2023年山东省青岛市市北区九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(青岛专版)

2023 年市北区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:120 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 8 小题,共 24 分) 1. 两个完全相同的长方体小木块,如图放置于桌面上,其左视图是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 　 B 　 　 　 　 　 　 C 　 　 　 　 　 　 D 　 　 　 2. 已知线段 x,y,且 x y = 3 4 ,则下列说法中不正确的是 (　 　 ) A. 4x= 3y B. y= 4 3 x C. x= 3 cm,y= 4 cm D. x= 3k,y= 4k(k>0) 3. 若点 A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y= - 6 x 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是 (　 　 ) A. y1 >y2 >y3 B. y2 >y3 >y1 C. y1 >y3 >y2 D. y3 >y2 >y1 4. 如图,在△ACB 中,∠C= 90°,sin B= 1 2 。 若 AC= 6,则 BC 的长为 (　 　 ) A. 8 B. 12 C. 6 3 D. 12 3 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 5. 某班级计划举办手抄报展览,确定了“5G 时代” “神舟十四号” “高铁速度”三个主题,若小明和小 亮每人随机选择其中一个主题,则他们恰好选择同一个主题的概率是 (　 　 ) A. 1 9 B. 1 6 C. 1 3 D. 2 3 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,大意是有一个水池,纵截面是一个边长 为 10 尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面 1 尺。 如果把这根芦苇径直拉向 岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,如图。 设芦苇长为 x 尺,那么可以列出方程为 (　 　 ) A. x2 +52 = (x+1) 2 B. x2 +102 = (x+1) 2 C. (x-1) 2 +102 = x2 D. (x-1) 2 +52 = x2 7. 如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为 O,抛物线 y = a(x-2) 2 +1(a>0)的顶点为 A,过点 A 作 y 轴的平行线交抛物线 y= - 1 4 x2 -2 于点 B,连接 AO,BO,则△AOB 的面积为 (　 　 ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 反比例函数 y= b x (b≠0)的图象如图所示,则一次函数 y = cx-a( c≠0)和二次函数 y = ax2 +bx+c (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　 　 ) A B C D 二、填空题(本大题共 8 小题,共 24 分) 9. 当重复试验次数足够多时,可用频率来估计概率。 历史上数学家皮尔逊( Pearson)曾在试验中掷 均匀的硬币 24 000 次,正面朝上的次数是 12 012,频率约为 0. 5,则随机掷一枚均匀的硬币,正面 朝上的概率是　 　 　 　 。 10. 计算 cos 60°-tan 45°的结果为　 　 　 　 。 11. 抛物线 y=ax2 +bx+c 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如表所示: x … -2 -1 0 1 … y … 0 4 6 6 … 据此我们可以推知一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根是　 　 　 　 　 　 。 12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠B = 30°,D 是 AB 的中点,P 是 CD 的中点,AP = 3 ,则线段 BC 的长为　 　 　 　 。 第 12 题图 　 　 　 　 　 　 第 14 题图 13. 若 k≠1,则关于 x 的一元二次方程 x2 -(k+3)x+2(k+1)= 0 的根的情况是　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 14. 如图,A 是反比例函数 y= k x (x>0)图象上的一点,AB 垂直于 x 轴,垂足为 B,△OAB 的面积为 6。 若点 P(a,7)也在此函数的图象上,则 a 的值为　 　 　 　 。 15. 如图是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都 是 1 m,拱桥的跨度为 10 m,桥洞与水面的最大距离是 5 m。 若把拱桥的截面图放在如图所示的 平面直角坐标系中,则抛物线的表达式为　 　 　 　 　 　 　 　 。 第 15 题图 　 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 5,AD = 10,E 是边 AD 上的动点,过点 E 作 EF⊥AC,分别交对角线 AC,直线 BC 于点 O,F,在点 E 移动过程中,AF+FE+EC 的最小值为　 　 　 　 。 三、作图题(本大题共 1 小题,共 4 分) 17. (4 分)已知:如图,线段 a,A 是直线 m 外一点。 求作:矩形 ABCD,使边 BC 在直线 m 上,AC = a。 用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹。 四、解答题(本大题共 7 小题,共 68 分) 18. (10 分)(1)解方程:x2 -4x-5 = 0; (2)用配方法把二次函数 y= -2x2 +4x-6 化为 y=a(x-h) 2 +k 的形式,并写出该函数图象的对称轴 和顶点坐标。 —51— 19. (6 分)甲、乙两栋楼的位置如图所示,甲楼 AB 高 16 米,当地中午 12 时,物高与影长的比是 1 ∶ 2 。 (1)如图 1,当地中午 12 时,甲楼的影子刚好不落到乙楼上,则两楼间距 BD 的长为　 　 　 　 米; (2)当地下午 14 时,物高与影长的比是 1 ∶ 2,如图 2,甲楼的影子有一部分落在乙楼上,求落在乙 楼上的影子 DE 的长。 图 1 　 　 图 2 20. (8 分)2022 年北京冬奥会的召开惊艳世界,冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评。 运动 员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧,共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜 果台、面包和甜品台等 12 种餐台。 一送餐机器人从世界餐台 A 处向正南方向走 200 米到达亚洲 餐台 B 处,再从 B 处向正东方向走 500 米到达中餐餐台 C 处,然后从 C 处向北偏西 37°走到就餐 区 D 处,最后从 D 处回到 A 处,已知就餐区 D 在 A 的北偏东 73°方向,求中餐餐台 C 到就餐区 D (即 CD)的距离。 (结果保留整数)(参考数值:sin 73°≈19 20 ,cos 73°≈ 29 100 ,tan 73°≈10 3 ,sin 37°≈ 3 5 ,cos 37°≈ 4 5 ,tan 37°≈ 3 4 ) 21. (10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,过点 C 作直线 MN∥AB,D 为 AB 边上一点,过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 F,交直线 MN 于 E,连接 CD,BE。 (1)求证:CE=AD; (2)当 D 为 AB 的中点时,四边形 BECD 是什么特殊四边形? 说明你的理由; (3)在满足(2)的条件下,当△ABC 满足条件　 　 　 　 时,四边形 BECD 是正方形。 (填空即可, 不必说明理由) 22. (12 分)消毒洗手液与百姓生活息息相关,某药店的消毒洗手液很畅销,已知该消毒洗手液的进 价为每瓶 20 元,经市场调查,每天洗手液的销售量 y(瓶)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关 系,部分数据记录如下表: 销售单价 x /元 … 22 24 26 27 … 销售量 y /瓶 … 90 80 70 65 … (1)直接写出 y 与 x 之间的函数表达式;(不需要写自变量 x 的取值范围) (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利 375 元,又想尽量给顾客实惠,问:这批消毒 洗手液每瓶的售价为多少元? (3)该药店上级主管部门规定,消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的 30% ,设这种消毒洗手 液每天的总利润为 w(元),那么售价定为多少元时,该药店可获得的利润最大? 最大利润是多 少元? 23. (12 分)如图,在▱ABCD 中,AC=BC = 10,AB = 12,动点 P 从点 B 出发,沿线段 BA 以每秒 2 个单 位长度的速度向点 A 运动,过点 P 作 HP⊥BA 交 BC 于点 H;同时动点 Q 从点 A 出发,沿射线 AC 以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动。 设运动的时间为 t(0<t<5)秒。 (1)点 C 到边 AB 的距离为　 　 　 　 ;PH 的长度为　 　 　 　 (用含 t 的代数式表示); (2)是否存在某一时刻 t,使 S△PCQ ∶ S△DCQ = 1 ∶ 6? 若存在,求出 t 的值,若不存在,请说明理由; (3)是否存在某一时刻 t,使点 P,Q,D 共线? 若存在,求出 t 的值,若不存在,请说明理由。 24. (10 分)如图 1,在△ABC 中,∠B= 36°,动点 P 从点 A 出发,沿折线 A→B→C 匀速运动至点 C 停 止。 若点 P 的运动速度为 1 cm / s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数 图象如图 2 所示。 (1)当 AP 恰好平分∠BAC 时,求 t 的值; (2)在(1)的条件下,求证:BP2 =BC·PC。 图 1 　 图 2 —61— ∵ ∠RTQ= ∠TQP= ∠P= 90°, ∴ 四边形 RTQP 是矩形。 ∴ TR=PQ= 21 cm。 ∵ SR=QR,RT=MQ, ∴ ∠SRT= ∠QRT= 30°。 在 Rt△RST 中,cos∠SRT=TR SR 。 ∴ cos 30° = 21 SR ,即 3 2 = 21 SR 。 解得 SR= 14 3 。 ∴ 最大的等边三角形的边长是 14 3 cm。 24.解:( 1) ∵ 抛物线 y = - x2 + 2x + 3,令 x = 0,得 y= 3。 ∴ 点 E(0,3)。 令 y= 0,得 0 = -x2 +2x+3, 解得 x= 3 或-1。 ∵ 点 A 在点 B 右侧,∴ xA >xB。 ∴ 点 A(3,0),B(-1,0)。 (2)∵ 抛物线 y= -x2 +2x+3 = -(x-1) 2 +4, ∴ 顶点 C 的坐标为(1,4)。 (3)如图,过点 C作 CH⊥ x 轴于点 H,过点 F 作 FG⊥x 轴于点 G。 设点 F(m,-m2+2m+3)。 ∵ 点 A(3,0),C(1,4), ∴ CH= 4,AH = 3-1 = 2, FG = m2 - 2m - 3, AG = 3-m。 ∵ CH ⊥ x 轴, FG ⊥ x 轴,∠CAF= 90°, ∴ ∠AHC = ∠FGA = 90°, ∠CAH + ∠FAG = ∠CAH+∠ACH= 90°。 ∴ ∠ACH= ∠FAG。 ∴ △ACH∽△FAG。 ∴ AH FG =CH AG 。 ∴ AG FG =CH AH = 4 2 = 2。 ∴ AG= 2FG。 ∴ 3-m= 2(m2 -2m-3)。 解得 m= - 3 2 或 3(不符合题意,舍去)。 此时-m2 +2m+ 3 = - ( - 32 ) 2 + 2× ( - 32 ) + 3 = - 9 4 。 ∴ 点 F 的坐标为 ( - 32 ,- 9 4 ) 。 2023 年市北区九年级第一学期期末真题卷 1. B　 2. C　 3. C　 4. C　 5. C　 6. D　 7. B　 8. D 9. 1 2 　 10. - 1 2 　 11. x1 = -2,x2 = 3　 12. 2 3 13. 有两个不相等的实数根　 14. 12 7 15. y= - 4 25 (x-5) 2 +5　 16. 25 2 +5 5 2 17.解:如图,矩形 ABCD 即为所求作。 18.解:(1)∵ a= 1,b= -4,c= -5, ∴ b2 -4ac= (-4) 2 -4×1×(-5)= 36>0。 ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 4± 36 2 。 ∴ x1 = 5,x2 = -1。 (2)y= -2x2 +4x-6 = -2(x2 -2x) -6 = -2(x2 -2x+ 1)+2-6 = -2(x-1) 2 -4。 ∴ 该函数图象的对称轴是直线 x = 1,顶点坐标为 (1,-4)。 19.解:(1)由题意,得AB BD = 1 2 ,即 16 BD = 1 2 。 解得 BD= 16 2米。 故答案为 16 2 。 (2)如图,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F。 在 Rt△AEF 中,∠AFE = 90°, EF=BD= 16 2米。 ∵ 下午 14 时物高与影长的比 是 1 ∶ 2, ∴ AF EF = 1 2 , 则 AF = 1 2 EF = 8 2米。 ∴ DE=BF=AB-AF= (16-8 2 )米。 ∴ 落在乙楼上的影子 DE 的长为(16-8 2 )米。 20.解:如图,过点 D 作 ME⊥AB 于点 M,过点 C 作 CE⊥ME 于点 E,设 CD 为 x 米。 由题意,得 AB= 200 米,BC= 500 米。 在 Rt△CED 中,∠ECD= 37°,CD= x 米, —32— cos∠ECD=CE CD ,sin∠ECD=DE CD , ∴ CE=CD·cos 37°≈ 4 5 x 米,DE =CD·sin 37° ≈ 3 5 x 米。 ∴ MD=BC-DE= ( 500- 35 x )米。 在 Rt△AMD 中,∠MAD= 73°,tan∠MAD=MD AM , ∴ AM= MD tan 73° ≈ 500- 3 5 x 10 3 = ( 150- 950x )米。 ∵ AB+AM=BM=CE,∴ 200+150- 9 50 x= 4 5 x。 解得 x= 2 500 7 ≈357。 ∴ 中餐餐台 C 到就餐区 D 的距离约为 357 米。 21. (1)证明:∵ DE⊥BC, ∴ ∠DFB= 90°。 ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACB= ∠DFB。 ∴ AC∥DE。 ∵ MN∥AB,即 CE∥AD, ∴ 四边形 ADEC 是平行四边形。 ∴ CE=AD。 (2)解:四边形 BECD 是菱形。 理由如下: ∵ D 为 AB 的中点,∴ AD=BD。 ∵ CE=AD, ∴ BD=CE。 ∵ BD∥CE, ∴ 四边形 BECD 是平行四边形。 ∵ ∠ACB= 90°,D 为 AB 的中点, ∴ CD= 1 2 AB=BD。 ∴ 四边形 BECD 是菱形。 (3)解:当△ABC 满足条件 AC = BC 时,四边形 BECD 是正方形。 ∵ ∠ACB= 90°,AC=BC,D 为 AB 的中点, ∴ CD⊥AB。 ∴ ∠CDB= 90°。 ∴ 四边形 BECD 是正方形。 故答案为 AC=BC。 22.解:(1)设 y 与 x 之间的函数表达式为 y = kx+b (k≠0)。 将 x= 22,y= 90;x= 24,y= 80 分别代入 y= kx+b, 得 22k+b= 90, 24k+b= 80。{ 解得 k= -5, b= 200。{ 所以 y 与 x 之间的函数表达式为 y= -5x+200。 (2)由(1),知若每瓶售价为 x 元,每天销售量 为 y 瓶。 由题意,得(x-20)y= 375。 ∵ y= -5x+200,∴ (x-20)(-5x+200)= 375。 整理,得 x2 -60x+875 = 0。 解得 x1 = 25,x2 = 35。 ∵ 需要尽量给顾客实惠, ∴ x= 25。 ∴ 这批消毒洗手液每瓶的售价为 25 元。 (3)由题意,得 w= (x-20)(-5x+200) = -5x2 +300x-4 000 = -5(x-30) 2 +500。 ∵ 消 毒 洗 手 液 每 瓶 利 润 不 允 许 高 于 进 价 的 30% , ∴ x-20≤20×30% ,解得 x≤26。 ∵ -5<0,∴ 抛物线开口向下。 ∴ 当 x<30 时,w 的值随 x 值的增大而增大。 ∴ 当 x= 26 时,总利润 w 最大, 此时 w= -5×(-4) 2 +500 = 420(元)。 ∴ 当售价定为 26 元时,该药店可获得的利润最 大,最大利润是 420 元。 23.解:(1)如图 1,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E。 由题意,得 BP= 2t。 ∵ AC=BC,∴ BE=AE= 1 2 AB= 6。 ∴ CE= BC2 -BE2 = 8。 ∴ 点 C 到边 AB 的距离为 8。 ∵ HP⊥BA, ∴ ∠HPB= ∠CEB= 90°。 ∵ ∠HBP= ∠CBE, ∴ △HPB∽ △CEB。 ∴ PH EC = BP EB 。 ∴ PH 8 = 2t 6 。 ∴ PH= 8 3 t。 故答案为 8, 8 3 t。 图 1 图 2 (2)不存在 t 的值,使 S△PCQ ∶ S△DCQ = 1 ∶ 6,理由 如下: 如图 2,过点 P 作 PG⊥AC 于点 G,过点 Q 作 QF⊥CD 于点 F。 由题意,得∠AGP = ∠CFQ = 90°,BP = AQ = 2t, AP= 12-2t,CQ= 10-2t。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD= 12。 ∴ ∠PAG= ∠FCQ。 ∴ △APG∽△CQF。 ∴ PG QF = AP CQ = 12-2t 10-2t 。 —42— ∴ S△PCQ S△CDQ = 1 2 CQ·PG 1 2 CD·QF = (10-2t) 12 ·12 -2t 10-2t = 1 6 。 解得 t= 5。 当 t= 5 时,10-2t= 0, ∴ t= 5 为原分式方程的增根。 ∴ 不存在 t 的值,使 S△PCQ ∶ S△DCQ = 1 ∶ 6。 (3)存在某一时刻 t,使点 P,Q,D 共线。 如图 3 所示, 图 3 ∵ AB∥CD,∴ △APQ∽△CDQ。 ∴ AP CD = AQ CQ 。 ∴ 12 -2t 12 = 2t 10-2t 。 化简,得 t2 -17t+30 = 0。 解得 t1 = 15,t2 = 2。 ∵ 0<t<5,∴ t= 2。 ∴ 当 t= 2 时,点 P,Q,D 共线。 24. (1)解:如图,当 AP 平分∠BAC 时,连接 AP。 由题图 2,得 AB=BC= 4 cm。 ∵ ∠B= 36°,AB=BC,∴ ∠BAC= ∠C= 72°。 ∵ AP 平分∠BAC,∴ ∠BAP= ∠PAC= ∠B= 36°。 ∴ AP=BP,∠APC= 72° = ∠C。 ∴ AP=AC=BP。 ∵ ∠PAC= ∠B,∠C= ∠C,∴ △APC∽△BAC。 ∴ AP BA = PC AC 。 ∴ AP·AC = AB·PC。 ∵ AP = AC, ∴ AP2 =AB·PC= 4(4-AP)。 ∴ AP= 2 5 -2 =BP。 (负值已舍去) ∴ t= (AB+BP)÷1 = (4+2 5 -2)÷1 = 2 5 +2。 (2)证明:由(1),知 AP2 =AB·PC, ∵ AP=BP,AB=BC,∴ BP2 =BC·PC。 2025 年青岛市九年级第一学期考前示范卷(一) 1. B　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B　 6. D　 7. D　 8. D　 9. D　 10. D 11. 9　 12. -6　 13. (2,4) 　 14. 28π m2 　 15. 4 3 　 16. 16 13 17.解:(1)如图,菱形 ADEF 即为所求作。 (2)设菱形 ADEF 的边长为 x,则 AF=EF= x,CF = 5-x。 ∵ 四边形 ADEF 为菱形, ∴ EF∥AD。 ∴ △CFE∽△CAB。 ∴ CF CA =EF BA ,即5 -x 5 = x 7 。 解得 x= 35 12 。 ∴ 菱形 ADEF 的边长为35 12 。 ∴ 菱形的周长为 4×35 12 = 35 3 。 故答案为 35 3 。 18.解:(1)tan 60°-sin245°+tan 45°-2cos 30° = 3 - ( 22 ) 2 +1-2× 3 2 = 3 - 1 2 +1- 3 = 1 2 。 (2)∵ a= 2,b= 5,c= 1, ∴ b2 -4ac= 25-4×2×1 = 17>0。 ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = -5± 17 4 。 ∴ x1 = -5+ 17 4 ,x2 = -5- 17 4 。 19.解:(1)如图 1,连接 BD。 图 1 ∵ AB=BC=CD=AD= 20 cm, ∴ 四边形 ABCD 为菱形。 ∴ ∠BAD= 2∠DAC= 60°。 又∵ AB=AD, ∴ △ABD 为等边三角形。 —52—