2024年山东省青岛市市南区九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(青岛专版)

数学 2024 年市南区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:120 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本题满分 30 分,共有 10 道小题,每小题 3 分) 1. 如图所示是一个钢块零件,它的左视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 若关于 x 的一元二次方程 kx2 -8x+2 = 0 有实数根,则 k 的值是 (　 　 ) A. k>8 B. k≤8 C. k<8 且 k≠0 D. k≤8 且 k≠0 3. 顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是 (　 　 ) A. 正方形　 　 　 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 4. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0,a,b,c 为常数)的 y 与 x 的部分对应值如表。 判断方程 ax2 +bx+ c= 0. 05 的一个解 x 的取值范围是 (　 　 ) A. 1<x<1. 23 B. 1. 23<x<1. 24 C. 1. 24<x<1. 25 D. 1. 25<x<1. 26 x 1. 23 1. 24 1. 25 1. 26 y -0. 06 -0. 08 -0. 03 0. 09 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 8 题图 5. 如图,在坡度 i= 1 ∶ 3 的斜坡上栽两棵树,它们之间的株距(相邻两棵树间的水平距离)为 9 m,则 这两棵树之间的坡面距离为 (　 　 ) A. 2 10 m B. 9 m C. 3 10 m D. 10 m 6. 将抛物线 y= -2x2 -1 进行平移,得到抛物线 y= -2(x+1) 2 -3,以下平移过程正确的是 (　 　 ) A. 先向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度 B. 先向右平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度 C. 先向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度 D. 先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度 7. 点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2)在反比例函数 y= 1 x 的图象上,若 x1 <x2 <0,则下列不等式正确的是 (　 　 ) A. y1 <y2 <0 B. 0<y1 <y2 C. 0<y2 <y1 D. y2 <y1 <0 8. 如图,电灯 P 在桌面 AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为 CD,AB∥CD,AB = 1. 5 m,CD = 6 m,桌面 AB 与 CD 的距离是 3 m,则点 P 到 AB 的距离是 (　 　 ) A. 2 3 m B. 1 m C. 3 2 m D. 3 m 9. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用 4 个全等的直角三角形拼成一个正方形(如 图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”。 若“弦图”中小正方形的面积与每个直角三 角形的面积均为 4,∠α 为直角三角形中的一个锐角,则∠α 的正弦值为 (　 　 ) A. 2 B. 2 5 5 C. 1 2 D. 1 5 5 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象,其对称轴为直线 x = -2,且过点(0,1)。 有以下四个结论: ①abc<0;②a-b+c>1;③12a+c<0;④4a-2b>m2a+mb(m 是任意实数)。 其中正确结论的个数为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本题满分 18 分,共有 6 道小题,每小题 3 分) 11. 若 a 2 = b 3 ,则 a a+b 的值为 。 12. 近期,哈尔滨冰雪大世界受到广大游客的喜爱,游玩人数剧增。 元旦三天假期哈尔滨接待的游客 数量如下,第一天游客数量 a 万人,第二天的游客数量比第一天增长 200% ,第三天在第二天的基 础上回落 25% ,则第二天和第三天这两天的平均增长率为 。 13. 如图,在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长,A 时测其影长为 8 米,B 时测其影长为 18 米。 若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 米。 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 16 题图 14. 如图,已知反比例函数 y= 5 x 和 y= k x (k>5)是在第一象限的图象,直线 AB∥x 轴,直线 AB 与两个 反比例函数图象分别交于点 A,B。 若 S△AOB = 3,则 k 的值为 。 15. 某无人机飞行的竖直高度 h(m)与飞行时间 t(s)的函数关系满足 h= -0. 2t2 +8t,该无人机达到的 最大高度是 。 16. 如图,在矩形 ABCD 中,AD = 3,AB = 4,E 是 AB 的中点,F 是 EC 上一动点,P 为 DF 的中点,连接 PB,则线段 PB 的最小值为 。 三、作图题(本题满分 4 分) 17. (4 分)如图,在四边形木板 ABCD 中,∠A= ∠D = 90°,CD>AB,请你在这块木板上作一个正方形, 并写出作图过程。 要求:①正方形的一个顶点和木板的某个顶点重合;②面积最大。 四、解答题(本大题满分 68 分,共 9 小题) 18. (6 分)计算: (1)2cos 60°-3tan 30°;　 　 　 　 (2)2x2 -5x+1 = 0。 19. (6 分)在庆祝龙年的元旦联欢会上,九年级(1)班进行抽奖活动,活动规则如下:将 4 张正面标有 龙、蛇、马、羊的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后,反面朝上放在桌子上,参与者每次随机从中抽 取两张纸牌,若抽到“龙”和“马”,即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语,参与者可获得奖品。 (1)王小虎随机抽出一张纸牌,抽到“龙”牌的概率是 ; (2)丽丽决定参加游戏,请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率。 20. (6 分)为保证安全,王阿姨要在家门口安装一款摄像头,该设备能监测到一定范围的户外情况, 如图,BF 为水平地面,摄像头安装在门 AB 上的点 A 处,设置被监测人或物的高度 DF = CE = 1. 7 m,CD 为监测范围。 为了达到良好的监测效果,要求监测范围不低于 3 m,已知∠CAG= 43°, ∠DAG= 72°,请计算摄像头的最低安装高度 AB 是多少? (结果精确到 0. 1 m,参考数据:sin 43°≈ 0. 68,cos 43°≈0. 73,tan 43°≈0. 93,sin 72°≈0. 95,cos 72°≈0. 31,tan 72°≈3. 08) —1— 21. (6 分)在第 19 届杭州亚运会上,中国女篮在最后时刻,由王思雨完成绝杀,以 74 比 72 的比分险 胜日本队,成功卫冕亚运会冠军。 如图,在球场上,一名身高 1. 95 米的运动员,垂直起跳高度为 0. 35 米,篮球在头顶上方 0. 25 米的点 A 处出手,然后准确落入篮框中心点 C。 篮球(看成点)的 运动路径为抛物线的一部分,已知篮框中心到地面的距离为 3. 05 米,当球飞行到离地面最大高 度为 3. 45 米的点 B 时,球与篮框中心的水平距离为 2 米。 (1)篮球出手处距离地面的高度是 米; (2)请在图中建立适当的平面直角坐标系,求出篮球出手处到篮框中心的水平距离。 22. (8 分)如图,已知一次函数 y1 =mx+n 的图象与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,与反比例函数 y2 = k x 的 图象分别交于点 C,D,点 C 的坐标为( -4,1),A 是线段 BC 的中点。 (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)求△COD 的面积; (3)直接写出当 y1≥y2 时,自变量 x 的取值范围。 23. (8 分)如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=BC,BO 平分∠ABC,过点 A 作 AD∥BC 交 BO 的延长线于 点 D,连接 CD,过点 D 作 DE⊥BD 交 BC 的延长线于点 E。 (1)判断四边形 ABCD 的形状,并说明理由; (2)若 AB= 3,∠ABE= 120°,求 DE 的长。 24. (8 分)第 31 届世界大学生夏季运动会于 2023 年 7 月 28 日至 8 月 8 日在成都举行,大熊猫是成 都最具特色的对外传播标识物,此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫 “芝麻”为原型创作的。 某商店销售“蓉宝”毛绒玩具,进价为 25 元。 经市场调查发现,销售这种 毛绒玩具,每天销售量 y(件)是每件售价 x(元) (30≤x≤45 且 x 为正整数)的一次函数,其部分 对应数据如表所示: 每件售价 x /元 … 36 37 38 … 每天销售量 y /件 … 78 76 74 … (1)直接写出 y 与 x 之间的函数表达式; (2)求出每天销售的总利润 w(元)与 x 之间的函数表达式; (3)请你分析,该商店销售这种毛绒玩具,能否实现投入总成本最少且获利最大? 25. (10 分)数学中的图形变换既有趣又蕴含着方法,某学习小组的同学们在练习中发现了很有趣的 一类题目: 探究活动一:在正方形 ABCD 中,两条对角线交于点 O。 (1)如图 1,若 E 是 AD 边上一点,将 OE 绕点 O 逆时针旋转 90°,得到 OF,点 F 恰好落在 AB 边 上。 此时,线段 AE,AF 和 AD 之间的数量关系是 ; (2)如图 2,若 E 是 BA 延长线上一点,将 OE 绕点 O 逆时针旋转 90°,得到 OF,点 F 恰好落在 CB 延长线上,此时,线段 AE,AF 和 AD 之间是否仍满足(1)中的数量关系? 如不满足,请写出它们的 数量关系,并说明理由; 探究活动二:在矩形 ABCD 中,两条对角线交于点 O,E 是 BA 延长线上一点,将 OE 绕点 O 逆时针 旋转得到 OF,当∠EOF= ∠AOD 时,点 F 恰好落在 DA 的延长线上。 (3)如图 3,若∠AOD= 60°,求AE AF 的值; (4)如图 4,若∠AOD=α,则AE AF 的值是 (用含 α 的式子表示)。 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 26. (10 分)如图 1,在△ABC 中,AB=AC= 15,BC= 24,点 P 以每秒 1 个单位长度的速度,从点 A 出发 沿 AB 方向向终点 B 运动,同时,点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度,从点 B 出发沿 BC 方向向终点 C 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动。 设运动时间为 t s,请解答下列 问题: (1)当 t 为何值时,PQ∥AC? (2)在点 P,Q 的运动过程中,是否存在某一时刻 t,使得△PCQ 的面积为 6? 若存在,请求出 t 的 值;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,E 是 AC 的中点,S△ABC = 2S△ABE,连接 BE,与 PQ 交于点 O,是否存在某一时刻 t,使得 PQ⊥BE? 若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 —2— 参考答案 (部分答案不唯一) 2024 年市南区九年级第一学期期末真题卷 1. B　 2. D　 3. D　 4. D　 5. C　 6. A　 7. D　 8. B　 9. B　 10. B 11. 2 5 　 12. 50% 　 13. 12 　 14. 11 　 15. 80 m 　 16. 12 13 13 17.解:作∠ADC 的平分线交 BC 于点 G,分别过点 G 作 GE⊥AD 于点 E,GF⊥CD 于点 F,则四边形 DEGF 即为所求作。 18.解:(1)原式= 2× 1 2 -3× 3 3 = 1- 3 。 (2)这里 a= 2,b= -5,c= 1。 ∵ b2 -4ac= (-5) 2 -4×2×1 = 17>0, ∴ x= 5± 17 2×2 = 5± 17 4 。 ∴ x1 = 5+ 17 4 ,x2 = 5- 17 4 。 19.解:(1) 由题意,得王小虎随机抽出一张纸牌, 抽到“龙”牌的概率是 1 4 。 故答案为 1 4 。 (2)列表如下: 第一张 纸牌第　 　 　 　 二张　 　 纸牌　 　 龙 蛇 马 羊 龙 (蛇,龙) (马,龙) (羊,龙) 蛇 (龙,蛇) (马,蛇) (羊,蛇) 马 (龙,马) (蛇,马) (羊,马) 羊 (龙,羊) (蛇,羊) (马,羊) 共有 12 种等可能的结果,其中丽丽抽到“龙”和 “马”的结果有 2 种, 所以丽丽获得奖品的概率为 2 12 = 1 6 。 20.解:由题意,得四边形 BGDF 与四边形 BGCE 是 矩形。 ∴ BG=CE= 1. 7 m。 ∵ 监测范围不低于 3 m,∴ CD≥3 m。 ∵ △AGC 和△AGD 是直角三角形, 在 Rt△AGC 中,∵ tan∠CAG=CG AG , ∴ CG= tan∠CAG·AG= tan 43°AG≈0. 93AG。 在 Rt△AGD 中,∵ tan∠DAG=DG AG , ∴ DG= tan∠DAG·AG= tan 72°AG≈3. 08AG。 ∵ CD = DG -CG≈ 3. 08AG - 0. 93AG = 2. 15AG, CD≥3 m, ∴ 2. 15AG≥3 m。 ∴ AG≥1. 4 m。 ∵ AB=AG+BG ≈1. 4+1. 7 = 3. 1(m), ∴ 摄像头的最低安装高度 AB 是 3. 1 m。 21.解:(1)篮球出手处距离地面的高度为 h = 1. 95+ 0. 25+0. 35=2. 55(米)。 故答案为 2. 55。 (2)如图,过点 B 作水平线的垂线,垂足为 O,以 点 O 为坐标原点,直线 OB 为 y 轴,建立如图所 示的平面直角坐标系。 由题意,得该抛物顶点 坐标为点 B(0,3. 45),且过点 C(2,3. 05)。 设抛物线的表达式为 y=ax2+3. 45。 把点 C(2,3. 05)代入抛 物线的表达式, 得 3. 05 = 4a+3. 45。 解得 a= -0. 1。 ∴ 抛物线的表达式为 y= -0. 1x2 +3. 45。 将 y= 2. 55 代入抛物线的表达式, 得 2. 55= -0. 1x2 +3. 45。 解得 x1 = 3,x2 = -3。 ∵ 点 A 在第二象限, ∴ 点 A(-3,2. 55)。 ∴ 篮球出手处到篮框中心的水平距离是 | xA | + xC = 3+2 = 5(米)。 22.解:(1)将点 C 的坐标( - 4,1)代入反比例函数 的表达式 y2 = k x , 得 k -4 = 1。 解得 k= -4。 —1— ∴ 反比例函数的表达式为 y2 = - 4 x 。 ∵ A 是线段 BC 的中点,点 B 的横坐标为 0,点 A 的纵坐标为 0,点 C 的坐标为(-4,1), ∴ 点 B 的坐标为(0,-1),点 A的坐标为(-2,0)。 将 B(0,-1),C( -4,1)两点代入一次函数表达 式 y1 =mx+n, 得 n= -1, -4m+n= 1。{ 解得 m= - 1 2 , n= -1。 { ∴ 一次函数表达式为 y1 = - 1 2 x-1。 (2)∵ 点 B 的坐标为(0,-1), ∴ OB= 1。 联立一次函数表达式与反比例函数表达式,得 y= - 1 2 x-1, y= - 4 x 。 ì î í ï ï ï ï 解得 x= 2, y= -2,{ 或 x= -4, y= 1。{ ∵ 点 D 在第四象限内, ∴ 点 D 的坐标为(2,-2)。 又∵ 点 C(-4,1), ∴ S△COD = 1 2 OB(xD-xC)= 1 2 ×1×(2+4)= 3。 (3)观察图象,当 y1 ≥y2 时,自变量 x 的取值范 围是 x≤-4 或 0<x≤2。 23.解:(1)四边形 ABCD 是菱形。 理由如下: ∵ AB=BC,BO 平分∠ABC, ∴ AO=CO。 ∵ AD∥BE, ∴ ∠DAO= ∠BCO,∠ADO= ∠CBO。 ∴ △ADO≌△CBO(AAS)。 ∴ DO=BO。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ AB=BC, ∴ 四边形 ABCD 是菱形。 (2)∵ BO 平分∠ABC,∠ABE= 120°, ∴ ∠DBC= 1 2 ∠ABE= 60°。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ BC=CD=AB= 3。 ∴ △BCD 是等边三角形。 ∴ BD=BC= 3。 在 Rt△BDE 中, ∵ BD⊥DE,∴ ∠BDE= 90°。 ∴ ∠E= 90°-∠DBE= 90°-60° = 30°。 ∴ BE= 2BD= 6。 ∴ DE= BE2 -BD2 = 62 -32 = 3 3 。 ∴ DE 的长为 3 3 。 24.解:(1)设 y 与 x 之间的函数表达式为 y = kx+b (k≠0)。 把(36,78) 和( 37,76) 两组数据代入 y = kx+ b (k≠0),得 36k +b= 78, 37k+b= 76。{ 解得 k= -2, b= 150。{ 所以 y 与 x 之间的函数表达式为 y= -2x+150。 (2)根据题意,得 w= (x-25)(-2x+150), 即每天销售的总利润 w(元)与 x 之间的函数表 达式为 w= -2x2 +200x-3 750。 (3)由(2)知,w= -2x2 +200x-3 750 = -2(x-50)2 + 1 250。 ∵ a= -2<0, ∴ 总利润 w 有最大值。 ∵ x 的取值范围为 30≤x≤45, ∴ 当 x= 45 时,获利最大,最大利润为 -2×(45-50) 2 +1 250 = 1 200(元)。 ∴ 能实现投入总成本最少且获利最大。 25.解:(1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形,两条对角线 交于点 O, ∴ AC⊥BD,OD=OB= 1 2 BD,OA=OC= 1 2 AC,BD =AC。 ∴ ∠DOA= 90°,OD=OA。 由旋转,得 OE=OF,∠EOF= 90°。 ∴ ∠DOE= ∠AOF= 90°-∠AOE。 在△DOE 和△AOF 中, OD=OA, ∠DOE= ∠AOF, OE=OF, { ∴ △DOE≌△AOF(SAS)。 ∴ DE=AF。 ∴ AE+AF=AE+DE=AD。 故答案为 AE+AF=AD。 (2)不满足,此时线段 AE,AF 与 AD 之间的数量 关系为 AE2 +AD2 =AF2 。 理由如下: 由旋转,得 OE=OF,∠EOF= 90°。 ∵ OA=OB,∠AOB= 90°, ∴ ∠AOE= ∠BOF= 90°-∠AOF。 在△AOE 和△BOF 中, OA=OB, ∠AOE= ∠BOF, OE=OF, { ∴ △AOE≌△BOF(SAS)。 ∴ AE=BF。 ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ AB=AD,∠ABC= 90°。 ∴ ∠ABF= 90°。 ∴ 在 Rt△ABF 中,BF2 +AB2 =AF2 。 —2— ∵ BF=AE,AB=AD, ∴ AE2 +AD2 =AF2 。 (3)如图 1,连接 DE,设 OE 交 AD 于点 L。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,两条对角线交于点 O, ∴ ∠BAD= 90°,OD=OB= 1 2 BD, OA=OC= 1 2 AC,BD=AC。 　 　 　 　 图 1 ∴ ∠DAE= 90°,OD=OA。 由旋转, 得 OE = OF, ∠EOF= ∠AOD= 60°。 ∴ OD OA =OE OF =1,∠DOE= ∠AOF=60°-∠AOE。 ∴ △DOE∽△AOF。 ∴ DE AF =OE OF = 1。 ∴ DE=AF,∠OED= ∠OFA。 ∵ ∠OLD= ∠ADE+∠OED, ∠OLD= ∠OFA+∠EOF, ∴ ∠ADE = ∠OLD - ∠OED = ∠OLD - ∠OFA = ∠EOF= 60°。 ∴ AE AF = AE DE = sin∠ADE= sin 60° = 3 2 。 ∴ AE AF 的值为 3 2 。 (4)如图 2,连接 DE,设 OE 交 AD 于点 K。 　 　 　 　 图 2 由旋转,得 OE=OF, ∠EOF= ∠AOD=α。 由( 3),知∠DAE = 90°, OD=OA, ∴ OD OA =OE OF = 1, ∠DOE = ∠AOF = ∠AOD- ∠AOE。 ∴ △DOE∽△AOF。 ∴ DE AF =OE OF = 1。 ∴ DE=AF,∠OED= ∠OFA。 ∵ ∠OKD= ∠ADE+∠OED, ∠OKD= ∠OFA+∠EOF, ∴ ∠ADE = ∠OKD - ∠OED = ∠OKD - ∠OFA = ∠EOF=α。 ∴ AE AF = AE DE = sin∠ADE= sin α。 故答案为 sin α。 26.解:(1)由题意,得 AP= t,BQ= 2t。 ∴ BP= 15-t,CQ= 24-2t。 ∵ 点 P 以每秒 1 个单位长度的速度由点 A 出发 沿 AB 方向向点 B 移动,∴ 当点 P 由点 A 移动 到点 B 时,所用时间为 tA = 15÷1 = 15(s)。 ∵ 点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 移动,∴ 当点 Q 由点 B 移动到 点 C 时,所用时间为 tB = 24÷2 = 12(s)。 ∵ 当点 P 或点 Q 任意一点到达终点时,另一点 停止移动, ∴ 运动时间 t 的取值范围为 0<t≤12。 ∵ PQ∥AC, ∴ BP AB =BQ BC ,即15 -t 15 = 2t 24 。 解得 t= 20 3 。 ∴ 当 t= 20 3 时,PQ∥AC。 (2)存在某一时刻 t,使得△PCQ 的面积为 6。 理由如下: 如图 1,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H。 图 1 ∴ AF∥PH。 ∴ △BPH∽△BAF。 ∴ PH AF =BP BA 。 ∵ AB=AC,AF⊥BC,BC= 24, ∴ BF=CF= 1 2 BC= 12。 在 Rt△ABF 中,AB= 15,BF= 12, ∴ AF= AB2 -BF2 = 152 -122 = 9。 ∴ PH 9 = 15-t 15 。 ∴ PH= 9- 3 5 t。 ∵ S△PCQ = 6, ∴ 1 2 CQ·PH= 6,即 1 2 (24-2t) ( 9- 35 t ) = 6。 解得 t1 = 10,t2 = 17。 ∵ 0<t≤12, —3— ∴ t= 10。 ∴ 当 t= 10 时,△PCQ 的面积为 6。 (3)存在某一时刻 t,使得 PQ⊥BE。 如图 2,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,作 AM⊥BE, 交 BE 于点 K,交 BC 于点 M,过点 E 作 EN⊥BC 于点 N。 图 2 ∴ EN∥AF。 由(2),知 AF= 9,BF=CF= 12, ∵ E 是 AC 的中点,AC= 15, ∴ AE=EC= 1 2 AC= 15 2 ,EN 是△ACF 的中位线。 ∴ EN= 1 2 AF= 9 2 ,CN= 1 2 CF= 6。 ∴ BN=BC-CN= 24-6 = 18。 在 Rt△BEN 中,BN= 18,EN= 9 2 , ∴ BE= BN2 +EN2 = 182 + ( 92 ) 2 = 9 17 2 。 ∵ S△ABC = 2S△ABE, ∴ 1 2 AF·BC= 2× 1 2 BE·AK。 ∴ AK= 1 2 AF·BC BE = 1 2 ×9×24 9 17 2 = 24 17 17 。 在 Rt△ABK 中,AB = 15,AK = 24 17 17 , ∴ BK = AB2 -AK2 = 152 - ( 24 1717 ) 2 = 57 17 17 。 ∵ ∠BKM= ∠BNE= 90°,∠MBK= ∠EBN, ∴ △BMK∽△BEN。 ∴ MK EN =BM BE =BK BN ,即MK 9 2 = BM 9 17 2 = 57 17 17 18 。 ∴ MK= 57 17 68 ,BM= 57 4 。 ∴ AM=AK+MK= 24 17 17 +57 17 68 = 9 17 4 。 ∵ PQ⊥BE,AM⊥BE, ∴ PQ∥AM。 ∴ BP AB = BQ BM ,即15 -t 15 = 2t 57 4 。 解得 t= 285 59 。 ∴ 当 t= 285 59 时,PQ⊥BE。 2024 年市北区九年级第一学期期末真题卷 1. C　 2. B　 3. A　 4. D　 5. C　 6. B 7. k<3　 8. 4 5 　 9. 21　 10. -2　 11. 75° 12. 4×3x(20-4x)= 192 13. 3　 14. ①②④⑤ 15.解:如图,菱形 ABCD 即为所求作。 　 　 16.解:(1)这里 a= 1,b= -5,c= 1。 ∵ b2 -4ac= (-5) 2 -4×1×1 = 21>0, ∴ x= 5± 21 2×1 。 ∴ x1 = 5+ 21 2 ,x2 = 5- 21 2 。 (2)原方程可变形为 2(x+3) 2 -x(x+3)= 0。 (x+3)(2x+6-x)= 0。 x+3 = 0,或 2x+6-x= 0。 ∴ x1 = -3,x2 = -6。 17.解:(1)列表如下: 　 　 　 A 盘 B 盘　 　 　 1 2 3 4 5 5 10 15 20 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24 由表可知,该游戏共有 12 种等可能的结果。 (2)这个游戏对双方公平,理由如下: 由(1),知共有 12 种等可能的结果,乘积是 4 的倍 数的结果有 4 种,乘积是 6 的倍数的结果有 4 种, ∴ 小红赢得游戏的概率为 4 12 = 1 3 ,小明赢得游 戏概率为 4 12 = 1 3 。 —4—