2025届高三数学“8+3+3”小题期末冲刺练（1）（新高考地区专用）

2025届高三“8+3+3”小题期末冲刺练（1） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3．已知向量，满足，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ） A． B．当时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的第40百分位数为1 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 5．已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 6．已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 7．设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2025 8．过且倾斜角为的直线与曲线交于A，B两点，分别过A，B作曲线的两条切线，，若，交于N，直线MN的倾斜角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（ ） A. B. 是减函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点 对称 10．在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（ ） A. 存在点使得 B. 四棱锥外接球的表面积为 C. 直线与直线所成角为 D. 当动点到直线距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是 11．已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（ ） A. 始终垂直于轴 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中的系数为______.（用数字作答） 13.已知数列的前项和为，，则数列的前项和_____________. 14.已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是________. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三“8+3+3”小题期末冲刺练（1） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，, 又，所以. 故选：B. 2．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， 因为复数是纯虚数，所以，所以. 故选：B． 3．已知向量，满足，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为在上的投影向量为，所以. 故选：A. 4．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ） A． B．当时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的第40百分位数为1 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 【答案】D 【解析】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 对于B，当时，y的预测值为，故B错误； 对于C，样本数据y的第40百分位数为，故C错误； 对于D，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确. 故选：D. 5．已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 6．已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数 为偶函数，则 ，因为，所以，则解析式为， 由函数解析式可知，，因为，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，所以在中，， 所以最高点的纵坐标为，即，所以解析式为，所以. 故选：D 7．设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2025 【答案】B 【解析】在上的函数的图象关于对称，则， 由为奇函数，得，于是， ，因此函数是以4为周期的周期函数， 由，得，由，得， 而，则，所以. 故选：B 8．过且倾斜角为的直线与曲线交于A，B两点，分别过A，B作曲线的两条切线，，若，交于N，直线MN的倾斜角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，设，， 由于曲线，则， 所以在A点的切线方程为， 同理在B点的切线方程为， 由于N点是两切线的交点，所以， 则为，且过， 且，设， ， 当且仅当时“”成立， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（ ） A. B. 是减函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点 对称 【答案】ABD 【解析】因为 ，所以 正确; 显然 是减函数，正确. 因为 ， 的图象关于点 对称， 且 ,所以 不是偶函数,不正确， 正确. 故选：ABD. 10．在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（ ） A. 存在点使得 B. 四棱锥外接球的表面积为 C. 直线与直线所成角为 D. 当动点到直线距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是 【答案】BD 【解析】如图1，取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则. 又因为，所以， 又，，平面，所以平面. 因为平面，平面，所以不成立，A错误. 图1 图2 图3 因为为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体. 如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径， 即四棱锥外接球的表面积为，B正确. 如图2，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，而是正三角形，故该夹角为，C错误. 如图1，因为平面，当动点到直线的距离最小时， 由上推导知，，， ，， ，， 因此为的中点，如图3，由为的中点，即为中点， 平面即平面与交点也即为与的交点，可知为的中点， 故，D正确. 故选：BD. 11．已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（ ） A. 始终垂直于轴 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】由双曲线的离心率为2，得半焦距， 对于A，记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，， 令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为， 同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，A正确； 对于B，由分别平分，得， 因此，B正确； 对于CD，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点）， 在中，， 双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和 由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交， 因此，即，从而，C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】56 【解析】第一个括号内取1时，第二个为； 第一个括号内取时，第二个， 所以展开式中的系数为， 故答案为：56. 13.已知数列的前项和为，，则数列的前项和_____________. 【答案】 【解析】由， 当时，，所以， 当时，， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14.已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意得，， 因为，所以，则， 所以， 所以，解得， 故. 令，解得，解得， 因为在区间上没有零点，所以（）， 解得， 因为，所以，解得， 由，得， 所以，因为， 所以或， 当时，；当时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$