精品解析：上海市世外中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024学年第一学期 八年级数学 （时间：100分钟满分：100分） 注意：答题时，务必按答题要求在答题纸规定位置作答，在本试卷上答题无效 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 已知正比例函数的图像经过点，则该函数的图像（ ） A. 在第二、四象限，y随x的增大而增大 B. 在第二、四象限，y随x的增大而减小 C. 在第一、三象限，y随x的增大而增大 D. 在第一、三象限，y随x的增大而减小 2. 在下列函数中，与函数表述为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若点O到的三边的距离相等，则点O为（ ） A. 三角形三条边上中线的交点 B. 三角形三边上高的交点 C. 三角形三个内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 5. 已知甲、乙两辆运输车沿同一条道路从A地出发前往B地，他们离出发地的路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，根据图中提供的信息判断，下列说法不正确的是（ ） A. 甲车比乙车早出发1小时，但甲车在途中停留了1小时 B. 甲乙两车都行驶了240千米 C. 甲乙两车同时到达目的地 D. 相遇后，乙车的速度大于甲车的速度 6. 如图，在中，，，点D在边上，且平分，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①；②D在线段的中垂线上；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 方程的解是______． 8. 已知函数，那么______． 9. 函数的定义域是______． 10. 已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=________． 11. 函数的图像在每个象限内，y随的增大而x增大，则m的取值范围是______． 12. 正比例函数与双曲线的一个交点坐标为，另一个交点坐标为______． 13. 正比例函数与轴正半轴所夹的角为______°． 14. 如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为______． 15. 已知正比例函数经过点，点P在第二象限，且在该正比例函数的图象上，点B的坐标为，且，则点P的坐标为______． 16. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则______． 17. 如图，点A，B在反比例函数的图像上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，的面积为6，则k值为____ 18. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________． 三、简答题（每题7分，共28分） 19. 已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 20. 若点A的坐标为，点B在直线上，若为直角三角形，求点B的坐标． 21. 为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧阶段后，y与x成反比例（这两个变量之间的关系如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数解析式． （2）求药物燃烧阶段后y与x的函数解析式． （3）当“药熏消毒”时间到50分钟时，每立方米空气中的含药量对人体方能无毒害作用，那么当“药熏消毒”时间到50分钟时每立方米空气中的含药量为多少毫克？ 22. 如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． （1）当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； （2）当的面积为4时，求E点的坐标． 四、解答题（23题8分，24题10分、25题12分，共30分） 23. 如图，中，，点D在上，点F在外部，且，，在上取一点E，使． （1）求证：； （2）已知：，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上． （1）求k的值； （2）如果将绕的中点旋转得到． ①请直接写出点P的坐标； ②请判断点P是否在双曲线上，并说明理由． 25. 如图，已知是以为斜边的等腰直角三角形，且，射线，，点E为边上一动点，连接，将沿着翻折后，点D落在点F处，与线段BD相交于点G，连接BF并延长交边于点H． （1）如图1，当时，求的度数． （2）如图2，当时，求的长． （3）当点F是的中点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期 八年级数学 （时间：100分钟满分：100分） 注意：答题时，务必按答题要求在答题纸规定位置作答，在本试卷上答题无效 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 已知正比例函数的图像经过点，则该函数的图像（ ） A. 在第二、四象限，y随x的增大而增大 B. 在第二、四象限，y随x的增大而减小 C. 在第一、三象限，y随x的增大而增大 D. 在第一、三象限，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数，正比例函数图象过原点，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数的性质进行判断． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过点， ∴将点代入得：， ∴正比例函数的值随的增大而减小，图象经过第二、四象限． 故选：B． 2. 在下列函数中，与函数表述为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数关系式的概念和性质，关键在于根据绝对值的性质，分式的性质，根式的性质逐项进行分析． 根据函数关系式的概念及性质逐项进行分析，运用排除法即可确定正确答案． 【详解】解：A、由，根据的取值不同可推出或者，所以与表示的不是同一函数，故本选项不符合题意； B、由，必须符合，所以与表示的不是同一函数，故本选项不符合题意； C、若等式成立，必须符合，所以与表示的不是同一函数，故本选项不符合题意； D、，与表示同一函数，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质：当时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上有三个点，，，其中，且， ∴． 故选：B． 4. 若点O到的三边的距离相等，则点O为（ ） A. 三角形三条边上中线的交点 B. 三角形三边上高的交点 C. 三角形三个内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质． 根据三角形的内角角平分线的性质即可判断． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点， 故选：C． 5. 已知甲、乙两辆运输车沿同一条道路从A地出发前往B地，他们离出发地的路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，根据图中提供的信息判断，下列说法不正确的是（ ） A. 甲车比乙车早出发1小时，但甲车在途中停留了1小时 B. 甲乙两车都行驶了240千米 C. 甲乙两车同时到达目的地 D. 相遇后，乙车的速度大于甲车的速度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，读懂图象是解题的关键．通过观察图象，甲出发1小时后乙开始出发可判断A；甲、乙到达B地时离出发地的距离都为240千米可判断B；由甲、乙到大B地的时间可判断C；两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度可判断D． 【详解】解：观察图象可得： A．甲出发1小时后乙开始出发，但甲车在途中停留了1小时，正确，不符合题意； B． 甲乙两车都行驶了240千米，正确，不符合题意； C．甲在5小时到达B地，乙4小时到大B地，即乙比甲早到1小时，故不正确，符合题意； D．两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明乙车的速度大于甲车的速度，正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，，点D在边上，且平分，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①；②D在线段的中垂线上；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等角对等边、线段垂直平分线的判定、勾股定理，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．由，，得到，结合平分可得，可得①正确；利用等角对等边得，可得D在线段的中垂线上，可得②正确；设，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理表示出、、的长，通过计算即可得③④正确，即可解答本题． 【详解】解：，， ， 平分， ， ，即①正确， ， ， 在线段的中垂线上，即②正确， 设， ，， ， 由勾股定理得，， ， 又，， ， ，，即③④正确， 综上所述，正确的是①②③④，共4个． 故选：D． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程， 掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 8. 已知函数，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：． 9. 函数的定义域是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 10. 已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据正比例函数的图象可得，再将点代入函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 由题意，将点代入函数得：， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键． 11. 函数的图像在每个象限内，y随的增大而x增大，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，y随的增大而x增大， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 正比例函数与双曲线的一个交点坐标为，另一个交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与正比例函数的性质，解题的关键是正确求得正比例函数的解析式． 将点代入反比例函数，求得的坐标，再代入正比例函数求得，联立即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数，得， 即， 再将代入正比例函数得，， 解得：， 即， 联立，解得或， 则另一个交点的坐标为， 故答案为：． 13. 正比例函数与轴正半轴所夹的角为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，含度角的直角三角形，取正比例函数上位于第四象限内一个点，过点作轴的垂线，交轴于点，即为正比例函数与轴正半轴所夹的角，根据，，可得，即可求得答案． 【详解】如图所示． 取正比例函数上位于第四象限内的一个点，过点作轴的垂线，交轴于点，即为正比例函数与轴正半轴所夹的角． ． 所以，． 可得 所以，． 故答案为： 14. 如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为______． 【答案】234 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积+直角的面积． 【详解】解：连接．如图所示： ， ， 在中，， ，即， ∴是直角三角形，． ， 即绿地的面积为234． 故答案为：234． 15. 已知正比例函数经过点，点P在第二象限，且在该正比例函数的图象上，点B的坐标为，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，正比例函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．设正比例函数的解析式为，再把代入求出k的值，设出P点坐标，画出图形，结合列式求解即可． 【详解】解：设正比例函数为， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：． 设 如图所示， ， 解得， ∴； 故答案为． 16. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 分边上的中线等于，边上的中线等于两种情况，根据勾股定理计算． 【详解】解：当边上的中线等于时，如图， ， ， ． 当边上的中线等于时， ， ， 解得，， 综上所述，或， 故答案为：或． 17. 如图，点A，B在反比例函数的图像上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，的面积为6，则k值为____ 【答案】4 【解析】 【分析】△AOC的面积可以分为△AOM和△AMC的面积之和． 【详解】设，即 ， ， =6， ∴， 故答案为：4． 18. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当落在边上时，如图（1）： 设交于点， 由折叠知：, ,, ，， 设，则在中， 在中， 即． 当落在边上时，如图（2） 因为折叠， ． 故答案为：或 【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、简答题（每题7分，共28分） 19. 已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 【答案】y＝（x+1）+ 【解析】 【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解 【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0）， ∴y＝k1（x+1）+ ． ∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4， ∴， ∴， ∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+； 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算． 20. 若点A的坐标为，点B在直线上，若为直角三角形，求点B的坐标． 【答案】点B的坐标为或 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理和一元二次方程，解题的关键是分类讨论． 设点B的坐标为，表示出，，分为当时，当时，当时，分别解答即可． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵为直角三角形， 当时，则， ∴，解得：（舍去）； 当时，则， ∴，解得：或（舍去）； 当时，则， ∴，解得：； 综上，或， ∴点B的坐标为或． 21. 为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧阶段后，y与x成反比例（这两个变量之间的关系如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数解析式． （2）求药物燃烧阶段后y与x的函数解析式． （3）当“药熏消毒”时间到50分钟时，每立方米空气中的含药量对人体方能无毒害作用，那么当“药熏消毒”时间到50分钟时每立方米空气中的含药量为多少毫克？ 【答案】(1) 药物燃烧阶段的函数解析式为y=x；（2）药物燃烧阶段后的函数解析式为y=；（3）当“药熏消毒”时间到50分钟时每立方米空气中的含药量为1.6毫克． 【解析】 【分析】（1）由于在药物燃烧阶段，y与x成正比例，因此设函数解析式为y=k1x（k1≠0），然后由（10，8）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式； （2）由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为y=（k2≠0），然后由（10，8）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式； （3）当“药熏消毒”时间到50分钟时，可知在药物燃烧阶段后，将x=50代入y=，即可求得y的值，则可求得答案． 【详解】（1）由于在药物燃烧阶段，y与x成正比例， 因此设函数解析式为y=k1x（k1≠0）， 由图示可知，当x=10时，y=8．将x=10，y=8代入函数解析式， 解得k1=． ∴药物燃烧阶段的函数解析式为y=x． （2）由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为y=（k2≠0）， 同理将x=10，y=8代入函数解析式，解得k2=80． ∴药物燃烧阶段后的函数解析式为y=． （3）当x=50时，y===1.6． ∴当“药熏消毒”时间到50分钟时每立方米空气中的含药量为1.6毫克． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案． 22. 如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． （1）当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； （2）当的面积为4时，求E点的坐标． 【答案】（1） （2）E点的坐标为 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，当点D的纵坐标为3时，得出，即可求解． （2）根据，得出，设点D的坐标为，则，求出即可得出点D的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点D的纵坐标为3时，代入得， 则，，， ∴E点的坐标为． 【小问2详解】 ∵， ∴， 设点D的坐标为， 则， ∴， 解得：（舍去）或． ∴点D的坐标为， ∴，，， ∴E点的坐标为． 四、解答题（23题8分，24题10分、25题12分，共30分） 23. 如图，中，，点D在上，点F在外部，且，，在上取一点E，使． （1）求证：； （2）已知：，，求的长． 【答案】（1） 证明：在与中 ， ， ∴． （2）8 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度中等． （1）由全等三角形的判定定理证得结论； （2）由（1）中全等三角形的性质和等边三角新的判定与性质得到：，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ，则， ∴是等边三角形， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上． （1）求k的值； （2）如果将绕的中点旋转得到． ①请直接写出点P的坐标； ②请判断点P是否在双曲线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）①P点坐标为， ②点P在双曲线上，理由如下： 由①可知，， ∴双曲线的表达式为， 当时，， ∴点P在双曲线上． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合，轴对称的性质，旋转的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据翻折的性质得出，则，设，得出， ，联立求出x和y的值，再用待定系数法，即可求出k的值； （2）①设中点D，根据中点坐标公式得出 ，设P点坐标，根据中心对称的性质，列出方程组，求出a和b的值，即可得出点P的坐标；②求出当时，的函数值，即可判断． 【小问1详解】 解：∵沿直线翻折得到， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ， 联立得： ， 解得 ， ∴， 把代入得：； 【小问2详解】 解：①设中点为D， ∵，， ∴点D坐标横坐标，点D纵坐标， ∴ ， 设P点坐标， ∵， ∴ ， 解得∶ ， ∴P点坐标为； ②略． 25. 如图，已知是以为斜边的等腰直角三角形，且，射线，，点E为边上一动点，连接，将沿着翻折后，点D落在点F处，与线段BD相交于点G，连接BF并延长交边于点H． （1）如图1，当时，求的度数． （2）如图2，当时，求的长． （3）当点F是的中点时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，再根据求出，结合，根据即可得解； （2）设与交于点，运用折叠的性质和平行线的性质得到，得到， 根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则点E到的距离等于，运用等面积法求出，从而得解； （3）过点F作，则，过点F作，证明得到，从而得到，过点E作于P，得到，从而求出，从求出． 【小问1详解】 解：根据折叠可得， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设与交于点， 由折叠可知：，平分， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则点E到的距离等于， ∴，即， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：过点F作，则，过点F作， 则四边形，四边形，四边形都是长方形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于P， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行公理的推论，平行线的性质等，含30度的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $