2025年山东省青岛市九年级上学期考前示范卷(2)-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(青岛专版)

2025 年青岛市九年级第一学期考前示范卷(二) (时间:120 分钟　 满分:120 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 一元二次方程 x2 = 16 的解为 (　 　 ) A. x= 8 B. x= ±8 C. x= 4 D. x= ±4 2. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体,它的俯视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 　 第 2 题图 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 8 题图 3. 如图,在▱ABCD 中,AC,BD 是两条对角线,如果添加一个条件,可推出▱ABCD 是菱形,那么这个 条件可以是 (　 　 ) A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 4. 如图,△ABC 与△DEF 位似,点 O 为位似中心,位似比为 1 ∶ 3,若△ABC 的周长是 5,则△DEF 的 周长是 (　 　 ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 45 5. 下列四幅图形中,表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 要得到抛物线 y= 2(x-4) 2 -1,可以将抛物线 y= 2x2 (　 　 ) A. 向左平移 4 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度　 B. 向左平移 4 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度　 C. 向右平移 4 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 4 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 7. 抛物线 y=ax2 +bx+c 的开口方向向上,对称轴是直线 x= 1,与 x 轴的一个交点在( -2,0)和( -1,0) 之间(不包括这两个点)。 有下列结论:①abc>0;②3a+c<0;③方程 ax2 +bx-b = 0 没有实数根。 其 中,正确结论的个数是 (　 　 ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,∠DAC= 30°,P 是 AD 上一个动点,过点 P 作 PG⊥AC,垂足为 G,连 接 BP,取 BP 的中点 E,连接 EG,则线段 EG 的最小值为 (　 　 ) A. 1 B. 2 3 3 C. 2 D. 4 3 3 9. 垃圾分类已经成为新时代的重要议题,各地也纷纷推出了相应政策进行支持。 某市一共有 285 个 社区,计划三个季度全部实现垃圾分类,第一季度已有 60 个社区实现垃圾分类,预计第二、三季度 实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为 x,则下面所列方程正确的是 (　 　 ) A. 60(1+x) 2 = 285 B. 60(1-x) 2 = 285　 C. 60(1+x) +60(1+x) 2 = 285 D. 60+60(1+x) +60(1+x) 2 = 285 10. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,点 D,E 在 BC 上,连接 AD,AE。 记 CD = a,DE =EB = b,图中所有 三角形中,若恰好存在两对相似三角形,则 a b 的值为 (　 　 ) A. 5 -1 2 B. 5 +1 2 C. 5 +1 2 或 17 -1 4 D. 5 -1 2 或 17 -1 4 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. tan 45°-cos 60° sin 60° ·tan 30° = 。 12. 如图,为测量平地上一块不规则区域(阴影部分)的面积,在不规则区域外画一个面积为 4 m2 的 正方形,现向正方形内随机投掷小球(假设小球落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量 重复投掷试验,发现小球落在不规则区域的频率稳定在 0. 4,由此可估计该不规则区域的面积为 m2。 第 12 题图 　 　 第 15 题图 　 　 图 1 　 　 图 2 第 16 题图 13. 已知反比例函数 y= 2 x ,当 x≥1 时,y 的取值范围是 。 14. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 +3x+c = 0 的两个根分别是-4,2,则抛物线 y = ax2 + 3x+c 的对称 轴是 。 15. 如图,四边形 ABCD 是面积为 8 cm2 的正方形,△ACE 是等边三角形,图中阴影部分的面积是 cm2。 16. 如图 1 为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角 三角形与中间的小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形 ABCD。 现将△BCG 向左平移,相应的 △CDH 和△ABF 进行相似变换。 如图 2,当 GE∥AD 时,已知 AE = a,DE = b,则 EF 的长为 (结果用含 a,b 的代数式表示)。 三、作图题(本题满分 4 分) 17. 如图,在正方形 ABCD 中,P 是线段 AC 上的动点(不与端点重合),连接 DP,仅用无刻度的直尺和 圆规在直线 BC 上作点 E,使得∠DPE= 90°。 (保留作图痕迹,不写作法) 四、解答题(本大题共 9 小题,共 68 分) 18. (8 分)(1)解方程:2x2 -4x+1 = 0; (2)已知二次函数 y= -2x2 +4x+3。 求该二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标。 19. (6 分)“促进儿童心理健康,共同守护美好未来”,加强学生的心理健康教育已上升为国家战略。 国家卫生健康委举行新闻发布会,介绍我国如何从制度、服务、宣传等层面,守护儿童心理健康。 为促进学生健康成长,某校开展了心理健康教育讲座。 举办讲座前,从该校七、八、九年级中随机 抽取了部分学生,对学生关于心理健康知识的了解情况进行了问卷调查,根据收集到的数据信息 进行统计,绘制了如下两幅不完整的统计图表。 根据图表中提供的信息,解答下列问题。 (1)直接写出答案:a= ,b= ,m= ; (2)D 组扇形所对的圆心角的度数是多少? (3)从 D 组的甲、乙、丙、丁 4 位同学中,随机抽取两位同学进行心理健康知识宣讲,请用列表法 或画树状图法求出丁同学未被抽中的概率。 分组 类别 人数 A 组 不了解 20 B 组 了解少 a C 组 基本了解 40 D 组 非常了解 b 　 　 　 某校学生心理健康知识 了解情况扇形图 —91— 20. (6 分)如图,一次函数 y= kx+b 的图象与反比例函数 y= m x 的图象相交于点 A( -1,n),B(2,-1)。 (1)分别求出这两个函数的表达式; (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积; (3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时,自变量 x 的取值范围。 21. (6 分)为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度,通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速。 如 图为该装置的示意图,电子眼位于点 P 处,离地面的竖直高度 PQ 为 9 米,区间测速的起点为下 引桥坡面点 A 处,此时电子眼的俯角为 30°;区间测速的终点为下引桥坡脚点 B 处,此时电子眼 的俯角为 60°。 (A,B,P,Q 四点在同一平面) (1)求路段 BQ 的长(结果保留根号); (2)当下引桥坡度 i= 1 ∶ 2 3时,求电子眼区间测速路段 AB 的长(结果保留根号)。 22. (6 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,BC 上,且 AE=CF。 直线 EF 分别交 BA,DC 的 延长线于点 G,H,连接 GD,BH。 (1)求证:四边形 BHDG 是平行四边形; (2)如图 2,若四边形 BHDG 是菱形,且 AB= 4,BC= 8,求 CH 的长。 图 1 　 　 图 2 23. (8 分)在初中物理中,我们学过凸透镜的成像规律。 如图,MN 为一凸透镜,F 是凸透镜的焦点。 在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛 AB,透过透镜后呈的像为 CD,光路图如图所示。 经过 焦点的光线 AE,通过透镜折射后平行于主光轴,并与经过凸透镜光心的光线 AO 汇聚于点 C。 (1)若焦距 OF= 4,物距 OB= 6,小蜡烛的高度 AB= 1,求蜡烛的像 CD 的高度; (2)设 x=OB OF ,y= AB CD ,求 y 关于 x 的函数表达式,并通过计算说明当物距大于 2 倍焦距时,呈缩小 的像。 24. (8 分)【发现问题】如图,某公园在一个扇形 OEF 草坪上的圆心 O 处垂直于草坪的地上竖一根柱 子 OA,在 A 处安装一个自动喷水装置,喷头向外喷水,爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物 线形状。 【提出问题】喷出的水距地面的高度 y(m)与喷出的水与池中心的水平距离 x(m)之间有怎样的 函数关系? 【分析问题】小腾测出连喷头在内的柱高为10 9 m,喷出的水流在与点 O 的水平距离 4 m 处达到最 高点 B,点 B 距地面 2 m。 于是小腾以 OA 所在直线为 y 轴,垂直于 OA 的地平线为 x 轴,点 O 为 坐标原点建立如图 1 所示的平面直角坐标系,根据测量结果得到点 A,点 B 的坐标,从而得到 y 与 x 之间的函数表达式。 【解决问题】(1)如图 1,在建立的平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 (0,109 ),水流的最高点 B 的 坐标为(4,2),求抛物线水流对应的函数表达式; (2)当喷头旋转 120°时,这个草坪刚好被水覆盖,求喷水装置能喷灌的草坪的面积(结果用含 π 的式子表示); (3)在扇形 OEF 的一块三角形区域地块△OEF 中,建造一个矩形花坛 GHMN,如图 2,该设计方 案是使点 H,G 分别在边 OF,OE 上,MN 在 EF 上。 设 MN = 2x m,当 x 为多少米时,矩形花坛 GHMN 的面积最大? 最大面积是多少平方米? 图 1 　 　 　 图 2 25. (10 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 8 cm,BC= 6 cm,点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,它们的速度均为 2 cm / s。 以 AQ,PQ 为边作平行四边形 AQPD,连接 DQ,交 AB 于点 E。 设运动时间为 t(单位:s) (0≤t≤4),解答下 列问题。 (1)当 t 为何值时,AQ=AP? (2)如图 2,当 t 为何值时,平行四边形 AQPD 为矩形? (3)当 t 为何值时,△PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形? 图 1 　 　 图 2 26. (10 分)在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 3,AB= 5,D 是 AB 边上的一个动点(不与点 A,B 重合), F 是边 BC 上的一点,且∠CDF= ∠A,过点 C 作 CE⊥CD 交 DF 的延长线于点 E。 (1)如图 1,当 CE∥AB 时,求 AD 的长; (2)如图 2,连接 BE,设 AD= x,BE= y,求 y 关于 x 的函数表达式并写出 x 的取值范围; (3)过点 C 作射线 BE 的垂线,垂足为 H,射线 CH 与射线 DE 交于点 Q,当△CQE 是等腰三角形 时,求 AD 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 —02— 图 1 ②存在这样的 t,使△PMN 是以 PN 为一直角边 的直角三角形。 设直线 l 交 AC 于点 H。 ∵ ∠QPH+∠QHP= ∠APQ+∠QPH= 90°, ∴ ∠APQ= ∠QHP。 又∵ ∠QAP= ∠PAH,∴ △AQP∽△APH。 ∴ AQ AP = AP AH 。 ∴ 2 3 t 4t = 4t AH 。 ∴ AH= 8 3 3 t。 ∴ QH=AH-AQ= 8 3 3 t-2 3 t= 2 3 3 t。 ∵ tan∠NAP= tan 60° =NP AP =NP 4t 。 ∴ NP= 4 3 t cm。 ∵ tan∠QAP= tan 30° =HP AP =HP 4t 。 ∴ HP= 4 3 3 t cm。 ∴ NH=NP-HP= 4 3 t-4 3 t 3 t= 8 3 3 t cm。 如图 2, 当点 N 在 AD 上时, 若 PN ⊥ MN, 则 ∠NMH= 30°。 ∴ MH=2NH。 ∴ QM-QH=2NH。 ∴ 20 3-4 3 t-2 3 t 3 =2×8 3 t 3 。 解得 t= 2。 如图 3, 当点 N 在 CD 上时, 若 PM ⊥ PN, 则 ∠HMP= 30°. ∴ MH= 2PH,同理可得 t= 20 3 。 ∴ 当 t = 2 或20 3 时,存在以 PN 为一直角边的直 角三角形。 图 2 　 　 图 3 2025 年青岛市九年级第一学期考前示范卷(二) 1. D　 2. D　 3. C　 4. A　 5. A　 6. C　 7. A　 8. A　 9. D　 10. D 11. 1 3 　 12. 1. 6　 13. 0<y≤2　 14. 直线 x = - 1　 15. (4 3 -4)　 16. ab 2 -a3 a2 +b2 17.解:如图,点 E 即为所求作。 18.解:(1)∵ 2x2 -4x+1 = 0, ∴ 2x2 -4x= -1。 ∴ x2 -2x= - 1 2 。 ∴ x2 -2x+1 = 1- 1 2 ,即(x-1) 2 = 1 2 。 ∴ x-1 = ± 2 2 。 ∴ x1 = 1+ 2 2 ,x2 = 1- 2 2 。 (2)y= -2x2 +4x+3 = -2(x-1) 2 +5。 ∵ -2<0, ∴ 抛物线的开口向下,对称轴为直线 x = 1,顶点 坐标为(1,5)。 19.解:(1)抽取的学生总数为 40÷40% = 100(人), B 组的人数 a= 100×30% = 30(人), D 组的人数为 b= 100-30-40-20 = 10(人), A 组所占的百分比 20 100 ×100% = 20% 。 故答案为 30;10;20。 (2)D 组扇形所对的圆心角的度数为 360° × 10 100 = 36°。 (3)画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,丁同学未被抽中的结 果一共有 6 种, 所以丁同学未被抽中的概率为 6 12 = 1 2 。 20.解:(1)∵ 点 B(2,-1),∴ 代入反比例函数表达 式 y= m x ,得 m= -2。 ∴ 反比例函数的表达式是 y= - 2 x 。 —92— 把点 A(-1,n)代入反比例函数表达式 y = - 2 x ,得 n=2。 ∴ 点A(-1,2),把点A(-1,2),B(2,-1)代入 y=kx+b, 得 2 = -k+b, -1 = 2k+b。{ 解得 k= -1, b= 1。{ ∴ 一次函数的表达式是 y= -x+1。 (2)∵ 把 y= 0 代入 y= -x+1,得 0 = -x+1。 解得 x= 1。 ∴ 点 C(1,0)。 ∴ S△AOB =S△AOC+S△BOC = 1 2 ×1×2+ 1 2 ×1×1 = 1. 5。 (3)由函数图象,得当一次函数的值大于反比 例函数的值时,自变量 x 的取值范围是 x<-1 或 0<x<2。 21.解:(1)如图 1,对各点标注如下,过点 P 作 PT∥ QB。 由题意,得∠PBQ= ∠TPB= 60°。 ∵ ∠PQB= 90°, ∴ ∠BPQ= 30°。 在 Rt△PBQ 中,PQ= 9 米,tan∠BPQ=BQ PQ , ∴ BQ=PQ·tan 30° = 9× 3 3 = 3 3 (米)。 ∴ 路段 BQ 的长为 3 3米。 (2)如图 2,过点 A 作 AM⊥QB,交 QB 的延长线 于点 M,过点 A 作 AH⊥PQ 于点 H。 图 1 　 图 2 由题意,得∠PAH= ∠TPA= 30°。 设 AM=a 米。 ∵ 下引桥坡度 i = 1 ∶ 2 3 ,即AM BM = 1 2 3 ,∴ BM= 2 3a 米。 ∵ ∠AHQ= ∠HQM= ∠AMQ= 90°, ∴ 四边形 AHQM 是矩形。 ∴ AH=QM=BQ+BM= (3 3 +2 3 a)米,QH = AM =a 米,PH=PQ-HQ= (9-a)米。 在 Rt△APH 中,tan∠PAH=PH AH ,∠PAH= 30°, ∴ 3 3 = 9-a 3 3 +2 3a 。 解得 a= 2。 ∴ AM= 2 米,BM= 4 3米。 ∴ AB= AM2+BM2 = 22+(4 3)2 =2 13(米)。 ∴ 电子眼区间测速路段 AB 的长为 2 13米。 22. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB∥CD,AB=CD,∠BAD= ∠BCD= 90°。 ∴ ∠AGE= ∠CHF,∠GAE= ∠HCF= 90°。 在△AGE 和△CHF 中, ∠AGE= ∠CHF, ∠GAE= ∠HCF, AE=CF, { ∴ △AGE≌△CHF(AAS)。 ∴ AG=CH。 ∴ AB+AG=CD+CH, 即 BG=DH。 ∵ AB∥CD, ∴ 四边形 BHDG 是平行四边形。 (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ CD=AB= 4。 ∵ 四边形 BHDG 是菱形, ∴ BH=DH= 4+CH。 在 Rt△BCH 中,由勾股定理,得 BH2 =BC2 +CH2 , 即(4+CH) 2 = 82 +CH2 。 解得 CH= 6。 ∴ CH 的长为 6。 23.解:(1)由题意,得 AB∥OE。 ∴ △ABF∽△EOF。 ∴ AB EO =BF OF 。 ∵ AB=1,BF=OB-OF=6-4=2,OF=4, ∴ 1 EO = 2 4 。 ∴ OE= 2。 ∵ OE∥CD,CE∥OD, ∴ 四边形 OECD 是平行四边形。 ∴ CD=OE= 2。 ∴ 蜡烛的像 CD 的高度为 2。 (2)由(1),得△ABF∽△EOF,CD=OE= 2。 ∴ AB EO =BF OF ,即AB CD =OB-OF OF 。 ∵ x=OB OF ,y= AB CD , ∴ y= x-1。 ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y= x-1。 当 OB OF >2,即 x>2 时,y= x-1>1, ∴ AB CD >1,即 AB>CD。 ∴ 当物距大于 2 倍焦距时,呈缩小的像。 24.解:(1)设抛物线水流对应的函数表达式为 y = a(x-h) 2 +k(a≠0)。 ∵ 水流的最高点 B 的坐标为(4,2), ∴ y=a(x-4) 2 +2。 代入点 A ( 0,109 ) ,得 10 9 =a(0-4) 2 +2。 解得 a= - 1 18 。 —03— ∴ 抛物线水流对应的函数表达式为 y = - 1 18 (x- 4) 2 +2 = - 1 18 x2 + 4 9 x+10 9 (x>0)。 (2)在 y = - 1 18 x2 + 4 9 x+ 10 9 中,令 y = 0,得 x = 10 或-2(不符合题意,舍去)。 ∴ 喷水装置能喷灌的草坪的面积为120 ×102 π 360 = 100π 3 (m2 )。 (3)如图,过点 O 作 OP⊥EF,交 GH 于点 Q,交 EF 于点 P。 由矩形 GHMN 可得,GH = MN = 2x m,NG = MH, ∠MNG= ∠NMH= 90°,GH∥MN。 ∴ ∠HGO= ∠FEO。 ∵ ∠EOF= 120°,OE=OF,OP⊥EF, ∴ ∠FEO= ∠EFO= ∠HGO= 30°,EP=FP。 ∵ OE= 10 m, 在 Rt △EPO 中,∠PEO = 30°, sin ∠PEO = OP OE , cos∠PEO=EP OE , ∴ OP=OE·sin∠PEO= 5 m,EP=OE·cos∠PEO= 5 3 m。 ∴ FP= 5 3 m。 ∵ ∠ENG= 180°-∠MNG= 90° = ∠EPO, ∠NEG= ∠PEO, ∴ △NEG∽△PEO。 ∴ NG PO =EN EP 。 同理可得,MH PO =FM FP 。 ∵ NP=EP-EN,MP=FP-FM, ∴ PM=PN。 ∵ MN= 2x m,∠HGO= 30°, ∴ PM=PN= x m,OQ= 3 3 x m,NG=MH=OP-OQ = ( 5- 33 x ) m。 ∴ S矩形GHMN =MN·NG = 2x× ( 5- 33 x ) = - 2 3 3 x2 + 10x= -2 3 3 ( x- 5 3 2 ) 2 +25 3 2 。 ∴ 当 x= - b 2a = - 10 2× ( -2 33 ) = 5 3 2 时,矩形花坛 GHMN 的面积最大,最大面积为25 3 2 m2 。 25.解:( 1) 在 Rt △ABC 中,由勾股定理,得 AB = AC2 +BC2 = 82 +62 = 10(cm)。 ∵ 点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运 动,同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀 速运动,它们的速度均为 2 cm / s, ∴ AP=AB-BP= (10-2t)cm,AQ= 2t cm。 ∵ AQ=AP, ∴ 2t= 10-2t。 解得 t= 5 2 。 ∴ 当 t= 5 2 时,AQ=AP。 (2)∵ 四边形 AQPD 是矩形, ∴ ∠PQA= ∠C= 90°。 ∵ ∠PAQ= ∠BAC, ∴ △AQP∽△ACB。 ∴ AQ AC =AP AB , 即 2t 8 = 10-2t 10 。 解得 t= 20 9 。 ∴ 当 t 为20 9 时,平行四边形 AQPD 为矩形。 (3)∵ △PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形, ∴ 有 DQ⊥AP 和 EP⊥PQ 两种情况,分类讨论 如下: ①当 DQ⊥AP 时,四边形 AQPD 为菱形, ∴ AE= 1 2 AP= 1 2 ×(10-2t)= (5-t)cm。 ∵ ∠AEQ= ∠C= 90°,∠EAQ= ∠CAB, ∴ △EAQ∽△CAB。 ∴ AE AC =AQ AB ,即5 -t 8 = 2t 10 。 解得 t= 25 13 。 ②当 EP⊥PQ 时, ∵ ∠APQ= ∠C= 90°,∠PAQ= ∠CAB, ∴ △PAQ∽△CAB。 ∴ AP AC =AQ AB ,即10 -2t 8 = 2t 10 。 —13— 解得 t= 25 9 。 综上所述,当 t 为25 13 或 25 9 时,△PEQ 是以 PE 为 直角边的直角三角形。 26.解:(1)∵ CE∥AB,CE⊥CD, ∴ AB⊥CD。 在 Rt△ABC 中,∵ ∠ACB= 90°,AC= 3,AB= 5, ∴ BC= AB2 -AC2 = 52 -32 = 4。 ∵ 在 Rt△ABC 中,cos A = AC AB ,在 Rt△ADC 中, cos A=AD AC ,∴ AD AC =AC AB 。 ∴ AD 3 = 3 5 。 ∴ AD= 9 5 。 (2)∵ ∠A= ∠CDF,∠ACB= ∠DCE= 90°, ∴ △ACB∽△DCE。 ∴ AC DC =BC EC 。 ∴ AC BC =DC EC 。 ∵ ∠ACB= ∠DCE= 90°, ∴ ∠ACB-∠DCF= ∠DCE-∠DCF。 ∴ ∠ACD= ∠BCE。 ∴ △ACD∽△BCE。 ∴ AC BC =AD BE 。 ∴ 3 4 = x y 。 ∴ y= 4 3 x。 ∵ D是 AB边上的一个动点(不与点 A,B重合), ∴ 0<x<5。 ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y = 3 4 x,x 的取值范 围为 0<x<5。 (3)当△CQE 是等腰三角形时,有点 E 在线段 BH 上,即 CE=QE 和点 E 在线段 BH 的延长线 上,即 CQ=QE 两种情况,分类讨论如下: ①如图 1,当点 E 在线段 BH 上时,则 EC =EQ, 过点 C 作 CN⊥AB 于点 N。 图 1 ∵ △ACD∽△BCE, ∴ AC BC =CD CE = 3 4 ,∠CAD= ∠CBE。 ∴ 设 CD= 3x,则 CE= 4x=EQ。 ∴ DE= CD2 +CE2 = 5x。 ∵ ∠A+∠ABC= 90°, ∴ ∠CBE+∠ABC= 90° = ∠ABE。 ∵ CH⊥BE,CN⊥AB, ∴ 四边形 CNBH 是矩形。 ∴ CH=NB,CQ∥BD。 ∵ cos∠ABC=BN BC =BC AB , ∴ BN 4 = 4 5 。 ∴ BN= 16 5 =CH。 ∵ CE=EQ,EH⊥CQ, ∴ CH=HQ= 16 5 。 ∵ CQ∥BD, ∴ △EHQ∽△EBD。 ∴ HQ BD =EQ ED 。 ∴ 16 5 5-AD = 4x 5x 。 ∴ AD= 1。 ②如图 2, 当点 E 线段 BH 的延长线上时, 则 CQ=EQ。 图 2 在 Rt△CHB 中,∵ BC= 4,CH= 16 5 , ∴ BH= BC2 -CH2 = 42 - ( 165 ) 2 = 12 5 。 ∵ CQ=EQ, ∴ ∠QCE= ∠QEC。 ∵ ∠DCE= 90°, ∴ ∠QCD+∠QCE= ∠QDC+∠QEC。 ∴ ∠QCD= ∠QDC。 ∴ CQ=DQ。 ∴ QE=CQ=DQ。 ∵ CH∥AB, ∴ QE DQ =EH BH = 1。 ∴ EH=BH= 12 5 。 ∴ BE=BH+EH= 24 5 。 ∵ y= 4 3 x,∴ 24 5 = 4 3 AD。 ∴ AD= 18 5 。 综上所述,AD 的长为18 5 或 1。 —23—