF∥AC(同旁内角互补，两直线平行) ∴∠A＝∠F(两直线平行，内错角相等) 54 题型剖析 题型十：多边形 56 易错易混 易错点一：分类讨论计算线段长 1、点 O 为数轴的原点，点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，点 A 表示的数为5，线段 AB 的长为线段 OA 长的1.2倍.点 C 在数轴上， M 为线段 OC 的中点. (1)点 B 表示的数为 ⁠； (2)若线段 BM 的长为4.5，则线段 AC 的长为 ⁠； －1　 2或16　 (3)若线段 AC 的长为 x ，求线段 BM 的长(用含 x 的式子表示). 解：(3)①当点 C 在点 A 的右侧(或重合)时，如图①， ① 则点 C 表示的数为5＋ x . 因为 M 为线段 OC 的中点， 所以点 M 表示的数为 . 所以 BM ＝ －(－1)＝ . 58 ②当点 C 在点 A 的左侧时，点 C 表示的数为5－ x ， 所以点 M 表示的数为 . ⅰ)若点 M 在点 B 的右侧(或重合)，如图②，则 BM ＝ －(－1)＝ . ② ⅱ)若点 M 在点 B 的左侧，如图③，则 BM ＝－1－ ＝ . ③ 59 易错易混 易错点二：分类讨论计算角的度数 2、如图，已知点 O 在直线 AB 上，作射线 OC ，点 D 在平面内，∠ BOD 与∠ AOC 互余. (1)若∠ AOC ∶∠ BOD ＝4∶5，则∠ BOD ＝ ⁠； 50°　 (2)若∠ AOC ＝α(0°＜α≤45°)， ON 平分∠ COD ，补全图形，求出∠ AON 的值(用含α的式子表示). 解：(2)因为∠ BOD 与∠ AOC 互余， 所以∠ BOD ＋∠ AOC ＝90°. 当点 D 在∠ BOC 内，0°＜α≤45°时，补全图形如图①. 则易知∠ COD ＝90°. 因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°. 所以∠ AON ＝α＋45°. ① ② 61 当点 D 在∠ BOC 外，0°＜α≤45°时，补全图形如图②. 易知∠ BOD ＝90°－α. 因为∠ AOB ＝180°， 所以∠ AOD ＝180°－(90°－α)＝90°＋α. 所以∠ COD ＝90°＋2α. 因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°＋α. 所以∠ AON ＝∠ CON －∠ AOC ＝45°. 综上所述，∠ AON 的值为45°或α＋45°. 62 易错易混 易错点三：缺乏整体思维解决问题 3、如图，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点. (1)如果 AB ＝10 cm， AM ＝3 cm，求 CN 的长； 解：(1)因为 M 是 AC 的中点，所以 AC ＝2 AM . 因为 AM ＝3 cm，所以 AC ＝2×3＝6(cm). 因为 AB ＝10 cm，所以 BC ＝ AB － AC ＝10－6＝4(cm). 又因为 N 是 BC 的中点， 所以 CN ＝ BC ＝ ×4＝2(cm). 64 (2)如果 MN ＝6 cm，求 AB 的长. 解：(2)因为 M 是 AC 的中点，所以 MC ＝ AC . 因为 N 是 BC 的中点，所以 CN ＝ CB . 所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝ AC ＋ CB ＝ ( AC ＋ CB )＝ AB . 又因为 MN ＝6 cm，所以 AB ＝2×6＝12(cm). 65 易错易混 易错点四：无法解决角平分线问题 4、刘星对几何中的角平分线兴趣浓厚，请你和他一起探究下面的问题.已知∠ AOB ＝100°，射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线. (1)如图①，若射线 OC 在∠ AOB 的内部，且∠ AOC ＝30°，求∠ EOF 的度数； 解：(1)因为∠ AOB ＝100°，∠ AOC ＝30°， 所以∠ BOC ＝∠ AOB －∠ AOC ＝70°. 因为射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线， 所以∠ EOC ＝ ∠ AOC ＝15°，∠ FOC ＝ ∠ BOC ＝35°. 所以∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝15°＋35°＝50°. 67 (2)如图②，若射线 OC 在∠ AOB 的内部绕点 O 旋转，求∠ EOF 的度数； 解：(2)因为射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线， 所以∠ EOC ＝ ∠ AOC ，∠ FOC ＝ ∠ BOC . 所以∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝ (∠ AOC ＋∠ BOC ) ＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°. 68 (3)若射线 OC 在∠ AOB 的外部绕点 O 旋转(旋转过程中∠ AOC ，∠ BOC 均小于180°)，其余条件不变，请借助图③探究∠ EOF 的大小. 69 解：(3)①当射线 OE ， OF 只有1条在∠ AOB 的外部时，如图①， 则∠ EOF ＝∠ FOC －∠ COE ＝ ∠ BOC － ∠ AOC ＝ (∠ BOC －∠ AOC )＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°. ②当射线 OE ， OF 都在∠ AOB 的外部时，如图②， 则∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ COF ＝ ∠ AOC ＋ ∠ BOC ＝ (∠ AOC ＋∠ BOC ) ＝ (360°－∠ AOB )＝ ×260°＝130°. 70 押题预测 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 感谢您的观看 Thank you 81 2．在化学中，有一种由60个碳原子构成的 分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 【详解】解： 条，∴20个正六边形的对角线的总条数是180， 故答案为：180． 1．从多边形的一个顶点出发的对角线一共有 条，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【详解】解：设这个多边形的边数是 ，由题意得，， 解得： ，即这个多边形为九边形，故选： ． 3．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】（2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】（3）对于n边形 ，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】（4）十边形共有________条对角线． 【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； 1．（23-24七年级下·广西贺州·期中）如图，点A、C、D在同一直线上， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，点B、E分别是 的中点，则 的长是（    ） A． B． C． D． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 点B、E分别是 的中点， ， ， 故选：C 2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）一副三角板摆放成如图所示，点 在 上， 经过点 ，已知 ， ， ， ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：在 中，， ，则 ， 在 中， ， ，则 ， 是 的一个外角， ， ，即 ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凹透镜的折射后，折射光线 的反向延长线交于主光轴 上一点P．若 ，则 的度数是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ ，∴， ∵ ，∴ ， ∴ ．故选：D． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，下列条件：① ；② ；③ ；④ ，能判定 的是 （填写正确答案的序号）． 【详解】解：∵ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故①判定 ； ∵ ，∴ （内错角相等，两直线平行） 故②判定 ； ∵ ，∴ （内错角相等，两直线平行） 故③不能判定 ； ∵ ，∴不能判定 ；故选：①② 5．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：如图， ， ， 是 的平分线，则 的度数为 ． 【详解】解： ，， ， EMBED Equation.DSMT4 是 的平分线， ， ， 故答案为： ． 6．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）若线段 ，点D是线段 的中点，线段 上有一点C，且 ，则线段 ． 【详解】解：如图： ∵线段 ，点D是线段 的中点，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， 故答案为： ． 7．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知线段 ，C是线段 上任意一点（不与点A、B重合）． (1)若M，N分别是 ， 的中点，则 ________； (2)若 ， ，求 的长． 【详解】（1）解：∵M，N分别是 的中点，∴， ， ∴ ． ∵ ，∴ ； （2）解：∵ ， ，∴ ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ． 8．（23-24七年级上·广东东莞·期末）如图， 与 互为补角， 与 互为余角，且 ．    (1)求∠ 的度数； (2)若 平分 ，求 的度数． 【详解】（1）解：∵ 与互为余角，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ； （2）解：∵ 与 互为补角，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ∴ ． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知直线 ，点C，B分别在直线 ， 上，点A在直线 和 之间．    (1)如图1，若 ，则 ______； (2)如图2，求证： ； (3)如图3， ，点E在直线 上，且 ，求证： ； 【详解】（1）解：∵ ，，∴ ， 故答案为： ． （2）解：延长 交 于点D，    ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ． （3）延长 交于点G    ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，且 ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ． $$