特训09 期末解答压轴题（十大题型，含四大最新方向题型）-2024-2025学年六年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训09 期末解答压轴题（十大题型） 目录： 第Ⅰ部分 最新期中精选 题型1：数的整除 题型2：分数及其应用 题型3：有理数的运算 题型4：数轴问题 第Ⅱ部分 本册其他压轴题 题型5：简单的代数式压轴题 题型6：一元一次方程的解法 题型7：一元一次方程与数轴 题型8：一元一次方程的实际应用 题型9：线段 题型10：角 第Ⅰ部分最新期中精选 题型1：数的整除 1．（24-25六年级上·上海·期中）晓风在学习《数的整除》这一章节后，对于找一个合数的因数进行了研究（如下表所示）： 整数 分解素因数 素因数 所有因数 素因数个数 因数个数 4 2、2 1、2、4 2 3 6 2、3 1、2、3、6 2 4 8 2、2、2 1、2、4、8 3 4 12 2、2、3 1、2、3、4、6、12 3 6 90 2、3、3、5 1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 4 12 216 2、2、2、3、3、3 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216 6 16 (1)观察表格，晓风发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解质因数， 例如：，它有________个因数，分别是________； （且q是素数），它有________个因数，分别是________； (2)进一步观察因数的个数和素因数个数之间的关系，填空： 若（其中p为素数），则a的因数个数为________； 若 （其中p为素数，m为正整数）．则b的因数个数为________；（用含字母m的式子表示） 若（其中p、q为不同大小的素数），则c的因数个数为________． 【答案】(1)6，，，，15，25，75；4，，，，； (2)3，，72 【分析】本题主要考查约数与倍数，将数分解成素数的乘积是解题的关键． （1）根据题目的表格找到规律即可得到答案； （2）根据题目的表格找到规律即可得到答案；令其中，，，然后求出x的因数个数和y的因数个数，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以的因数为，，，，，， 所以因数个数为个，分别是，，，15，25，75； 因为， 所以的因数为，，，， 所以因数个数为个，分别是，，，； （2）解：因为， 所以a的因数为，p， ，故因数个数为个； 因为， 所以b的因数为，p， ，，，故因数个数为个； 令其中，， 因为， 所以x的因数为，p， ，，，故因数个数为8个； 因为， 所以y的因数为，q， ，，，故因数个数为9个； 所以的因数个数为（个）． 题型2：分数及其应用 2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的等式归纳总结得到一般性规律，所求式子变形后抵消合并即可得到结果； （2）把式子变形为，然后抵消合并即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（20-21六年级上·上海徐汇·期中）观察下列等式． ，，， (1)直接写出计算结果： ___________ (2)探究并计算： (3)计算： ． 【答案】(1) (2) (3)998 【分析】（1）根据已知算式找到规律，将所求式子变形为减法，再计算即可； （2）由已知规律可得，将变形为，依次变形，再计算即可； （3）找到规律，，…，依次变形计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2） ； （3）， ， 则 ． 【点睛】本题考查了分数的混合运算，数字型规律，解题的关键是找到相应规律，将计算简化． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 【答案】(1)， (2) (3)+，+ 【分析】本题主要考查分数的加减运算及因数，弄清阅读材料中的方法是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意即可得出答案； （3）根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2） 故答案为：； （3）， ， 故答案为：，． 5．（23-24六年级上·上海静安·期中）阅读与理解： 我们把形如（n是正整数，）的分数叫做单位分数，如 (1)任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把写成两个单位分数之和：_______． ②把（n是正整数，）写成两个单位分数之和：_______． (2)某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①在单位分数中，能按上述要求拆分的有________个． ②若在单位分数中，能按上述要求拆分的有30个，则n的最大值为________． 【答案】(1)①；② (2)①9；②991 【分析】（1）①等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1，第二个分数的分母是前两个分母的积，据此可得；②根据以上规律求解即可； （2）①一个分数，如果分子是1，分母是相邻的自然数的积，就可以拆成分子是1，分母是相邻的自然数差的单位分数的差的分数，据此即可判断；②结合①的方法，求出能按上述要求拆分的有31个时的n值，即可得到最大值． 【详解】（1）解：①； ②由题意可得：； （2）①在单位分数中，可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差的分数，其分母有，，，，，，，，共9个， ∴能按上述要求拆分的有9个； ②∵能按上述要求拆分的有30个， ∴其分母有，，，…，， 又， ∴n的最大值为． 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据已知等式得出等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1，第二个分数的分母是前两个分母的积的规律． 6．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读：出入相补原理：一个平面几何图形被分割成若干部分后，面积的总和保持不变．出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建．所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系． 解决问题：如图所示，一个阴影四边形，其外侧是边长为的正方形，求阴影部分面积是正方形面积的几分之几？ 【答案】阴影部分面积是正方形面积的 【分析】本题考查了割补法求面积，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合．通过移置可知，阴影部分的面积空白部分的面积中间长方形的面积，可求出中间长方形的面积为，设空白部分的面积为，根据题意列方程求出，进而求出阴影面积，即可求解． 【详解】解：通过移置可知，阴影部分的面积空白部分的面积中间长方形的面积， 中间长方形的面积为， 设空白部分的面积为，则阴影部分的面积为， 根据题意可得：， 解得：， 阴影部分的面积为， 阴影部分面积是正方形面积的． 7．（24-25六年级上·上海青浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是， 空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为______． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为______． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）观察图形发现部分①的面积为，部分②的面积为，部分③的面积为即可解题； （2）由（1）得求 的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为； （3）根据材料二两边同时乘以，然后相减解题即可； （4）利用材料二两边同时乘以4，然后相减解题即可． 【详解】（1）解：∵正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵①是边长为的正方形纸片面积的一半， ∴①的面积为， 依此论推②的面积为， ③的面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得求 的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为： ， 故答案为：； （3）解：令， 等式两边同时乘以，得， 由②式减去①式，得， ， ； （4）解：令， 等式两边同时乘以，得， ②①得：， ， 即， 故答案为：． 题型3：有理数的运算 8．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （）把转化为，再仿照阅读材料中的方法求出所求即可； 本题考查了有理数的混合运算，等式的性质，看懂阅读材料是解题的关键． 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 即， ∴， ∴； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以，得②， 由①式②式得：， 即， ∴， ∴． 9．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 【答案】(1)，9； (2)负数； (3)； (4)． 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方运算，有理数的混合运算，正数和负数，熟练掌握有理数的乘方运算法则，有理数的混合运算法则，理解新定义是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （2）把除法转变为有理数的乘方，然后根据有理数的乘方意义解答即可； （3）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （4）根据新定义和有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：③， ． 故答案为：，； （2）解：把负数的圈奇次方转变为乘方形式，根据负数的奇次方表示奇数个负数的乘积，结果是负数． 故答案为：负数； （3）解： ； （4）解： ． 10．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案． （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算． （3）观察计算条件，先将输入固定，得到输入，输入的输出值，再根据条件三，算出均输入时，输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 11．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【答案】任务1：（1）4，；（2）或；任务2：（1）2；（2）见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数加法的应用，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是关键． 任务一：（1）把所给数字相加乘以2，然后除以4即可求出幻和；根据幻和即可求出x的值； （2）根据幻和求出y的值，然后分两种情况计算即可； 任务二：（1）共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2； （2）利用每条边的和为2将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是： ， x处所填的数字是， 故答案为：4，； （2）， 当时，， 当时，， 故答案为：或； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是： ， 故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ， ， ， ∵，d，e，f可能取的数为， ∴． 如图， ． 题型4：数轴问题 12．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是 (2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据题意可得：，，推出，根据新定义即可求解； （2）设这个数是，根据题意得：，即可求解； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点， 故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：， 解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点， 故答案为：或； （3）设点运动的时间为， 由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒）， 分四种情况： ①当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ②当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ③当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ④当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 13．（22-23七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）点 A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为 ，则 ，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为，则，点 A 与点B两点之间的距离表示为，请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示m和的两点之间的距离是 ； (3)数轴上表示m和的两点之间的距离是4，则有理数m是 ； (4)若x满足，则满足条件的所有整数x的和是 ． 【答案】(1)6 (2) (3)3或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的定义和有理数的加法，理解题意掌握数轴、绝对值的定义及有理数的加法法则是解题的关键． 根据给定的定义计算即可； 结合给定得定义计算即可； 根据给定的定义列出方程，结合求一个数得绝对值求解即可； 根据题意表示的是表示的点到表示2和距离之和为6的数，分别求得满足题意的数，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：6； （2）解：表示和的两点之间距离是， 故答案为：； （3）解：表示和的两点之间的距离是4，则， 即或， 解得：或 故答案为：3或； （4）解：的所有整数的值为，，，，0，1，2， 满足的所有整数的和为， 故答案为：． 14．（24-25六年级上·上海·期中）【阅读材料】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．我们知道，是5的绝对值，可以理解为数5在数轴上所对应的点到原点的距离，表示5与2的差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果有理数a、b在数轴上对应的点为点A、B，那么A、B两点之间的距离就可以表示为． 【理解运用】 请你结合数轴，运用阅读材料回答下列问题： (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_______； (2)如果，那么_______； (3)如果有理数a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7，那么所有符合条件的整数a的和为_______； (4)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得或，分别解方程即可得到答案； （3）分，，，三种情况分别去绝对值后解方程确定a的值，最后求和即可； （4）仿照（3）去绝对值解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示3和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （3）解：∵有理数a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7， ∴， ∴， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，此时恒成立； 当时，则，解得（舍去）； 综上所述，当时，满足， 所有符合条件的整数a为， ∴所有符合条件的整数a的和为， 故答案为：； （4）解：∵， ∴当时，则，解得； 当时，则，此时不符合题意； 当时，则，解得； 综上所述，或． 15．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【答案】(1) (2) (3)7； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 16．（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， (1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)若数轴上表示x和的两点分别是点A、B，那么 (3)若数轴上点A表示数，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？ 【答案】(1)5 (2)或3 (3)①运动8秒时，点P可以追上点Q；②运动5秒或者11秒时，P，Q两点相距3个单位长度 【分析】本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离等知识点，注意动点问题的多解性． （1）由即可计算； （2）根据，结合列方程计算即可； （3）①设运动x秒时，点P可以追上点Q，根据题意可知，相遇时P所在的位置为，Q所在的位置为，据此列方程解答即可；②分点P在点Q左侧和右侧两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：和的两点之间的距离， 故答案为：5； （2）解：根据题意可得， ∴或， 故答案为：或3； （3）解：①设运动x秒时，点P可以追上点Q， 根据题意得：， 解得：， 答：运动8秒时，点P可以追上点Q． ②设运动y秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 当点P在点Q左侧时，，解得：； 当点P在点Q右侧时，，解得：． 答：运动5秒或者11秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 第Ⅱ部分 本册其他压轴题 题型5：简单的代数式压轴题 17．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”． 其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果． 【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6 【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解； （3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解． 【解析】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y， ∴a=7+7+3=17， b=9+8+5=22， 则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7． 故答案为：73，7； （2）依题意有： a=m+1+2=m+3， b=6+0+0=6， c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15， d=c+X=3m+15+6=3m+21， ∵d为10的整数倍， ∴3m的个位数字只能是9， ∴m的值为3； （3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有： a=p+9+2=p+11， b=6+1+q=q+7， c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40， ∵校验码是8， 则3p+q的个位是2， ∵|p-q|=4， ∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6． 故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键． 18．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在一次式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【解析】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 19.【答案】(1)—2. (2)2022. (3)32. 题型6：=一元一次方程的解法 20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 21．阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 22．若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程与关于y的方程是“美好方程”，请求出k的值； (3)若无论m取任何有理数，关于x的方程（为常数）与关于y的方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)或 (3)的值为20或28 【详解】解：（1）不是．理由如下： 因为的解为的解为， 所以， 所以方程与方程不是“美好方程”． （2）因为的解为的解为，且与是“美好方程”， 所以， 所以或． （3）因为的解为，关于x的方程（为常数）与关于y的方程是“美好方程”， 所以， 所以或， 所以的解为或． ①当时，， 所以． 因为无论m取任何有理数都成立， 所以， 所以， 所以； ②当时，， 所以． 因为无论m取任何有理数都成立， 所以， 所以， 所以． 综上所述，的值为20或28． 题型7：=一元一次方程与数轴 23．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的祁美点．例如，图1中，点表示的数分别为，4，2，0，此时，，则点是的祁美点，点是的祁美点． (1)如图2，数轴上点，表示的数分别为，6，若点是的祁美点，则点表示的数是 ；若点是的祁美点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a，b，c，d，且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为6个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以3单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的祁美点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，0 (2)①，；②t的值为7或17． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）求出，由，可得，故P表示的数为；同理，Q表示的数为； （2）①求出，，，而P从A到B所需时间为4（秒），Q从D到C所需时间为5（秒），故从B运动到C的过程中，点P表示的数是，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是； ②根据C是的祁美点，知，再分类列方程可得答案． 【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，6， ∴， ∵点P是的祁美点， ∴， ∴， ∴P表示的数为； 同理， ∴Q表示的数为； 故答案为：3，0； （2）解：①∵， ∴，， 解得，， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为6个单位长度， ∴， 根据题意，P从A到B所需时间为（秒），Q从D到C所需时间为（秒）， ∵从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴从B运动到C的过程中，点P表示的数是， 从C运动到B的过程中，点Q表示的数是； 故答案为：，； ②存在t，使C是的祁美点， ∵C是的祁美点， ∴， P，Q变速之前，， ∴， 解得， P变速后，Q变速前，， ∴， 解得（舍去）； 当时，P，C，Q重合，不符合题意； 当P恢复原速，Q变速后，， ∴， 解得（舍去）； 当P，Q都恢复原速后，，Q表示的数为， ∴， 解得， 综上所述，t的值为7或17． 24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)a的值为______，b的值为______，A，B两点之间距离为______； (2)若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；12；22 (2)存在，秒或秒 (3)存在值，使得，值为1秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、 b的值，再根据数轴上两点距离公式求解； （2）分两种情况：当点P在点A、点B之间，即点P在点B左侧时；当点P在点B右侧时．分别求解即可； （3）分四种情况：当点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时；当点P与点Q在第一次相遇时；当点Q在第一次返回，还未追上点P时；当点Q在第一次返回中，追上点P时．分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵数轴上的点A，B对应的数分别是a和b， ∴A，B两点之间距离为：． 故答案为：；12；22． （2）解：存在， 当点P在点A、点B之间，即点P在点B左侧时，则 解得：， 当点P在点B右侧时，则， 解得：， 综上，存在，t的值为秒或秒． （3）解：存在值， 当点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时，如图， ∵， ∴， 解得：； 当点P与点Q第一次相遇时，如图， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在第一次返回，还未追上点P时，如图， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在第一次返回中，追上点P时，如图， ∵， ∴， 解得：． 综上，存在值，使得，值为1秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，非负和的性质，数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点的距离和绝对值的非负解题的关键．注意分类讨论． 25．数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ； (2)当 时，M、N两点在折线段上相遇； (3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； (4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 【答案】(1) (2) (3)或． (4)为秒或秒时 【分析】（1）先求得点表示的数为，点表示的数为，据此即可求解； （2）先求得点表示的数为，点表示的数为，据此即可求解；根据题意列出方程即可求解； （3）根据（2）的结论，分相遇前与相遇后分类讨论，即可求解． （4）分点在上，上，上三种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，点表示的数为，点表示的数为， ， 故答案为：． （2）解：当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点、都运动到折线段上时，即， ∴点表示的数为，点表示的数为； ∴、两点间的和谐距离；、两点间的和谐距离； 当、两点相遇时，，解得， 故答案为：； （3）解：由（2）可得当、两点相遇前相距4，则 ， 解得： 相遇后相距4，则， 解得：； 故答案为：或． （4）解：当点在上即时，点表示的数为，点表示的数为， 依题意得， 解得不合题意，舍去； 当点在折线段上，即时，点表示的数为，点表示的数为， 题意得，或， 解得或； 当点在上，即时，点表示的数为，点表示的数为，则点在点的左侧， 依题意得， 解得不合题意，舍去； 综上，当为秒或秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握一元一次方程的应用． 26．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 【答案】综合运用一：（1）5；（2）①或3；②当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二：（1），13，7；（2）①，；②或6；（3）秒或2秒 【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义即可解答； 综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】解：综合运用一： （1）∵点E表示为，点F表示为2， ∴； 故答案为：5 （2）①∵点E表示为，点F表示为2， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； 故答案为：或3 ②∵是指表示x的点到点E的距离与到点F的距离之和， 由数轴可得，当表示x的点位于点E，F之间时，它们的距离之和为线段的长，此时它们的距离之和最小， ∴当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二： （1）∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7 （2）①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：， ②当时，， ∴， 解得或6 （3）点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒， 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 题型8：=一元一次方程的实际应用 27．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠 100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 【答案】(1)在甲超市更划算； (2)应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； (3)把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元； 【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可； （2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可； （3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可； 【详解】（1）解：甲超市购物所付的费用为：（元）， 乙超市购物所付的费用为：（元）， ∵， ∴在甲超市更划算； （2）解：甲超市购买的商品原价：（元）， 设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得： ，解得：， ∵280＞265， ∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； （3）解：∵， ∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元， ∵，， ∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元， 设第二次购买商品的原价为m元， ①当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元； ②当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元； 综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用（方案选择），（1）（2）比较简单，（3）中因为，故需要对288元的商品原价进行讨论． 28．某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【答案】(1)24 (2)56 (3)元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出算式或代数式是解题关键． （1）按白天停车未超过3小时计算即可； （2）按白天停车6小时，夜间停车2小时计算即可； （3）按白天停车6小时，夜间停车小时计算即可； （4）分类讨论：①当，时，②当，时，③当，时和④当，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：刘老师进场停车，离场，则他停车2小时36分， 因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （2）解：刘老师进场停车，离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分， 所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费， 所以刘老师需付停车费元； （3）解：若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他白天停车10小时，夜间停车小时， 因为离场时间介于当日的间， 所以夜间停车未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （4）解：分类讨论：①当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即． 因为均为非负整数， 所以只能取，； ②当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即， 因为均为非负整数， 所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以，； ③当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即，不符合题意； ④当，时， 刘老师应付停车费元，不符合题意． 综上可知，或，或，． 29．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 【答案】(1)10；； (2)小胖的说法对，大胖的说法不对，理由见解析； (3)21，23或29． 【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出a3，同样可用含x的式子表示a4； （2）由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，进而可得结论； （3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b = 2a+ 1可确定b值． 【详解】（1）解：由题意得：a3=1+7+2=10，若a＝x，则a4=x+1-7=x-6， 故答案为：10；x-6； （2）解：小胖的说法对，大胖的说法不对， 理由：小胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =106，解得：a=24； 大胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =90，解得：a=20.8 (不符合题意，舍去)； ∴小胖的说法对，大胖的说法不对； （3）解：a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61； ∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b= 2a+1， ∴b的值可以为：21，23，29， 故答案为：21，23或29． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 30．如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． (1)小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 【答案】(1)50 (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为米； (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间为分钟或分钟 【分析】（1）根据题意，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，即可求解； （2）根据题意，24秒后小东在上，相遇点在上，设相遇时，用时分，根据题意列出一元一次方程即可求解； （3）依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分，分相遇前后两种情况分别讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，米分， 故答案为：． （2）解：∵（分），（分）， ∴24秒后小东在上，相遇点在上， 设相遇时，用时分，依题意得： 解得： ∴（米） 答：当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为米； （3）解：由（2）可知相遇点距离点（米） 依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分， ①两人相遇前，小明在线段上，小东在线段上， 依题意：， 解得：， ②两人相遇后，则小明在线段上，小东在线段上， 依题意，， 解得：， 综上所述，当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间为分钟或分钟． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 题型9：线段 31．已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)；或 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，线段的和与差等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据及已知条件，即可得出答案； （2）根据及已知条件，先求出和的长；当点为中点时，则，然后根据即可求出的长，根据即可求出的长；分两种情况讨论：）当在点左侧时；）当在点右侧时；分别画出图形，然后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 当点为中点时， 则， ， ， ； 分两种情况： ）当在点左侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； ）当在点右侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 32．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①不会发生变化，的长是；②或 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 33．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 题型10：角 34．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 35．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 36．综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则______． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数． ②请你猜想，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）【类比探究】 如图3，在的内部转动，若，，，，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）22；（2）①；②．理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）点和点分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题． （2）①欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题． ②与①同理解决即可； （3）由，可得，，，所以，根据可得结论． 【详解】解：（1）点是的中点，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：22； （2）①和分别平分和， ，． ． 又，， ． ． ． ②．理由如下： 和分别平分和， ，． ． ． ． （3），， ， ，，， ， ， ， ． 37．如图①，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．    (1)若，求和的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图②，是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合叠放在一起，，若平分，试判断是否平分，并说明理由；并直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)平分，理由见详解； 【分析】（1）可得，由即可求解； （2）可得，，从而可得，即可求解； （3）可求，由可得，即可求解；可得，，由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ； （2）解：，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （3）解：平分，理由如下： 因为是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合叠放在一起， 所以， 因为平分， 所以， 所以 ， 所以， 所以平分； ， 理由： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，理解定义，正确表示出角的和差是解题的关键． 38．阅读理解： 如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题： (1)若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由； (2)若平分，为的“分补线”， ①当与重合时，求的度数； ②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数． 【答案】(1)是的“分补线”，理由见解析； (2)①；②或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角等，理解“分补线”的概念是解题的关键． （1）先求出的度数，根据，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分补线”的定义，分和，根据，建立方程，解方程，进一步求解即可； 【详解】（1）解：是的“分补线，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是的“分补线； （2）解：①当与重合时， ∵平分， ∴， ∵为的“分补线”， ∴， ∴， ②设 ∵平分，为的“分补线”， ∴， ∴ 又∵为的“分补线”，则在的内部， 如图所示， 当 ∴ ∵ ∴ 即 解得： ∵为的“分补线”， 当， ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述，或 39．特例感知 （）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 知识迁移 （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则__________； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； 类比探究 （）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 【答案】（）线段的长度不会发生变化，理由见解析； （）；，理由见解析； （）． 【分析】（）由线段中点得到，再根据线段的和差关系即可求解； （）由角平分线得到，再根据角的和差关系即可求解； ．根据的方法即可求解； （）根据，代入已知条件即可求解； 本题考查了线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：（）线段的长度不会发生变化， ∵、分别是的中点， ，， ， ，， ， ， ； （）∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ， 理由：和分别平分和， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 即； （）， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 期末解答压轴题（十大题型） 目录： 第Ⅰ部分 最新期中精选 题型1：数的整除 题型2：分数及其应用 题型3：有理数的运算 题型4：数轴问题 第Ⅱ部分 本册其他压轴题 题型5：简单的代数式压轴题 题型6：一元一次方程的解法 题型7：一元一次方程与数轴 题型8：一元一次方程的实际应用 题型9：线段 题型10：角 第Ⅰ部分最新期中精选 题型1：数的整除 1．（24-25六年级上·上海·期中）晓风在学习《数的整除》这一章节后，对于找一个合数的因数进行了研究（如下表所示）： 整数 分解素因数 素因数 所有因数 素因数个数 因数个数 4 2、2 1、2、4 2 3 6 2、3 1、2、3、6 2 4 8 2、2、2 1、2、4、8 3 4 12 2、2、3 1、2、3、4、6、12 3 6 90 2、3、3、5 1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 4 12 216 2、2、2、3、3、3 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216 6 16 (1)观察表格，晓风发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解质因数， 例如：，它有________个因数，分别是________； （且q是素数），它有________个因数，分别是________； (2)进一步观察因数的个数和素因数个数之间的关系，填空： 若（其中p为素数），则a的因数个数为________； 若 （其中p为素数，m为正整数）．则b的因数个数为________；（用含字母m的式子表示） 若（其中p、q为不同大小的素数），则c的因数个数为________． 题型2：分数及其应用 2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 3．（20-21六年级上·上海徐汇·期中）观察下列等式． ，，， (1)直接写出计算结果： ___________ (2)探究并计算： (3)计算： ． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 5．（23-24六年级上·上海静安·期中）阅读与理解： 我们把形如（n是正整数，）的分数叫做单位分数，如 (1)任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把写成两个单位分数之和：_______． ②把（n是正整数，）写成两个单位分数之和：_______． (2)某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①在单位分数中，能按上述要求拆分的有________个． ②若在单位分数中，能按上述要求拆分的有30个，则n的最大值为________． 6．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读：出入相补原理：一个平面几何图形被分割成若干部分后，面积的总和保持不变．出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建．所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系． 解决问题：如图所示，一个阴影四边形，其外侧是边长为的正方形，求阴影部分面积是正方形面积的几分之几？ 7．（24-25六年级上·上海青浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是， 空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为______． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为______． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为______． 题型3：有理数的运算 8．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 9．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 10．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 11．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  题型4：数轴问题 12．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 13．（22-23七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）点 A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为 ，则 ，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为，则，点 A 与点B两点之间的距离表示为，请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示m和的两点之间的距离是 ； (3)数轴上表示m和的两点之间的距离是4，则有理数m是 ； (4)若x满足，则满足条件的所有整数x的和是 ． 14．（24-25六年级上·上海·期中）【阅读材料】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．我们知道，是5的绝对值，可以理解为数5在数轴上所对应的点到原点的距离，表示5与2的差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果有理数a、b在数轴上对应的点为点A、B，那么A、B两点之间的距离就可以表示为． 【理解运用】 请你结合数轴，运用阅读材料回答下列问题： (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_______； (2)如果，那么_______； (3)如果有理数a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7，那么所有符合条件的整数a的和为_______； (4)已知，求x的值． 15．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 16．（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， (1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)若数轴上表示x和的两点分别是点A、B，那么 (3)若数轴上点A表示数，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？ 第Ⅱ部分 本册其他压轴题 题型5：简单的代数式压轴题 17．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”． 其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果． 18．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在一次式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 19. 阅读材料：“整体思想”是一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值中应用极为广泛.例如，我们把a+b看成一个整体，则有4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b). 尝试应用： ( 1 ) 当a-b=2时，求代数式6(a-b) -10(a-b)+3(a-b )的值. (2)已知当x=2,y= -4 时，代数式 的值为2024 . 求当 x= -4,y= 时，代数式2ax-16by3+ 4040的值 . 拓展探索： (3)把一个大正方形和四个相同的小正方形按图(1)、(2)两种方式摆放， 已知a+b =12,a-b=4.请观察图形，求图(2)中阴影部分的面积. 题型6：=一元一次方程的解法 20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 21．阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 22．若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程与关于y的方程是“美好方程”，请求出k的值； (3)若无论m取任何有理数，关于x的方程（为常数）与关于y的方程是“美好方程”，求的值． 题型7：=一元一次方程与数轴 23．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的祁美点．例如，图1中，点表示的数分别为，4，2，0，此时，，则点是的祁美点，点是的祁美点． (1)如图2，数轴上点，表示的数分别为，6，若点是的祁美点，则点表示的数是 ；若点是的祁美点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a，b，c，d，且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为6个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以3单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的祁美点的值；若不存在，请说明理由． 24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)a的值为______，b的值为______，A，B两点之间距离为______； (2)若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由． 25．数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ； (2)当 时，M、N两点在折线段上相遇； (3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； (4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 26．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 题型8：=一元一次方程的实际应用 27．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠 100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 28．某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 29．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 30．如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． (1)小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 题型9：线段 31．已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 32．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 题型10：角 33．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 34．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 35．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 36．综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则______． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数． ②请你猜想，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）【类比探究】 如图3，在的内部转动，若，，，，求的度数．（用含的式子表示） 37．如图①，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．    (1)若，求和的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图②，是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合叠放在一起，，若平分，试判断是否平分，并说明理由；并直接写出与的数量关系． 38．阅读理解： 如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题： (1)若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由； (2)若平分，为的“分补线”， ①当与重合时，求的度数； ②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数． 39．特例感知 （）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 知识迁移 （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则__________； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； 类比探究 （）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$