2025年山东省青岛市九年级上学期考前示范卷(1)-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(青岛专版)

∴ S△PCQ S△CDQ = 1 2 CQ·PG 1 2 CD·QF = (10-2t) 12 ·12 -2t 10-2t = 1 6 。 解得 t= 5。 当 t= 5 时,10-2t= 0, ∴ t= 5 为原分式方程的增根。 ∴ 不存在 t 的值,使 S△PCQ ∶ S△DCQ = 1 ∶ 6。 (3)存在某一时刻 t,使点 P,Q,D 共线。 如图 3 所示, 图 3 ∵ AB∥CD,∴ △APQ∽△CDQ。 ∴ AP CD = AQ CQ 。 ∴ 12 -2t 12 = 2t 10-2t 。 化简,得 t2 -17t+30 = 0。 解得 t1 = 15,t2 = 2。 ∵ 0<t<5,∴ t= 2。 ∴ 当 t= 2 时,点 P,Q,D 共线。 24. (1)解:如图,当 AP 平分∠BAC 时,连接 AP。 由题图 2,得 AB=BC= 4 cm。 ∵ ∠B= 36°,AB=BC,∴ ∠BAC= ∠C= 72°。 ∵ AP 平分∠BAC,∴ ∠BAP= ∠PAC= ∠B= 36°。 ∴ AP=BP,∠APC= 72° = ∠C。 ∴ AP=AC=BP。 ∵ ∠PAC= ∠B,∠C= ∠C,∴ △APC∽△BAC。 ∴ AP BA = PC AC 。 ∴ AP·AC = AB·PC。 ∵ AP = AC, ∴ AP2 =AB·PC= 4(4-AP)。 ∴ AP= 2 5 -2 =BP。 (负值已舍去) ∴ t= (AB+BP)÷1 = (4+2 5 -2)÷1 = 2 5 +2。 (2)证明:由(1),知 AP2 =AB·PC, ∵ AP=BP,AB=BC,∴ BP2 =BC·PC。 2025 年青岛市九年级第一学期考前示范卷(一) 1. B　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B　 6. D　 7. D　 8. D　 9. D　 10. D 11. 9　 12. -6　 13. (2,4) 　 14. 28π m2 　 15. 4 3 　 16. 16 13 17.解:(1)如图,菱形 ADEF 即为所求作。 (2)设菱形 ADEF 的边长为 x,则 AF=EF= x,CF = 5-x。 ∵ 四边形 ADEF 为菱形, ∴ EF∥AD。 ∴ △CFE∽△CAB。 ∴ CF CA =EF BA ,即5 -x 5 = x 7 。 解得 x= 35 12 。 ∴ 菱形 ADEF 的边长为35 12 。 ∴ 菱形的周长为 4×35 12 = 35 3 。 故答案为 35 3 。 18.解:(1)tan 60°-sin245°+tan 45°-2cos 30° = 3 - ( 22 ) 2 +1-2× 3 2 = 3 - 1 2 +1- 3 = 1 2 。 (2)∵ a= 2,b= 5,c= 1, ∴ b2 -4ac= 25-4×2×1 = 17>0。 ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = -5± 17 4 。 ∴ x1 = -5+ 17 4 ,x2 = -5- 17 4 。 19.解:(1)如图 1,连接 BD。 图 1 ∵ AB=BC=CD=AD= 20 cm, ∴ 四边形 ABCD 为菱形。 ∴ ∠BAD= 2∠DAC= 60°。 又∵ AB=AD, ∴ △ABD 为等边三角形。 —52— ∴ BD=AD= 20 cm。 ∴ 当∠DAC = 30°时,千斤顶顶部到水平地面的 距离 BD 的长为 20 cm。 (2)如图 2,连接 BD 交 AC 于点 O。 图 2 ∵ AB=BC=CD=AD= 20 cm, ∴ 四边形 ABCD 为菱形。 ∵ AC,BD 为菱形的对角线,∴ AC⊥BD。 ∴ ∠AOD= 90°。 ∴ △AOD 为直角三角形,BD= 2DO。 在 Rt△AOD 中,∠DAO= 40°,sin∠DAO=OD AD , ∴ OD=AD·sin 40°≈20×0. 64 = 12. 8(cm)。 ∴ BD= 2OD= 12. 8×2 = 25. 6(cm)。 25. 6-20 = 5. 6(cm)。 ∴ 当∠DAC 由 30°变为 40°时,千斤顶顶部到水 平地面的距离 BD 的长将增加 5. 6 cm。 20.解:( 1) 由扇形统计图知,B 所占的百分比为 90° 360° ×100% = 25% 。 所以这次被调查的总人数有 30÷25% =120(万人)。 故答案为 120。 C 分会场的人数为 120-18-30-24=48(万人)。 补全条形统计图如图所示。 (2)画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果,其中他们被安排往同 一个分会场进行采访的结果有 4 种, 所以他们被安排往同一个分会场进行采访的概 率为 4 16 = 1 4 。 21.解:(1) ∵ 点 A(m,4)和点 B(8,n)在反比例函 数 y= 8 x 的图象上, ∴ m= 8 4 = 2,n= 8 8 = 1。 ∴ 点 A(2,4),点 B(8,1)。 把 A(2,4),B(8,1)代入 y= kx+b 中,得 2k+b= 4, 8k+b= 1。{ 解得 k= - 1 2 , b= 5。 { ∴ 直线 AB 的函数表达式为 y= - 1 2 x+5。 (2)由图象,得当 x>0 时,kx+b> 8 x 的解集为 2< x<8。 (3)由(1),得直线 AB 的表达式为 y= - 1 2 x+5。 当 y= 0 时,x= 10, ∴ 点 D 的坐标为(10,0)。 ∵ △ADP 的面积是 8, ∴ 1 2 ×4×PD= 8。 ∴ PD= 4。 ∴ 点 P 的坐标为(6,0)或(14,0)。 22. (1)证明:∵ △ABC 和△AEF 均是等边三角形, ∴ ∠BAC= ∠ACB= ∠EAF= ∠AFE= 60°。 ∴ AB∥DE,AE∥BC。 ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形。 (2)解:当 D 为线段 BC 的中点时,四边形 ADCE 是矩形,理由如下: 由( 1), 知 AE∥BC, 四边形 ABDE 是平行四 边形, ∴ AE=BD。 ∵ △ABC 是等边三角形,D 是线段 BC 的中点, ∴ BD=CD,AD⊥BC。 ∴ AE=CD,∠ADC= 90°。 ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形。 又∵ ∠ADC= 90°, ∴ 平行四边形 ADCE 是矩形。 23.解:(1)零售单价下降 m 元后,该店平均每天可 卖出 ( 300+100× m0. 1 )只粽子,利润为 (1-m)· ( 300+ 100 × m0. 1 ) 元。 故答案为 ( 300 + 100 × m 0. 1 ) ,(1-m) ( 300+100× m 0. 1 ) 。 (2)由题意,得(1-m) ( 300+100× m0. 1 ) = 420。 化简,得 100m2 -70m+12 = 0, 即 m2 -0. 7m+0. 12 = 0。 —62— 解得 m= 0. 4 或 0. 3。 ∵ 要使卖出的粽子更多,∴ m 取 0. 4。 ∴ 当 m= 0. 4 时,卖出的粽子更多。 ∴ 当 m 定为 0. 4 时,才能使该店每天获取的利 润是 420 元并且卖出的粽子更多。 24.解:任务 1:如图 1, 以点 O 为坐标原点,水平方 向为 x 轴建立平面直角坐标系。 图 1 ∵ A,B 两点之间的距离为 20 m, ∴ 点 A 的坐标为(-10,0)。 ∵ 水柱距水池中心 7 m 处达到最高,高度为 5 m, ∴ 左侧抛物线的顶点坐标为(-7,5)。 ∴ 设左侧抛物线的函数表达式为 y=a(x+7)2+5。 ∵ 点 A(-10,0)在左边抛物线上, ∴ a(-10+7) 2 +5 = 0。 解得 a= - 5 9 。 ∴ 左边抛物线的函数表达式为 y=- 5 9 (x+7)2+5。 任务 2:如图 2,设 OP 长为 m m,则点 P 的坐标 为(0,m)。 图 2 ∵ 甲喷水头喷射与题图 2 中形状相同的抛物 线,并且两个抛物线的开口方向相同, ∴ 甲喷水头形成的抛物线的表达式为 y=- 5 9 x2+m。 由任务 1,得左边抛物线的函数表达式为 y= - 5 9 (x+7) 2 +5。 当 y= 1. 8 时,1. 8 = - 5 9 (x+7) 2 +5。 解得 x1 = -9. 4(不符合题意,舍去),x2 = -4. 6。 ∴ 点 M 的横坐标为-4. 6。 ∵ CD 为 12 m, ∴ OC= 1 2 CD= 6 m。 ∴ FM= 6- | -4. 6 | = 1. 4(m)。 ∵ GM= 2 7 FM, ∴ GM= 0. 4 m。 ∴ 点 G 的横坐标是-4. 6+0. 4 = -4. 2。 ∴ 点 G 的坐标是(-4. 2,1. 8)。 ∴ 1. 8 = - 5 9 ×(-4. 2) 2 +m。 解得 m= 58 5 。 ∴ 此时 OP 的最高高度为58 5 m。 任务 3:如图 3,建立如图所示的平面直角坐标 系,以 y 轴左侧的抛物线为例。 图 3 设 OP 的长为 m m,则点 P 的坐标为(0,m)。 ∵ 乙喷水头喷射水柱的最高点与点 P 的高度差 为 0. 8 m, ∴ 乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为 (h,m+0. 8)。 ∵ 乙喷水头喷射与题图 2 中形状相同的抛物 线,并且两个抛物线的开口方向相同, ∴ 乙喷水头形成的抛物线表达式为 y = - 5 9 (x- h) 2 +m+0. 8。 把点 P 的坐标(0,m)代入,得 m= - 5 9 (0-h)2 +m+ 0. 8。 解得 h= -1. 2 或 1. 2(不符合题意,舍去)。 ∴ 乙喷水头形成的抛物线表达式为 y = - 5 9 (x+ 1. 2) 2 +m+0. 8。 ∵ OP 喷出的水柱高度不低于 5 m, ∴ 最高点(h,m+0. 8)的纵坐标不低于 5 m。 ∴ m+0. 8≥5。 解得 m≥21 5 。 ∵ 水柱不能碰到题图 2 中的水柱,也不能落在 蓄水池外面, ∴ 将点 M 的坐标( -4. 6,1. 8)代入 y = - 5 9 (x+ 1. 2) 2 +m+0. 8,得 1. 8 = - 5 9 (-4. 6+1. 2) 2 +m+0. 8。 —72— 解得 m= 334 45 。 ∴ m<334 45 。 ∴ m 的取值范围为21 5 ≤m<334 45 。 ∴ 喷 水 装 置 OP 高 度 的 变 化 范 围 为 21 5 ≤ OP<334 45 。 25. (1)解:∵ △ABC 与△APQ 都是等边三角形, ∴ AB=AC,AP=AQ,∠BAC= ∠PAQ= 60°。 ∴ ∠BAP+∠PAC= ∠PAC+∠CAQ。 ∴ ∠BAP= ∠CAQ。 在△BAP 和△CAQ 中, AB=AC, ∠BAP= ∠CAQ, AP=AQ, { ∴ △BAP≌△CAQ(SAS)。 ∴ CQ=BP= 2。 故答案为 2。 (2)证明:∵ AB=BC,AP=PQ, ∴ ∠BAC= ∠BCA,∠PAQ= ∠PQA。 ∴ ∠BAC= 1 2 (180° -∠ABC),∠PAQ = 1 2 (180° - ∠APQ)。 ∵ ∠APQ= ∠ABC, ∴ ∠BAC= ∠PAQ。 ∴ △BAC∽△PAQ。 ∴ AB AP = AC AQ 。 ∵ ∠BAP+∠PAC= ∠PAC+∠CAQ, ∴ ∠BAP= ∠CAQ。 ∴ △BAP∽△CAQ。 ∴ ∠ABC= ∠ACQ。 (3)解:∵ AC=BC,∠ACB= 90°, ∴ △ABC 为等腰直角三角形。 ∴ ∠B= ∠BAC= 45°,AB= 2AC。 ∴ AC AB = 2 2 。 同理可得,∠APQ= ∠PAQ= 45°,AP= 2AQ。 ∴ AQ AP = 2 2 。 ∴ AC AB =AQ AP ,∠BAC= ∠PAQ。 ∴ ∠BAC-∠PAC= ∠PAQ-∠PAC。 ∴ ∠BAP= ∠CAQ ∴ △BAP∽△CAQ。 ∴ BP CQ =AB AC = 2 。 ∴ BP= 2CQ= 2 × 2 = 2。 设 PC= x,则 AC=BC= 2+x。 在 Rt△APC 中,由勾股定理,得 AC2 +PC2 =AP2 , 即(2+x) 2 +x2 = 100。 解得 x1 = 6,x2 = -8(不符合题意,舍去)。 ∴ BC= 2+x= 8。 ∴ BC 的长为 8。 26.解:(1)PQ⊥AC,理由如下: 若 0<t≤5,则 AP= 4t cm,AQ= 2 3 t cm, 则 AP AQ = 4t 2 3 t = 2 3 3 。 ∵ 菱形 ABCD 的边长为 20 cm,∠ABC= 120°, ∴ ∠AOB= 90°,∠ABO= 60°,AB= 20 cm。 在 Rt△AOB中,sin∠ABO=AO AB ,∴ sin 60°=AO 20 = 3 2 。 ∴ AO=10 3 cm。 ∴ AB AO = 20 10 3 = 2 3 3 。 ∴ AP AQ = AB AO 。 ∵ ∠QAP= ∠OAB= 30°, ∴ △APQ∽△ABO。 ∴ ∠AQP= 90°,即 PQ⊥AC。 当 5 < t < 10 时,同理,可由△PCQ∽ △BCO 得 ∠PQC= 90°,即 PQ⊥AC。 ∴ 在点 P,Q 运动过程中,始终有 PQ⊥AC。 (2)①如图 1,在 Rt△APM 中, ∵ ∠PAM= 30°,AP= 4t cm, ∴ cos∠PAM= AP AM ,即 cos 30° = 4t AM = 3 2 。 ∴ AM= 8 3 t 3 cm。 在△APQ 中,∠AQP= 90°, ∴ AQ=AP·cos 30° = 2 3 t cm。 ∵ AO= 10 3 cm,四边形 ABCD 为菱形, ∴ AC= 2AO= 20 3 cm。 ∴ QM=AC-2AQ= (20 3 -4 3 t)cm。 由 AQ+QM=AM,得 2 3 t+20 3-4 3 t= 8 3 t 3 。 解得 t= 30 7 。 ∴ 当 t= 30 7 时,点 P,M,N 在同一直线上。 —82— 图 1 ②存在这样的 t,使△PMN 是以 PN 为一直角边 的直角三角形。 设直线 l 交 AC 于点 H。 ∵ ∠QPH+∠QHP= ∠APQ+∠QPH= 90°, ∴ ∠APQ= ∠QHP。 又∵ ∠QAP= ∠PAH,∴ △AQP∽△APH。 ∴ AQ AP = AP AH 。 ∴ 2 3 t 4t = 4t AH 。 ∴ AH= 8 3 3 t。 ∴ QH=AH-AQ= 8 3 3 t-2 3 t= 2 3 3 t。 ∵ tan∠NAP= tan 60° =NP AP =NP 4t 。 ∴ NP= 4 3 t cm。 ∵ tan∠QAP= tan 30° =HP AP =HP 4t 。 ∴ HP= 4 3 3 t cm。 ∴ NH=NP-HP= 4 3 t-4 3 t 3 t= 8 3 3 t cm。 如图 2, 当点 N 在 AD 上时, 若 PN ⊥ MN, 则 ∠NMH= 30°。 ∴ MH=2NH。 ∴ QM-QH=2NH。 ∴ 20 3-4 3 t-2 3 t 3 =2×8 3 t 3 。 解得 t= 2。 如图 3, 当点 N 在 CD 上时, 若 PM ⊥ PN, 则 ∠HMP= 30°. ∴ MH= 2PH,同理可得 t= 20 3 。 ∴ 当 t = 2 或20 3 时,存在以 PN 为一直角边的直 角三角形。 图 2 　 　 图 3 2025 年青岛市九年级第一学期考前示范卷(二) 1. D　 2. D　 3. C　 4. A　 5. A　 6. C　 7. A　 8. A　 9. D　 10. D 11. 1 3 　 12. 1. 6　 13. 0<y≤2　 14. 直线 x = - 1　 15. (4 3 -4)　 16. ab 2 -a3 a2 +b2 17.解:如图,点 E 即为所求作。 18.解:(1)∵ 2x2 -4x+1 = 0, ∴ 2x2 -4x= -1。 ∴ x2 -2x= - 1 2 。 ∴ x2 -2x+1 = 1- 1 2 ,即(x-1) 2 = 1 2 。 ∴ x-1 = ± 2 2 。 ∴ x1 = 1+ 2 2 ,x2 = 1- 2 2 。 (2)y= -2x2 +4x+3 = -2(x-1) 2 +5。 ∵ -2<0, ∴ 抛物线的开口向下,对称轴为直线 x = 1,顶点 坐标为(1,5)。 19.解:(1)抽取的学生总数为 40÷40% = 100(人), B 组的人数 a= 100×30% = 30(人), D 组的人数为 b= 100-30-40-20 = 10(人), A 组所占的百分比 20 100 ×100% = 20% 。 故答案为 30;10;20。 (2)D 组扇形所对的圆心角的度数为 360° × 10 100 = 36°。 (3)画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,丁同学未被抽中的结 果一共有 6 种, 所以丁同学未被抽中的概率为 6 12 = 1 2 。 20.解:(1)∵ 点 B(2,-1),∴ 代入反比例函数表达 式 y= m x ,得 m= -2。 ∴ 反比例函数的表达式是 y= - 2 x 。 —92— 2025 年青岛市九年级第一学期考前示范卷(一) (时间:120 分钟　 满分:120 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列几何体中,主视图是三角形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 在△ABC 中,∠C= 90°,设∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,则 (　 　 ) A. c= bsin B B. b= csin B C. a= btan B D. b= ctan B 3. 小红拿着一块矩形木框在阳光下做投影试验,这块矩形木框在地面上的投影不可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 4. 若△ABC 与△DEF 相似,且对应中线的比为 1 ∶ 7,则△ABC 与△DEF 的面积比是 (　 　 ) A. 1 ∶ 7 B. 1 ∶ 3. 5 C. 1 ∶ 7 D. 1 ∶ 49 5. 若 3x= 2y(y≠0),则下列比例式成立的是 (　 　 ) A. x 3 = 2 y B. x 2 = y 3 C. y x = 2 3 D. y 3 = 2 x 6. 在平面直角坐标系中,抛物线的顶点是(1,3),当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而增大,则抛物线的 表达式可以是 (　 　 ) A. y= -2(x+1) 2 +3 B. y= 2(x+1) 2 +3 C. y= -2(x-1) 2 +3 D. y= 2(x-1) 2 +3 7. 在△ABC 中,锐角 A,B 满足 sin A- 3 2 + (cos B- 1 2 ) 2 = 0,则△ABC 是 (　 　 ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8. 已知(x1,y1),(x2,y2)是反比例函数 y=- 2 x 图象上的点,若 x1>0>x2,则 y1,y2 和 0 的大小关系是 (　 　 ) A. y1 >y2 >0 B. y1 >0>y2 C. 0>y1 >y2 D. y2 >0>y1 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是明代数学家程大位。 书中记载了一道“荡秋千”问题: “平地秋千未起,踏板一尺离地;送行二步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉;良 工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“秋千静止的时候,踏板离地 1 尺,将它往前推送两步(两步 = 10 尺)时,此时踏板升高离地 5 尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问秋千绳索有多长?”下图图 1 为秋千实物图,图 2 为秋千示意图。 若设秋千绳索长为 x 尺,则可列方程为 (　 　 ) 图 1 　 　 　 　 　 图 2 A. x2 +102 = (x+1) 2 B. (x+1) 2 +102 = x2 C. x2 +102 = (x-4) 2 D. (x-4) 2 +102 = x2 10. 二次函数 y=ax2 +4x+a 与一次函数 y=ax+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 含有 4 种花色的 36 张扑克牌的牌面都朝下,每张扑克牌背面花纹都相同,每次抽出一张记下花 色后再原样放回,洗匀牌后再抽一张,不断重复上述过程,抽到红心的频率为 25% ,那么其中扑克 牌花色是红心的大约有 张。 12. 若关于 x 的一元二次方程 x2 +x+c= 0 有一个解为 x= 2,则 c 的值为 。 13. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 和△A′B′C′是以原点 O 为位似中心的位似图形, AB A′B′ = 1 2 。 若 点 A 的坐标为(1,2),则点 A′的坐标为 。 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 14. 如图,电线杆的顶部有一盏高为 6 m 的路灯,电线杆底部为 A,身高 1. 5 m 的男孩站在与点 A 相距 6 m 的点 B 处,若小男孩以点 B 为圆心,6 m 为半径绕电线杆走一圈,则他在路灯下的影子 BC 扫 过的面积为 。 15. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A= 60°,边 AB 的长为 8,E 为边 DA 的中点,P 为边 CD 上的一点,连接 PE,PB,EB。 当 PE=EB 时,线段 PE 的长为 。 16. 如图,在正方形 ABCD 中,F 是 AB 边上一点,连接 CF,过点 B 作 BE⊥CF 于点 E,连接 AE 并延长, 交 BC 边于点 G。 若 AF= 1,BC= 4,则线段 CG 的长为 。 三、作图题(本题满分 4 分) 17. (4 分)如图,在△ABC 中,AB= 7,BC= 6,AC= 5。 (1)尺规作图:作菱形 ADEF,使点 D,E,F 分别在 AB,BC,AC 上; (2)题(1)中所作的菱形 ADEF 的周长为 。 四、解答题(本大题共 9 小题,共 68 分) 18. (8 分)(1)tan 60°-sin245°+tan 45°-2cos 30°; (2)解方程:2x2 +5x+1 = 0。 19. (6 分)图 1 是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶,旋转螺杆能起到升降千斤顶高度的作用。 图 2 是该螺旋式千斤顶的平面示意图,已知四条支撑杆 AB,BC,CD,DA 的长度均为 20 cm,螺杆 AC 与 水平地面平行。 (1)当∠DAC= 30°时,求千斤顶顶部到水平地面的距离 BD 的长; (2)当∠DAC 由 30°变为 40°时,千斤顶顶部到水平地面的距离 BD 的长将增加多少? (结果精确到 0. 1 cm。 参考数据:sin 40°≈0. 64,cos 40°≈0. 77,tan 40°≈0. 84, 3 ≈1. 73) 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2 20. (6 分)2024 年成都世界园艺博览会开幕在即,本届世园会将紧密围绕“公园城市,美好人居”的 办会主题,坚持绿色低碳、节约持续、共享包容的理念,打造一届集“时代特征、国际水平、中国元 素、成都特色”的盛会。 世园会首次采取“1 个主会场+4 个分会场”模式,主会场所在地为成都东 部新区,集中呈现未来公园城市形态,成都市温江区、郫都区、新津区、邛崃市四个分会场分别突 出川派盆景、花卉产业、农艺博览、生物多样性等特色,演绎人与自然和谐共生的生动图景。 某旅 游公司为了解游客对 A(新津区)、B(温江区)、C(郫都区)、D(邛崃市)四个分会场的游览意向, 在网上进行了调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图。 请根据统计图信息,解答下列问题: (1)这次被调查的总人数有 万人,并将条形统计图补充完整; (2)世园会执委会面向全市中小学生招募了一批“世园小记者”,届时会随机安排每位小记者去 一个分会场进行采访。 小颖和小明都被选中成为小记者,请用列表或画树状图的方法求出他们 被安排往同一个分会场进行采访的概率。 　 　 —71— 21. (6 分)直线 y= kx+b 与反比例函数 y= 8 x (x>0)的图象分别交于点 A(m,4)和点 B(8,n),直线与 坐标轴分别交于点 C 和点 D。 (1)求直线 AB 的函数表达式; (2)观察图象,当 x>0 时,直接写出 kx+b> 8 x 的解集; (3)若 P 是 x 轴上一动点,当△ADP 的面积是 8 时,求出点 P 的坐标。 22. (6 分)如图,△ABC 和△AEF 均是等边三角形,点 F 在 AC 上,延长 EF 交 BC 于点 D,连接 AD,CE。 (1)求证:四边形 ABDE 是平行四边形; (2)当点 D 在线段 BC 上什么位置时,四边形 ADCE 是矩形? 请说明理由。 23. (8 分)端午节期间,某食品店平均每天可卖出 300 只粽子,卖出 1 只粽子的利润是 1 元。 经调查 发现,零售单价每降 0. 1 元,每天可多卖出 100 只粽子。 为了使每天获取的利润更多,该店决定 把零售单价下降 m(0<m<1)元。 (1)零售单价下降m元后,该店平均每天可卖出 只粽子,利润为　 　 　 　 　 　 　 　 　 元; (以上两空均用含 m 的代数式表示) (2)在不考虑其他因素的情况下,当 m 定为多少时,才能使该店每天获取的利润是 420 元并且卖 出的粽子更多? 24. (8 分) 设计喷水方案 素 材 1 图 1 为某公园的圆形喷水池,图 2 是其示意图,点 O 为水池中心,喷头 A,B 之间的距离为 20 m, 喷射水柱呈抛物线形,水柱距水池中心 7 m 处达到最高,高度为 5 m,水池中心处有一个圆柱形 蓄水池,其底面直径 CD 为 12 m,高 CF 为 1. 8 m。 图 1 图 2 素 材 2 如图 3、图 4,拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸 缩高度的喷水装置 OP(OP⊥CD),要求水柱不能碰 到图 2 中的水柱,也不能落在蓄水池外面。 经调研, 目前市场有两种喷水头均能喷射与图 2 中形状相同的 抛物线,其中,甲喷水头以点 P 为最高点向四周喷射水 柱(如图 3),乙喷水头喷射水柱的最高点与点 P 的高度 差为 0. 8 m(如图 4)。 图 3 图 4 问题解决 任 务 1 确定水柱形状 在图 2 中以点 O 为坐标原点,水平 方向为 x 轴建立平面直角坐标系, 求左边抛物线的函数表达式。 任 务 2 选择喷水装置甲,确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图 3),为防止水花 溅出,当落水点 G,M 之间的距离满 足 GM = 2 7 FM 时,OP 不能再升高, 求此时 OP 的最高高度。 任 务 3 选择喷水装置乙,拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图 4),为了美观,要 求 OP 喷出的水柱高度不低于 5 m, 求喷水装置 OP 高度的变化范围。 25. (10 分)(1)如图 1,在等边三角形 ABC 中,P 是边 BC 上一点,且 BP= 2,连接 AP,以 AP 为边作等 边三角形 APQ,连接 CQ,则 CQ 的长为 ; (2)如图 2,在△ABC 中,AB=BC,P 是边 BC 上任意一点,以 AP 为腰作等腰三角形 APQ,使 AP = PQ,∠APQ= ∠ABC,连接 CQ,求证:∠ABC= ∠ACQ; (3)如图 3,在△ABC 中,AC = BC,∠ACB = 90°,P 是边 BC 上一点,以 AP 为边作△APQ,使 AQ = PQ,∠AQP= 90°,连接 CQ。 若 AP= 10,CQ= 2 ,求 BC 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (10 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 20 cm,∠ABC = 120°。 动点 P,Q 同时从点 A 出发,其中点 P 以 4 cm / s 的速度,沿 A→B→C 的路线向点 C 运动;点 Q 以 2 3 cm / s 的速度,沿 A→C 的路线向 点 C 运动。 当点 P,Q 到达终点 C 时,整个运动随之结束,设运动时间为 t 秒。 (1)在点 P,Q 运动过程中,请判断 PQ 与对角线 AC 的位置关系,并说明理由; (2)若点 Q 关于菱形 ABCD 的对角线交点 O 的对称点为 M,过点 P 且垂直于 AB 的直线 l 交菱形 ABCD 的边 AD(或 CD)于点 N。 ①当 t 为何值时,点 P,M,N 在同一直线上? ②当点 P,M,N 不在同一直线上时,是否存在这样的 t,使得△PMN 是以 PN 为一直角边的直角三 角形? 若存在,请求出所有符合条件的 t 的值;若不存在,请说明理由。 —81—