第12讲 三角函数的图象性质及图象变换（十一大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第12讲 三角函数的图象性质及图象变换 一、正余弦函数的图象 1.正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 二、周期函数 1.周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 三、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 四、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 五、的有关概念及五点法 振幅 周期 频率 相位 初相 A 用五点法画一个周期内的简图如下表所示： x 0 π 2π 0 A 0 －A 0 六、图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 七、的图象经变换得到的图象 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 重难点01三角函数的定义域、值域与最值问题 【解题必备】（1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例2．求下列函数的值域： (1)，； (2)． 【跟踪练习】 练习1．已知函数，且在区间上的最大值为，则的最小值为 ． 练习2．函数的定义域为 . 练习3．函数，，当 时，最小且最小值为 ． 练习4．函数的值域为 ． 重难点02三角函数的周期性问题 【解题必备】①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 例3．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（    ） A． B． C． D． 例4．下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 练习2．已知是曲线与直线相邻的三个交点，则（    ） A． B． C． D． 练习3．函数的周期为，若，则正整数 . 练习4．求下列三角函数的周期． (1)，； (2)，； (3)，. 重难点03三角函数的单调性问题 【解题必备】在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反. 例5．求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 例6．在内，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．判断下列每组中两个三角函数值的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 练习2．函数在上的单调递减区间是 ． 练习3．已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 练习4．已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是 . 重难点04三角函数的奇偶性问题 例7．下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例8．函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．“”是“函数为奇函数”的 （    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 练习3．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   练习4．已知函数，若，则 . 重难点05三角函数的对称性问题 例9．“”是“函数 的一个对称中心是”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 例10．已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 . 【跟踪练习】 练习1．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为1 练习2．记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时， . 练习3．已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为 . 练习4．已知函数 ， 且 ，则 . 重难点06三角函数的零点问题 例11．函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 例12．已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【跟踪练习】 练习1．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．函数，关于函数的零点情况有下列说法： ①当取某些值时，无零点；    ②当取某些值时，恰有1个零点； ③当取某些值时，恰有2个不同的零点；    ④当取某些值时，恰有3个不同的零点. 则正确说法的全部序号为 . 练习3．若函数在上恰有3个零点，，则 . 练习4．已知函数在区间恰有2025个零点，则的一个可能取值是 ． 重难点07三角函数的图象变换问题 例13．为了得到，的图象，只需把余弦曲线上所有点的（   ）． A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 例14．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列四种变换，其中能使的图象变为的图象的是（   ） A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 练习2．要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 练习3．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 练习4．已知是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 重难点08求图象变换前后的解析式 例15．把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则的解析式为 ． 例16．已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，若为奇函数，则=（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函的图象，则的最小正周期是 ． 练习2．若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习3．将函数（）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 练习4．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)将的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域． 重难点09确定三角函数解析式 【解题必备】 （1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 例17．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（  ）    A． B． C． D． 例18．已知函数（，）的图象如图所示，则 ；上两点的横坐标分别为，，则 . 【跟踪练习】 练习1．如图，和分别为函数图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形的面积为，直线过点，则（    ）    A． B． C． D． 练习2．函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象的过点 C．函数在上单调递减 D．当时， 练习3．已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有 个， 练习4．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .    重难点10实际应用问题 【解题必备】读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题；整理数据,引入变量,找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型；利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果；将所得结论翻译成实际问题的答案 例19．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线 C．该函数的解析式是 D．这一天的函数关系式也适用于第二天 例20．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 【跟踪练习】 练习1．（多选）动点在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 练习2．海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 练习3．如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为. (1)求函数的关系式； (2)画出函数的大致图象. 练习4．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 重难点11恒成立与有解问题 例21．已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例22．已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为 . 【跟踪练习】 练习1．已知函数（，）的最小正周期，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间；. (3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 练习2．设函数（A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 练习3．函数（，，）的一段图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围． 练习4．已知函数在区间上的最大值为3. (1)求的值； (2)当时，，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第12讲 三角函数的图象性质及图象变换 一、正余弦函数的图象 1.正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 二、周期函数 1.周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 三、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 四、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 五、的有关概念及五点法 振幅 周期 频率 相位 初相 A 用五点法画一个周期内的简图如下表所示： x 0 π 2π 0 A 0 －A 0 六、图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 七、的图象经变换得到的图象 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 重难点01三角函数的定义域、值域与最值问题 【解题必备】（1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使有意义，需满足， 解得且． 所以定义域为. 故选：B． 例2．求下列函数的值域： (1)，； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），． 令，，则在上单调递增，在上单调递减， ，， 函数，的值域为． （2）令，则，，当时单调递减， 当时，取得最大值，最大值为10； 当时，取得最小值，最小值为2， 的值域为． 【跟踪练习】 练习1．已知函数，且在区间上的最大值为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由于，则， 由于在区间上的最大值为，则在区间上的最大值为1， 故，解得，故的最小值为 故答案为： 练习2．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】解：由，有， 可得，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 练习3．函数，，当 时，最小且最小值为 ． 【答案】 【详解】令， ∴， ． ∵ 在上是减函数， ∴当，即时， ． 故答案为：，. 练习4．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，，， 即的值域为. 故答案为：. 重难点02三角函数的周期性问题 【解题必备】①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 例3．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，取，则；取，则，从而y不是偶函数，故A错误； 对于B，，它不是偶函数，故B错误； 对于C，，它的最小正周期为，故C错误； 对于D，的最小正周期为，且为偶函数，故D正确； 故选：D 例4．下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 【跟踪练习】 练习1．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【详解】函数，定义域为， ，函数为奇函数， 其最小正周期. 故选：B. 练习2．已知是曲线与直线相邻的三个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出函数的图象如图所示， 不妨设， 可知的最小正周期， 的周期与的周期相等， 所以，解得． 故选:A. 练习3．函数的周期为，若，则正整数 . 【答案】3，4，5，6 【详解】根据题意得：， ，即， ，解得：，即， . 故答案为： 练习4．求下列三角函数的周期． (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，由周期函数的定义知，的周期为. （2）因为，由周期函数的定义知，的周期为. （3）的图象如图（实线部分）所示. 由图象可知，的周期为. 重难点03三角函数的单调性问题 【解题必备】在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反. 例5．求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2)单调增区间为，单调减区间为． 【详解】（1）， 解得， 所以的递增区间为； ， 解得， 所以的递减区间为 （2）， ， 解得， 所以的递增区间为； ， 解得， 所以的递减区间为. 例6．在内，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出的图象如图： 因为，所以， 即在内，方程的解为或． 结合图象可知在内，不等式的解集是． 故选：C． 【跟踪练习】 练习1．判断下列每组中两个三角函数值的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 在上单调递增，且， ，即． （2），， 在上单调递减，且， ，即． （3）， ． 在上单调递减，且， ，， 即． 练习2．函数在上的单调递减区间是 ． 【答案】， 【详解】当时，.注意到在上递减， 又，， 则在上的单调递减区间是：，. 故答案为：， 练习3．已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】，令， 可得：, 由可得， 由题意可得 ，解得 ，所以的取值范围为 . 练习4．已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是 . 【答案】 【详解】因为是奇函数，所以,又，所以, 因为在上单调递增．所以⊆， 于是解得，所以ω的最大值为. 故答案为： 重难点04三角函数的奇偶性问题 例7．下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A , 定义域为,所以为奇函数， 对于B，定义域为，且，所以为奇函数， 对于C，定义域为，且，所以为偶函数， 对于D，定义域满足且，所以且， 故定义域为或或,故定义域关于原点对称，且，所以为奇函数， 故选：C 例8．函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为上的奇函数， 所以， 即， 当时，，其他选项均不正确.. 故选：B 【跟踪练习】 练习1．“”是“函数为奇函数”的 （    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当“”时，是奇函数； 当“函数为奇函数”时，不一定为， 如时，是奇函数， 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件. 故选：B 练习2．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 则. 故选：A. 练习3．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故AC错误； 又因为当时，则，可知， 此时的符号性与的符号性一致，故D错误； 故选：B. 练习4．已知函数，若，则 . 【答案】4039 【详解】令，则. 因为，所以是奇函数. 因为，所以，则， 故. 故答案为：4039. 重难点05三角函数的对称性问题 例9．“”是“函数 的一个对称中心是”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】当时,此时，的图像关于中心对称， 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为， 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件. 故选：A． 例10．已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】. 【详解】由，则， 因为函数在上恰有四个对称中心， 所以，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为1 【答案】ABC 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 由，可得， 所以图象的对称轴为， 当时，图象的关于对称，故B正确； 由，可得， 所以图象的对称中心为，当时， 图象的关于点对称，故C正确； 当时，的最大值为2，故D不正确. 故选：ABC. 练习2．记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时， . 【答案】/ 【详解】由的图象关于对称，则，， ∴（）， 又∵， ∴当，的最小值为4， 此时，， ∴. 故答案为：. 练习3．已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题意，函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 又，所以，即， 当时，， 所以当，即时，. 故答案为：. 练习4．已知函数 ， 且 ，则 . 【答案】 【详解】，， ， 画出在上的图象，如下： 显然，故， ， 即，解得. 故答案为： 重难点06三角函数的零点问题 例11．函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由题意可得：， 令，解得或， 又因为时，由正、余弦函数可知、分别有两解． 综上所述：函数在上的零点个数为 故选：C. 例12．已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【答案】 【详解】因为函数的周期为，再由可知， 函数的一条对称轴是， 所以，，得，， 又，所以， 所以，当，， 由函数在区间上有且只有三个零点， 所以，解得：. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 由，即，得， 当时，，又，则， 因为在的零点为， 且在内恰有3个零点，所以或， 解得， 故选：D 练习2．函数，关于函数的零点情况有下列说法： ①当取某些值时，无零点；    ②当取某些值时，恰有1个零点； ③当取某些值时，恰有2个不同的零点；    ④当取某些值时，恰有3个不同的零点. 则正确说法的全部序号为 . 【答案】①②③ 【详解】画出函数的图象，如图所示， 因为，令，即， 则函数的零点，即为与的交点的横坐标， 对于①中，当时，在上与无公共点，所以①正确； 对于②中，当时，在上与只有1个公共点，所以②正确； 对于③中，当时，在上与有2个公共点，所以③正确； 对于④中，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍，即， 因为，可得，所以不存在的值，使得有3个零点，所以④不正确. 故答案为：①②③ 练习3．若函数在上恰有3个零点，，则 . 【答案】 【详解】由已知函数的最小正周期， 作出函数的草图如图： 由于函数在上有个周期， 若函数在上恰有3个零点， 则. 故答案为：. 练习4．已知函数在区间恰有2025个零点，则的一个可能取值是 ． 【答案】2024．（答案不唯一） 【详解】令， 可得，要使函数在区间恰有2025个零点，即有2025个根， 因为,，，所以,， 则，可得． 故答案为：2024．（答案不唯一） 重难点07三角函数的图象变换问题 例13．为了得到，的图象，只需把余弦曲线上所有点的（   ）． A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【详解】由题意得，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 即可得到，的图象． 故选：B. 例14．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所求函数与函数的振幅、最小正周期均相等， 由题意可知，函数的振幅为，最小正周期为， 对于A选项，函数的振幅为，最小正周期为，A不满足要求； 对于B选项，函数的振幅为，最小正周期为，B不满足要求； 对于C选项，函数的振幅为，最小正周期为，C不满足要求； 对于D选项，函数的振幅为，最小正周期为，D满足要求. 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列四种变换，其中能使的图象变为的图象的是（   ） A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 【答案】AD 【详解】由的图象变为的图象的变换方式有两种， 第一种：先平移变换，后周期变换， 由的图象先向左平移个单位长度得到的图象， 接着再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的得到的图象； 第二种：先周期变换，后平移变换， 先由的图象各点横坐标缩短为原来的得到的图象， 再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象. 所以选项A、D正确，B、C错误. 故选：AD. 练习2．要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【详解】因为， 且， 所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选：A. 练习3．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【详解】对于A：向左平移个单位可得到，符合； 对于B：向右平移个单位可得到，不符合； 对于C：向右平移个单位可得到，不符合； 对于D：向左平移个单位可得到，不符合； 故选：A. 练习4．已知是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，； 当时，周期为，振幅为， 对A，当时，，故A正确； 对B，由，可得，所以，所以振幅小于2，故B错误； 对C，当时，，故C正确； 对D，由可得，所以，所以振幅大于2，故D正确； 故选：ACD 重难点08求图象变换前后的解析式 例15．把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． 故答案为： 例16．已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，若为奇函数，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵的图像上相邻两条对称轴间的距离为， ∴，即． 将的图像向左平移个单位长度后得到的图像， ∵为奇函数，∴，即，解得，． ∵，∴，， ∴， 故选：D． 【跟踪练习】 练习1．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函的图象，则的最小正周期是 ． 【答案】 【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到函的图象， 则的最小正周期是， 故答案为： 练习2．若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象向左平移个单位后得到， 因为平移后的函数是奇函数， 所以， 解得，因为， 所以当时，. 故选：D. 练习3．将函数（）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】将函数（）的图像向右平移个单位长度， 所得函数为， 再由函数图像经过可得， 所以，即，且， 所以的最小值为. 故选：A 练习4．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)将的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】(1)递减区间为；递增区间为. (2). 【详解】（1）由，解得； 由，解得. 因此的单调递减区间为， 单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位得到 ， 令，当，则，   因此， 由的性质得， 因此，即的值域为. 重难点09确定三角函数解析式 【解题必备】 （1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 例17．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图设函数的部分图像与轴的交点为，    由图可知，所以， 所以点与点关于点对称， 设，则，解得， 因为将函数函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，且图象关于原点对称， 所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图象与轴最近的交点平移到坐标原点即可，由图可知此点为， 所以， 故选：B. 例18．已知函数（，）的图象如图所示，则 ；上两点的横坐标分别为，，则 . 【答案】 3 / 【详解】由图可知，， 由于，所以， 又由正弦函数的对称性可知，则，故 所以，故， 令，则 令，则 如图：设的一个对称中心为， 由图可知，且，， 故， 故. 故答案为：3，. 【跟踪练习】 练习1．如图，和分别为函数图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形的面积为，直线过点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四边形的面积为，且，，梯形的高为2， 故，解得，即. 又直线过点，由对称性可得过点，即，即. 又，可得，故. 故. 故选：A 练习2．函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象的过点 C．函数在上单调递减 D．当时， 【答案】A 【详解】由图可得,, 故，将点代入可得,所以， 由于，故，所以， 对于A，，故A错误， 对于B，，故的图象的过点，B正确， 对于C, ，则，故在上单调递减，C正确， 对于D，，则，故，故，D正确， 故选：A 练习3．已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有 个， 【答案】6 【详解】因为函数的图象经过点，可得，即，又因为，所以， 因为在轴右侧的第一个零点为所以， 解得，所以， 画出与在区间上的图象，如图所示， 由图可知曲线与的交点有6个. 故答案为：6. 练习4．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .    【答案】 【详解】由图可知,解得， 故， 周期,故， 又, 解得，由于所以， 故， 故答案为： 重难点10实际应用问题 【解题必备】读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题；整理数据,引入变量,找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型；利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果；将所得结论翻译成实际问题的答案 例19．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线 C．该函数的解析式是 D．这一天的函数关系式也适用于第二天 【答案】A 【详解】由题意及函数的图象知，，可得， 由，所以，故，A正确； 图象经过点，则，故， 但，故不是对称轴， 又，故φ可以取，所以，BC错误； 这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，D错误． 故选：A 例20．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 【答案】(1)， (2)图象见解析 【详解】（1）过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦值, 又初相为，故P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为， 因此P的运动周期. （2）当，时，， 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到，如图所示： 【跟踪练习】 练习1．（多选）动点在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设动点与轴正方向夹角为，则时，的坐标是，则， 每秒钟旋转，故， 令，解得， 令可得，当，可得， 故动点的纵坐标关于都是单调递增的， 故选：AD. 练习2．海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 【答案】 【详解】由题意可得：，则， 令，则， 可得，解得， 设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知， 则，即， 所以最多可停留时长为小时. 故答案为：. 练习3．如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为. (1)求函数的关系式； (2)画出函数的大致图象. 【答案】(1) (2)作图见解析 【详解】（1）如图，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立平面直角坐标系. 过点作轴的垂线段，垂足为，连接. 设点的坐标为，则. 设，则，所以. 又，即，所以， 则. （2）函数的大致图象如图所示. 练习4．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【答案】(1)选择较合适，()； (2)应安排在11时到19时训练较恰当 【详解】（1）把表格中的数据在坐标系内描出，如下， 由所描点知：应选择， 令，，， 依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为， 则，，， 于是，代入点，得， 即，则，又，因此， 所以该模型的解析式为：. （2）令，得，则， 解得，而， 当时，，则；当时，，则； 当时，，则，因此或或， 依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当. 重难点11恒成立与有解问题 例21．已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由题意可得相邻最低点距离个周期，即，， 由得：，， 即， 所以， ，， 即，，解得：. 故选：C. 例22．已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】，若对任意实数x都有恒成立， 则，或， 由，得， 因为，令，得， 由，得， 因为，令，得， 所以满足条件的一组有序数对为或. 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪练习】 练习1．已知函数（，）的最小正周期，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间；. (3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，函数的最小正周期， 可得，且，可得， 又由，所以，所以； （2）令， 解得， 所以函数的单调递减区间为； （3）， 所以，， 因为可化为， 设，所以， 设，则，故， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是转化为设，求. 练习2．设函数（A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图得，， 所以，故， 所以， 将代入得， 所以， 又，所以，所以. （2）因为，所以，所以， 所以，令， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以函数在上单调递增， 所以当时，有， 所以，即. 【点睛】方法点睛：分离参数最值化是解决恒成立求参问题的常用方法，在给出的不等式中，通过恒等变形分离出参数，使不等式变形为或恒成立，则或，从而只需求出函数最值即可得解. 练习3．函数（，，）的一段图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图象知，，，， 将图象上的点代入中，得， 结合图象可知，则，， 又，所以，故. （2）∵，∴， ∴当，即时，取最大值3. 又不等式在上恒成立， ∴在上恒成立， 故，即，即或. ∴t的取值范围为. 练习4．已知函数在区间上的最大值为3. (1)求的值； (2)当时，，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）化简可得，因为， 所以， 所以，则. （2）由（1）知，则； 当，则， 所以当时函数单调递减，时函数单调递增，当时函数单调递减， 又， ，则可得函数的图象如下： 对于给定的实数，若方程有解，则当时，方程的根为，此时； 当时，方程的两根关于直线对称，此时； 当时，方程的根有三个，关于直线对称，此时； 当，方程有四个根，关于直线对称，关于直线对称， 此时； 当时，方程的根有三个，，此时； 综上，的所有可能取值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$