精品解析： 山东省菏泽市鄄城县2024－2025学年上学期九年级数学期中试题

2024—2025学年度第一学期阶段性质量检测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每道小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．由原方程变形得到：，该方程是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 邻边相等的平行四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键． 3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， 故选：B． 4. 如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（ ） A. B. 5 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．先求出的长，再根据中位线定理即可求出答案． 【详解】解：菱形的周长为36， ， 为中点，H为边的中点， 时的中位线， ， 故选A． 5. 如图，在中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且，．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分，那么四边形AEDF是菱形；④如果，AD平分，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定可判断①；根据矩形的判定可判断②；先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可判断③，结合③的结论，根据正方形的判定即可判断④． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，结论①正确； ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，结论②正确； 平分， ， ， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， 四边形是菱形，结论③正确； 由③已证：当平分时，四边形是菱形， 又， 菱形是正方形，结论④正确； 综上，正确的结论是①②③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题关键． 6. 用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程． 【详解】解： ， ， 故选：． 7. 菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（ ） A. 6 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求菱形面积，熟知菱形面积计算公式是解题的关键． 根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴该菱形的面积为． 故选B． 8. 如图，矩形中，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先求出，再由矩形性质得，则可证得是等边三角形，则，即可求得长． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 9. 某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画树状图（数学史、诗词赏析、陶艺三门课程分别用A、B、C表示）展示所有9种可能的结果数，再找出小波和小春选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为：（数学史、诗词赏析、陶艺三门课程分别用A、B、C表示） 由树状图可知共有9种可能的结果数，其中小波和小春选到同一课程的结果数为3， 所以小波和小春选到同一课程的概率， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 10. 如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，要求与的面积之比，只要证明即可，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出答案． 【详解】解:在平行四边形中，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分请把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是_____． 【答案】x2﹣2x﹣15＝0． 【解析】 【分析】先把原方程通过去括号，移项，合并同类项，然后两边同时除以二次项系数，把方程化成二次项系数为1的一元二次方程的一般形式即可得答案． 【详解】解：将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是：x2﹣2x﹣15＝0． 故答案是：x2﹣2x﹣15＝0． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，基本是通过去括号，移项，合并同类项，然后同时除以二次项的系数，得到二次项系数是1的一元二次方程． 12. 已知方程的一个根是1，则的值是_______ 【答案】-4 【解析】 【分析】将x=1代入方程中即可求出m的值． 【详解】解：由题意可知，将x=1代入方程中得到：1²+m+3=0， 解得m=-4， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程解得概念，告诉方程的解就是将解代入方程中，等号两边相等即可． 13. 如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点．已知，的面积为，则的长为________． 【答案】1.5#### 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，得出的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，为矩形的对角线的垂直平分线， ∴，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为48，顶点，则顶点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，根据菱形的面积为48，求出即可求解． 【详解】由题意得 ∵ ∴ ∴ ∴顶点B的坐标为 故答案为：． 15. 将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若，则_________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，由长方形的性质得出，即可得出，由折叠变换的性质可知，等量代换可得出，再利用三角形的外角的性质解决问题． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠变换的性质可知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为_____． 【答案】40个 【解析】 【分析】由条件共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；由此可估计口袋中白球和红球个数之比，进而可计算出红球数． 【详解】解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球， ∴白球与红球的数量之比为1：4， ∵白球有10个， ∴红球有4×10＝40（个）． 故答案为：40个． 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答此题的关键是要计算出口袋中白球和红球个数之比． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）直接开方法求解即可； 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， 【点睛】此题重点考查一元二次方程的解法，通过整理、观察并且选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF． （2）若正方形的边长为8，求FG的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠A=∠D=90°，再由AE＝ED，DF＝DC，可得 ，即可求证； （2）可先证得△DEF∽△CGF，从而得到，再由勾股定理，求出，即可求解． 【详解】证明：（1）在正方形ABCD中， AB=AD=CD，∠A=∠D=90°， ∵AE＝ED，DF＝DC， ∴ ， ∴ ， ∴△ABE∽△DEF； （2）在正方形ABCD中， ， ∴△DEF∽△CGF， ∴ ， ∵正方形的边长为8， ∴CD=AD=8， ∵AE＝ED，DF＝DC， ∴DE=4，DF=2，CF=6， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，得到相似三角形是解题的关键． 19. 关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的范围； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根； （3）若，是这个方程的两个根，且，则______． 【答案】（1） （2），另一个根为 （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据，解答即可； 对于（2），将方程的根代入计算可求出k，再计算另一个根； 对于（3），根据完全平方公式整理出关于和的形式，再代入计算，并判断答案． 【小问1详解】 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵方程的一个根是， ∴， 解得． ∵方程的两根之和为6， ∴方程的另一个根为． 【小问3详解】 根据题意，得和． 由，得， 代入，得， 解得． 由（1）可知， ∴符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，理解并记忆两根之和，两根之积是解题的关键．即一元二次方程的两个根是，，可知和． 20. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口， ∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 21. 如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果，，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行，得到四边形为平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得证； （2）证明为等腰三角形，推出，再利用所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理，即可求出的长，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查菱形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，以及勾股定理．熟练掌握角平分线加平行线，必有等腰三角形，是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积为24． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，，，可得，，由菱形的判定可得结论； （2）由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，得到的长后，根据菱形的面积公式可得答案． 【小问1详解】 证明：∵为对角线的中点，为边的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接与交于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， 在中，， ∴， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 23. 已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 【答案】（1） （2） （3）①或3；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得：，在中，根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （2）延长交延长线于点M，可得，从而得到，在中，根据勾股定理可得， 设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （3）①分三种情况讨论，即可求解；②作于点H，证明，可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿折叠得到， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：，即； 【小问2详解】 解：延长交延长线于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即； 【小问3详解】 解：①情况1：，即； 情况2：如图1，当时，作于点H，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 情况3：如图2，当四边形为正方形时，此时，， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， 此时点D在上，且为的中点， 此时，符合题意， ∴； 综上所述，的长为或3； ② 如图，作于点H， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠和旋转问题，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想和类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期阶段性质量检测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每道小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 邻边相等的平行四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 4. 如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（ ） A. B. 5 C. 6 D. 9 5. 如图，在中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且，．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分，那么四边形AEDF是菱形；④如果，AD平分，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 6. 用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（ ） A. 6 B. 24 C. 36 D. 48 8. 如图，矩形中，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 9. 某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分请把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是_____． 12. 已知方程的一个根是1，则的值是_______ 13. 如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点．已知，的面积为，则的长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为48，顶点，则顶点B的坐标为__________． 15. 将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若，则_________． 16. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为_____． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF． （2）若正方形的边长为8，求FG的长． 19. 关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的范围； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根； （3）若，是这个方程的两个根，且，则______． 20. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 21. 如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果，，，求菱形的边长． 22. 如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于，若，，求四边形的面积． 23. 已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $