第42讲 二项式定理（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第42讲 二项式定理 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第4题，4分 求指定项的系数 2023年北京卷，第5题，4分 求指定项的系数 2022年北京卷，第8题，4分 奇次项与偶次项的系数和 2021年北京卷，第11题，5分 求指定项的系数 2020年北京卷，第3题，4分 求指定项的系数 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是北京卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为4-5分． 【备考策略】 1.掌握二项式定理及展开式的通项公式的应用； 2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题． 【命题预测】2025年北京高考在二项式定理这一节的命题将继续保持对通项公式及其应用的重点考查．另外考虑到北京卷在题目设计上注重创新和探究背景的题目，考前复习中也要注意二项式定理与组合、数列极限、杨辉三角等知识点的综合题目． 知识讲解 知识点1 二项式定理 1、二项式定理：， 2、二项式定理的特征 （1）通项公式：，表示展开式的第项：， （2）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② 知识点2 二项式系数的性质 1、二项式系数的性质 （1）每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． （2）对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． 2、二项式系数的最大项：二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 3、系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 4、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 考点一、二项展开式的指定项系数 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）的展开式中含有项的系数是（    ） A．160 B． C．20 D． 【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为， 令得，， 故，展开式中含有项的系数是.故选：B 【典例2】（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】由的展开式的通项为， 令，，则， 即在的展开式中，常数项为， 故答案为：. 1．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）已知的展开式中，常数项为60，则的值为（    ） A．2 B．2， C．3 D．3， 【答案】B 【解析】展开式的通项为， 令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 则，.故选：B. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在的展开式中，的系数为12，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为的展开式的通项为：， 又因为的系数为12，所以当时，， 所以，解得. 故答案为： 考点二、三项展开式的指定项系数 【典例1】（23-24高三下·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（    ） A．20 B．30 C．25 D．40 【答案】B 【解析】展开式中，的项为， 则的系数为30．故选：． 【典例2】（23-24高三下·山东·二模）展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时， 若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个. 所以，总的选取方法数目就是. 每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是， 所以的系数就是全部的选取数.故选：C. 1．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）的展开式中，项的系数是 . 【答案】5040 【解析】的展开式中，含有的项是， 所以项的系数是5040， 故答案为： 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【解析】在的展开式中， 由，得的系数为. 故答案为：． 考点三、多项乘积展开式的指定项系数 【典例1】（23-24高三下·北京大兴·三模）在的展开式中，x的系数为（    ） A．9 B．15 C． D． 【答案】A 【解析】 易知，的展开式中，没有x项； 因为的展开式的通项为：， 令，即，所以展开式中，x的系数为； 又因为的展开式的通项为：， 令，即，所以展开式中，x的系数为； 综上，在的展开式中，x的系数为，故选：A. 【典例2】（23-24高三下·北京·三模）在的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C．16 D．144 【答案】C 【解析】，其展开式通项公式为，， 所以所求项的系数为，故选： C． 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）的展开式中项的系数为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】， 的展开式的通项为， 则，， 所以的展开式中项的系数为，故选：A. 2．（23-24高三上·北京朝阳·阶段练习）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【解析】由题意得：展开式的通项为：， 当时，即：，得：， 当时；即：，得：， 所以得：展开式中含项为：，所以的系数为：. 故答案为：. 考点四、二项式系数与系数的最值问题 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得.故选：A. 【典例2】（22-23高三上·北京·阶段练习）设若，则展开式中二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，， 当时，， 的展开式中，通项为：， 则常数项对应的系数为：，即，得， 所以，解得：， 则展开式中二项式系数最大为：， 则二项式系数最大的项为：故选：C． 1．（22-23高三下·北京·三模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为 . 【答案】/0.5 【解析】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以，二项式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项为，，解得. 2．（23-24高三上·上海·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为 ． 【答案】 【解析】展开式通项公式为，且为整数. 要想系数最大，则为偶数， 其中，，， ， 显然系数最大项为. 故答案为： 考点五、二项式系数的和与各项系数的和 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知，则（    ） A． B．2 C．4 D．12 【答案】B 【解析】由于， 故令，即得， 即，故选：B 【典例2】（23-24高三下·北京东城·一模）已知，若，则的取值可以为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】令，有， 即或.故选：A. 1．（23-24高三下·北京西城·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 令，得； 令，得， 所以.故选：B. 2．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，则（    ） A． B．32 C．495 D．585 【答案】C 【解析】令，可得，解得； 令，可得，则； 令，可得，则； 令，， 则.故选：C. 考点六、二项式定理的应用 【典例1】（23-24高三下·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【解析】 其中是9的整数倍. 故被9除的余数为4.故选：B. 【典例2】（23-24高三下·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（    ） A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年 【答案】B 【解析】由， 故除以的余数为，故除以的余数为， 故年后是马年.故选：B. 1．（23-24高三下·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】令，得，令，得， 两式相减，， 因为， 其中被3整除，所以被3除的余数为1， 综上，能被3整除．故选：D. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，若，，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【解析】∵ ∴， ∵，，，∴故选：A 1．（23-24高三下·北京通州·三模）若，则（    ） A．80 B． C．40 D．81 【答案】C 【解析】由题意，.故选：C. 2．（23-24高三下·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B．240 C．60 D． 【答案】B 【解析】由题意可知：二项式系数之和为，可得， 其展开式的通项为， 令，解得， 所以其展开式的常数项为.故选：B. 3．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：. 则展开式中得到常数项只有一种方法，即每个括号中都取出相乘可得. 故展开式中常数项为； 法二：的展开式中通项为 . 令，可得， 则展开式中常数项为.故选：A. 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】的二项展开式为， 令，解得，故所求即为． 故答案为：. 5．（24-25高三上·北京丰台·期中）二项式展开式的各二项式系数之和为32，n= ；该展开式中项的系数为 ． 【答案】 5 -5 【解析】二项式展开式的各二项式系数之和为32，则有，得； 二项式展开式的通项为，且， 令，解得，所以展开式中项的系数为. 故答案为：5；-5. 1．（23-24高二下·北京·阶段练习）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和， 因此，即D正确，ABC错误.故选：D 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】展开式中各项系数之和为， 所以令，可得，解得， ， 的展开式的通项为， 当在项中取时，项中需取，不符合条件； 当在项中取时，项中需取，则，即， 此时的系数为； 当在项中取时，项中需取，则，即， 此时的系数为， 综上，展开式中的系数为.故选：B. 3．（23-24高三下·北京·模拟预测）若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项为， 由于展开式中存在项， 令，则， 所以. 故答案为： 4．（23-24高三下·北京房山·一模）设，则 ；当时， ． 【答案】 【解析】令可得：， 的通项为：， 令可得， 令可得， 所以由可得，所以. 故答案为：；. 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）设，则 . 【答案】728 【解析】因为， 所以， 令,可得， 令,可得， 所以. 故答案为：728. 1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为.故选：A. 2．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B．40 C． D．80 【答案】D 【解析】的展开式的通项为， 令，解得 所以的展开式中的系数为.故选：D. 3．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 令，则， 故，故选：B. 4．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：.故选：C. 5．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【解析】的展开式的通项， 令，解得，故常数项为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第42讲 二项式定理 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第4题，4分 求指定项的系数 2023年北京卷，第5题，4分 求指定项的系数 2022年北京卷，第8题，4分 奇次项与偶次项的系数和 2021年北京卷，第11题，5分 求指定项的系数 2020年北京卷，第3题，4分 求指定项的系数 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是北京卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为4-5分． 【备考策略】 1.掌握二项式定理及展开式的通项公式的应用； 2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题． 【命题预测】2025年北京高考在二项式定理这一节的命题将继续保持对通项公式及其应用的重点考查．另外考虑到北京卷在题目设计上注重创新和探究背景的题目，考前复习中也要注意二项式定理与组合、数列极限、杨辉三角等知识点的综合题目． 知识讲解 知识点1 二项式定理 1、二项式定理：， 2、二项式定理的特征 （1）通项公式：，表示展开式的第项：， （2）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② 知识点2 二项式系数的性质 1、二项式系数的性质 （1）每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． （2）对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． 2、二项式系数的最大项：二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 3、系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 4、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 考点一、二项展开式的指定项系数 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）的展开式中含有项的系数是（    ） A．160 B． C．20 D． 【典例2】（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 1．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）已知的展开式中，常数项为60，则的值为（    ） A．2 B．2， C．3 D．3， 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在的展开式中，的系数为12，则的值为 ． 考点二、三项展开式的指定项系数 【典例1】（23-24高三下·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（    ） A．20 B．30 C．25 D．40 【典例2】（23-24高三下·山东·二模）展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）的展开式中，项的系数是 . 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）的展开式中的系数为 ． 考点三、多项乘积展开式的指定项系数 【典例1】（23-24高三下·北京大兴·三模）在的展开式中，x的系数为（    ） A．9 B．15 C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京·三模）在的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C．16 D．144 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）的展开式中项的系数为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（23-24高三上·北京朝阳·阶段练习）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 考点四、二项式系数与系数的最值问题 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高三上·北京·阶段练习）设若，则展开式中二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三下·北京·三模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为 . 2．（23-24高三上·上海·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为 ． 考点五、二项式系数的和与各项系数的和 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知，则（    ） A． B．2 C．4 D．12 【典例2】（23-24高三下·北京东城·一模）已知，若，则的取值可以为（    ） A．2 B．1 C． D． 1．（23-24高三下·北京西城·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，则（    ） A． B．32 C．495 D．585 考点六、二项式定理的应用 【典例1】（23-24高三下·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 【典例2】（23-24高三下·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（    ） A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年 1．（23-24高三下·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，若，，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．12 1．（23-24高三下·北京通州·三模）若，则（    ） A．80 B． C．40 D．81 2．（23-24高三下·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B．240 C．60 D． 3．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）在的展开式中，的系数为 ． 5．（24-25高三上·北京丰台·期中）二项式展开式的各二项式系数之和为32，n= ；该展开式中项的系数为 ． 1．（23-24高二下·北京·阶段练习）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·北京·模拟预测）若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为 ． 4．（23-24高三下·北京房山·一模）设，则 ；当时， ． 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）设，则 . 1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B．40 C． D．80 3．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 4．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 5．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$