精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

鄄城一中高一上学期第二次月考 数学 全卷满分150分，考试时间100分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的单调性求解不等式，利用补集运算，可得签答案. 【详解】由，得，则． 故选：D. 2. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 则函数一定存在零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据零点的存在性定理直接得出结果. 【详解】因为，则， 又函数的图象是连续不断的， 所以在区间上一定存在零点． 故选：B 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数与绝对值函数的性质，结合反比例函数的奇偶性与单调性，可得答案. 【详解】指数函数，对数函数不是奇函数，所以A、D选项不正确； 函数在上为增函数且为偶函数，所以B选项不正确； 为奇函数，且在上是增函数，所以C法项正确． 故选：C. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，结合赋值法即可判断. 【详解】函数的定义域为， ． 所以函数是奇函数，排除BC； 当时，，排除A． 故选：D 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数幂的运算，利用指数函数与幂函数的单调性，可得答案. 【详解】因为，且在R上单调递减， 所以，所以，所以， 因为在上单调递增，由，可得， 所以，故． 故选：A． 6. 若函数为上的奇函数，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，，得， 此时，定义域为R，则， 则函数为上的奇函数， 所以. 故选：A. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算有，换元得，利用二次函数求最小值. 【详解】， 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数以及一次函数的单调性可得，结合衔接处的函数值关系可得，构造函数，根据的单调性即可求解. 【详解】由题意必有可得， 又，整理为． 令，有，由函数为增函数，可得函数为增函数，又由， 可得不等式中a的取值范围为， 由上知，实数a的取值范围为． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】把代入每一个选项，逐一与题目中的数据对比，可得答案. 【详解】对于A，把代入，可得下表： 对于B，把代入，可得下表： 对于C，把代入，可得下表： 对于D，把代入，可得下表： 显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意． 故选：ACD. 10. 已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分和两种情况，根据题意列方程求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 则， 所以，解得； 当时，函数在上单调递减， 则， 所以，解得． 综上所述，实数a的值为或. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在区间上单调递增 C. 的最大值为 D. 无最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义判断A；根据对数函数的单调性比大小即可判断B；根据偶函数的性质，结合基本不等式计算即可判断CD. 【详解】因为的定义域为， 又， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，故A正确； 因为， 又，所以，故B错误； 因为是偶函数，所以的最大值即为在上的最大值． 当时，， 当且仅当时等号成立，所以，故C正确，D错误. 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算，可得答案. 【详解】． 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数以及绝对值函数的单调性，结合复合函数单调性原则即可求解. 【详解】因为的定义域为R，设， 则在上单调递减，在上单调递增． 因为在R上单调递增，所以的单调递增区间为． 故答案为： 14. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，其中，则_______，的取值范围是______ 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】作出图形，则，结合一元二次方程和对数方程的解法分别求出即可. 【详解】由，画出图象可知，， 当时，， 得， 所以. 当时，， 得，整理得， 所以的取值范围是． 故答案为：1； 四、解答题：本题共4小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数， （1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图； （2）根据函数的图象，写出函数的单调区间； （3）若，求实数t的值． 【答案】（1） （2）增区间为，减区间为 （3）或3 【解析】 【分析】（1）根据题中分段函数解析式作图即可； （2）根据图象直接得出单调区间； （3）可知，结合单调性即可得结果. 【小问1详解】 函数的简图如下： 【小问2详解】 由图可知，函数的增区间为，减区间为； 【小问3详解】 因为，且函数在上单调递增，在上单调递减， 若，则实数t的值为或3. 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）是奇函数 （2）在上递增 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用函数奇偶性定义判断即得. （2）化函数式为，结合反比例函数及对数函数单调性判断单调性. （3）由（2），利用单调性解不等式. 【小问1详解】 函数中，，解得， 函数的定义域为，， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 函数，而函数在上递减， 函数在上递减，所以函数在上递增. 【小问3详解】 由已知及（2）得，，则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 18. 已知函数，. （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求函数在区间上的最值. 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，最小值为0 【解析】 【分析】 （1）由，易知是函数的一个零点，可知有解，进而可求出的范围； （2）原不等式可化为，分，和两种情况，分别讨论，可求出实数a的取值范围； （3），当时，令，可将转化为二次函数，可求出最大值与最小值；当时，令，可将转化为二次函数，进而可求的取值范围，综合两种情况，可求得的最大值与最小值. 【详解】（1）由， 由，可知是函数的一个零点， 若函数有两个零点，只需要（）有解， 因为，所以，可得且. 故若函数有两个零点，则实数a的取值范围为. （2）若不等式恒成立，有，可化为. ①当时，显然原不等式恒成立； ②当时，，原不等式可化为， 因为，所以； ③当时，，原不等式可化为， 因为，所以. 由上知，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为. （3）， ①当时，令，则可化为， 令，二次函数的对称轴为， 故在区间上单调递增，可得的最小值为，的最大值为； ②当时，令，则可化为， 令，二次函数的对称轴为， 故函数在区间单调递减， 由，，得. 因为， 所以函数在上的最大值为，最小值为0． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄄城一中高一上学期第二次月考 数学 全卷满分150分，考试时间100分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 则函数一定存在零点的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数为上的奇函数，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在区间上单调递增 C. 的最大值为 D. 无最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. _______． 13. 函数的单调递增区间为_______． 14. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，其中，则_______，的取值范围是______ 四、解答题：本题共4小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数， （1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图； （2）根据函数的图象，写出函数的单调区间； （3）若，求实数t的值． 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 17. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 18. 已知函数，. （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求函数在区间上的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $