2024年山东省青岛市市北区九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(青岛专版)

∴ t= 10。 ∴ 当 t= 10 时,△PCQ 的面积为 6。 (3)存在某一时刻 t,使得 PQ⊥BE。 如图 2,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,作 AM⊥BE, 交 BE 于点 K,交 BC 于点 M,过点 E 作 EN⊥BC 于点 N。 图 2 ∴ EN∥AF。 由(2),知 AF= 9,BF=CF= 12, ∵ E 是 AC 的中点,AC= 15, ∴ AE=EC= 1 2 AC= 15 2 ,EN 是△ACF 的中位线。 ∴ EN= 1 2 AF= 9 2 ,CN= 1 2 CF= 6。 ∴ BN=BC-CN= 24-6 = 18。 在 Rt△BEN 中,BN= 18,EN= 9 2 , ∴ BE= BN2 +EN2 = 182 + ( 92 ) 2 = 9 17 2 。 ∵ S△ABC = 2S△ABE, ∴ 1 2 AF·BC= 2× 1 2 BE·AK。 ∴ AK= 1 2 AF·BC BE = 1 2 ×9×24 9 17 2 = 24 17 17 。 在 Rt△ABK 中,AB = 15,AK = 24 17 17 , ∴ BK = AB2 -AK2 = 152 - ( 24 1717 ) 2 = 57 17 17 。 ∵ ∠BKM= ∠BNE= 90°,∠MBK= ∠EBN, ∴ △BMK∽△BEN。 ∴ MK EN =BM BE =BK BN ,即MK 9 2 = BM 9 17 2 = 57 17 17 18 。 ∴ MK= 57 17 68 ,BM= 57 4 。 ∴ AM=AK+MK= 24 17 17 +57 17 68 = 9 17 4 。 ∵ PQ⊥BE,AM⊥BE, ∴ PQ∥AM。 ∴ BP AB = BQ BM ,即15 -t 15 = 2t 57 4 。 解得 t= 285 59 。 ∴ 当 t= 285 59 时,PQ⊥BE。 2024 年市北区九年级第一学期期末真题卷 1. C　 2. B　 3. A　 4. D　 5. C　 6. B 7. k<3　 8. 4 5 　 9. 21　 10. -2　 11. 75° 12. 4×3x(20-4x)= 192 13. 3　 14. ①②④⑤ 15.解:如图,菱形 ABCD 即为所求作。 　 　 16.解:(1)这里 a= 1,b= -5,c= 1。 ∵ b2 -4ac= (-5) 2 -4×1×1 = 21>0, ∴ x= 5± 21 2×1 。 ∴ x1 = 5+ 21 2 ,x2 = 5- 21 2 。 (2)原方程可变形为 2(x+3) 2 -x(x+3)= 0。 (x+3)(2x+6-x)= 0。 x+3 = 0,或 2x+6-x= 0。 ∴ x1 = -3,x2 = -6。 17.解:(1)列表如下: 　 　 　 A 盘 B 盘　 　 　 1 2 3 4 5 5 10 15 20 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24 由表可知,该游戏共有 12 种等可能的结果。 (2)这个游戏对双方公平,理由如下: 由(1),知共有 12 种等可能的结果,乘积是 4 的倍 数的结果有 4 种,乘积是 6 的倍数的结果有 4 种, ∴ 小红赢得游戏的概率为 4 12 = 1 3 ,小明赢得游 戏概率为 4 12 = 1 3 。 —4— ∵ P(小红胜) = P(小明胜) , ∴ 这个游戏对双方公平。 18.解:【画图操作】对三根旗杆的字母标注如下。 光源的位置 S 及第三根旗杆 EF 在该光源下的 影长如图所示。 【数学思考】 等高的物体垂直地面时,在灯光 下,离点光源越近,物体的影子越短,离点光源 越远,物体的影子越长,所以小明的影长 y 随他 与点 A 之间的距离 x 的变化是先越来越短再越 来越长。 故答案为 D。 【解决问题】 如图,连接 CD。 由题意,得 CD∥ EF∥AB。 ∴ △CDF∽△ABF,△EFG∽△ABG。 ∴ CD AB =DF BF ,EF AB =GF GB 。 又∵ CD=EF, ∴ DF BF =GF BG 。 ∵ DF=3 m,GF=4 m,BF=BD+DF=(BD+3)m, BG=BD+DF+GF= (BD+7)m, ∴ 3 BD+3 = 4 BD+7 。 ∴ BD= 9 m,BF= 9+3 = 12(m)。 ∴ 1. 6 AB = 3 12 。 ∴ AB= 6. 4 m。 ∴ 灯杆 AB 的高度为 6. 4 m。 19.解:(1)将点 B(a,-1)代入一次函数 y= x+3 中, 得 a= -4。 ∴ 点 B 的坐标为(-4,-1)。 将点 B(-4,-1)代入反比例函数 y = k x (k≠0) 中,得 k= 4。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 4 x 。 (2)设点 P 的坐标为 ( m, 4m ) (m> 0),则点 C 的坐标为(m,m+3)。 ∴ PC= 4 m -(m+3) ,点 O 到直线 PC 的距离 为 m。 ∴ S△POC = 1 2 m× 4 m -(m+3) = 3。 ∴ m· 4 m -m-3 = 6。 ∴ | 4-m2 -3m | = 6。 ∴ -m2 -3m+4 = 6 或-m2 -3m+4 = -6。 解得 m= -1 或-2 或-5 或 2。 ∵ 一次函数 y= x+3 的图象与反比例函数 y = k x (k≠0)的图象交于点 A, ∴ y= x+3, y= 4 x 。{ ∴ x= 1,y= 4,{ 或 x= -4,y= -1。{ ∵ 点 A 位于第一象限内, ∴ 点 A(1,4)。 ∵ 点 P 不与点 A 重合, ∴ m≠1。 又∵ m>0, ∴ m= 2。 ∴ 点 P 的坐标为(2,2)。 20.解:(1)如图 1,过点 B 作 BE⊥AD 于点 E。 图 1 ∵ AB= 200 cm,∠BAD= 72°, ∴ 在 Rt△ABE 中,sin∠BAE=BE AB ,即 sin 72° =BE AB 。 ∴ BE=AB·sin 72° = 200×sin 72°≈200×0. 951 = 190. 2(cm)。 ∴ 遮阳棚前端B 到墙面AD 的距离约为 190. 2 cm。 (2)如图 2,过点 B 作 BE⊥AD 于点 E,过点 C 作 CH⊥AD 于点 H,延长 BC 交 DG 于点 K,则 BK⊥ DG。 图 2 由题意,得四边形 BEHC,四边形 HDKC 是矩形。 —5— 由(1),得 BE= 190. 2 cm。 ∴ DK=HC=BE= 190. 2 cm。 在 Rt△ABE 中,cos∠BAE=AE AB ,即 cos 72° = AE 200 。 ∴ AE= cos 72°×200≈0. 309×200 = 61. 8(cm)。 由题意,得 EH=BC= 25 cm。 ∴ DH=AD-AE-EH=296. 8-61. 8-25=210(cm)。 ∴ CK=DH= 210 cm。 在 Rt△CFK 中,tan∠CFK=CK FK ,即 tan 60° = 210 FK 。 ∴ FK= 210 tan 60° = 210 3 ≈121. 25(cm)。 ∴ DF=DK-FK= 190. 2-121. 25≈69(cm)。 ∴ 遮阳棚在地面上的遮挡宽度 DF 的长约为 69 cm。 21.解:(1)已知①AC 平分∠DAF,②AF∥DC,③E 是 AC 的中点; 求证:④DF⊥AC; 证明:∵ AC 平分∠DAF, ∴ ∠FAC= ∠DAC。 ∵ AF∥DC, ∴ ∠FAC= ∠ACD。 ∴ ∠ACD= ∠DAC。 ∴ DC=DA。 ∵ E 是 AC 的中点, ∴ DE⊥AC,即 DF⊥AC。 故答案为①②③,④。 (2)四边形 ADCF 是正方形。 证明:∵ AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴ CD=DB,AD⊥BC。 ∵ E 是 AC 的中点,∴ CE=EA。 ∴ DE= 1 2 AB,DE∥AB。 ∵ AF∥DC, ∴ 四边形 ABDF 为平行四边形。 ∴ AF=BD。 ∵ CD=DB, ∴ AF=CD。 ∴ 四边形 ADCF 为平行四边形。 ∵ DF⊥AC,∴ 四边形 ADCF 为菱形。 ∵ AD⊥BC, ∴ 四边形 ADCF 为正方形。 22.解:(1)由题意,得抛物线 y1 的对称轴是直线 x= 5 +45 2 = 25。 又∵ 抛物线 y1 的顶点 C 的纵坐标为 40, ∴ 点 C(25,40)。 ∴ 设抛物线 y1 的函数表达式为 y1 =a(x-25) 2 +40(a≠0)。 又∵ 抛物线 y1 过点 D(5,0), ∴ 400a+40 = 0。 ∴ a= - 1 10 。 ∴ 抛物线 y1 的函数表达式为 y1 = - 1 10 (x-25) 2 +40。 ∵ 点 C(25,40),BC= 20,BC∥x 轴, ∴ 点 B(5,40)。 ∴ 抛物线 y2 的对称轴是直线 x= 5+25 2 = 15。 ∴ 设抛物线 y2 的函数表达式为 y2 =b(x-15) 2+k(b≠0)。 又∵ 抛物线 y2 过点 A(0,2. 5),C(25,40), ∴ 225b +k= 2. 5, 100b+k= 40。{ ∴ b= - 3 10 ,k= 70。 ∴ 抛物线 y2 的函数表达式为 y2 = - 3 10 (x-15) 2 +70。 (2)当 5≤x≤25 时,取 x=m。 ∴ y2-y1 =- 3 10 (m-15)2+70- [ - 110(m-25) 2+40 ] = - 1 5 m2 +4m+25 = - 1 5 (m-10) 2 +45。 又∵ 5≤m≤25, ∴ 当 m= 10 时,y2 -y1 的值最大,最大值为 45。 ∴ 当 5≤x≤25 时,抛物线 y1 与 y2 的最大间距 为 45。 23.解:(1)∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB= 6,BC= 8, ∴ ∠BCD=∠BAD=90°,AD=BC=8,CD=AB=6。 ∴ BD= AB2 +AD2 = 62 +82 = 10。 ∵ 沿直线 DP 翻折,点 C 与点 M 重合, ∴ CP=PM,∠DCP= ∠DMP= 90°。 由题意,得 CP= t。 ∴ PM= t,PB= 8-t。 ∵ ∠PMB= ∠DCB= 90°,∠PBM= ∠DBC, ∴ △BMP∽△BCD。 ∴ PM DC =PB DB 。 ∴ t 6 = 8-t 10 。 —6— ∴ t= 3。 故答案为 3。 (2)由(1)知,△BMP∽△BCD。 ∴ PM DC =BM BC =PB DB 。 由题意,得 PC=BQ= t。 ∴ PB= 8-t。 ∵ AB=CD= 6,AD=BC= 8,BD= 10, ∴ PM 6 =BM 8 = 8-t 10 。 ∴ PM= 3 5 (8-t),BM= 4 5 (8-t)。 ∵ 四边形 PMNQ 为平行四边形, ∴ NQ=PM= 3 5 (8-t),PM∥NQ。 ∵ PM⊥BD, ∴ NQ⊥BD。 当点 N 在 AB 上时, ∵ ∠NQB= ∠DAB= 90°,∠NBQ= ∠DBA, ∴ △NQB∽△DAB。 ∴ NQ DA =BQ BA 。 ∴ 3 5 (8-t) 8 = t 6 。 ∴ t= 72 29 。 (3)由(2),知 PM= 3 5 (8-t),BM= 4 5 (8-t)。 由题意,得 PC=BQ= t。 ∴ MQ=BM-BQ= 4 5 (8-t)-t= 32 5 - 9 5 t。 ∵ 四边形 PMNQ 为平行四边形, ∴ S▱PMNQ = 2S△PMQ。 ∴ S= 2× 1 2 PM·MQ = 3 5 (8- t) · ( 325 - 9 5 t ) = 27 25 t2 -312 25 t+768 25 。 ∵ S>0, ∴ 3 5 (8-t)>0,32 5 - 9 5 t>0。 ∴ t<8 且 t<32 9 。 ∴ t<32 9 。 ∵ 点 P 从点 C 出发,沿 CB 向点 B 匀速运动,速 度为每秒 1 个单位长度, ∴ 0<t<8。 ∴ 0<t<32 9 。 ∴ S 与 t 之间的函数表达式为 S = 27 25 t2 - 312 25 t+ 765 25 ,t 的取值范围为 0<t<32 9 。 2024 年黄岛区九年级第一学期期末真题卷 (与李沧区,胶州市,平度市联考) 1. D　 2. A　 3. B　 4. C　 5. B　 6. B　 7. A　 8. D　 9. D　 10. B 11. 504　 12. (4,-8)　 13. 3　 14. 2 10 15. x= -1　 16. 3 ∶ 2 17.解:如图,矩形 ABCD 即为所求作。 18.解:(1)将常数项移到方程的右边,得 x2-10x=7。 两边都加 25,得 x2 -10x+25 = 7+25, 即(x-5) 2 = 32。 ∴ x-5 = ±4 2 。 ∴ x1 = 5+4 2 ,x2 = 5-4 2 。 (2)∵ 关于 x 的一元二次方程(m-2)x2 -3x+2 = 0 有实数根, ∴ b2 -4ac≥0, 即(-3) 2 -4(m-2)×2 = 9-8m+16 = -8m+25≥0。 ∴ m≤25 8 。 ∵ 此方程是一元二次方程, ∴ m-2≠0,即 m≠2。 ∴ m 的取值范围是 m≤25 8 且 m≠2。 19.解:画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中两次抽出的卡片 上的图案都是“宸宸”的结果有 1 种, 所以两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸” 的 概率为 1 9 。 20.解:如图,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,过点 D 作 —7— 2024 年市北区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:120 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列等式是一元二次方程的是 (　 　 ) A. y-3 = 2x　 B. ax2 +bx+c= 0 C. (x-1) 2 = 3 D. 4 x3 +3 = 1 2. 下列属于等可能随机事件的是 (　 　 ) A. 任意掷一枚图钉钉尖朝上 B. 任意掷一枚均匀的硬币字面朝上　 C. 用两条线段组成一个三角形 D. 明天会下雪 3. 一个如图所示的几何体,它的左视图如图所示,则其俯视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 6 题图 4. 如图,河坝横断面迎水坡 AB 的坡比为 1 ∶ 2,坝高 BC 为 3 m,则坡面 AB 的长度是 (　 　 ) A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 3 5 m 5. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H。 若 HA=HB= 1,则菱形 ABCD 的面积是 (　 　 ) A. 3 2 B. 1 C. 2 3 D. 4 6. 二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示,它的对称轴为直线 x= - 1 2 。 下列结论中正确的有 (　 　 ) ①abc>0;②b2 -4ac<0;③4a-2b+c<0;④2b+c<0; ⑤若(x1,y1)和(x2,y2)是这条抛物线上的两点,则当 x1 + 1 2 > x2 + 1 2 时,y1 <y2。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(本题满分 24 分,共 8 道小题,每小题 3 分) 7. 若反比例函数 y= k -3 x 的图象位于第二、四象限,则 k 的取值范围是 。 8. 已知 a 7 = b 5 = c 3 ,则a +2b-3c a+c 的值是 。 9. 一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的 9 枚白球和若干黑球,进行有放回的随机摸取,每次 摸取一球并记录结果。 如图是某小组做“用频率估计概率”的摸球试验时,绘制的白球出现的频 率分布折线图,由此可估计袋子中有 枚黑球。 第 9 题图 　 　 第 12 题图 　 　 第 14 题图 10. 若 x= -1 是关于 x 的一元二次方程(k-1)x2 +x+k2 = 0 的一个解,则常数 k 的值为 。 11. 在△ABC 中,∠A 和∠B 均为锐角,且(tan A-1) 2 + | 2sin B- 3 | = 0,则∠C 的度数为 。 12. 如图,某景区准备在一块边长为 20 米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所。 如图所 示,要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边。 若小道的长是宽的 3 倍,且花草种植 区域(阴影部分)的面积为 192 平方米。 设小道宽度为 x 米,根据题意,列出关于 x 的一元二次方 程是 。 13. 当 x= 2m+n+2 和 x=m+2n 时,多项式 x2 +4x+6 的值相等,且 m-n+2≠0,则当 x = 3(m+n+1)时, 多项式 x2 +4x+6 的值为 。 14. 如图,四边形 ABCD 是边长为 4 cm 的正方形,点 E 在边 CD 上,DE= 1 cm,过点 E 作 EF∥BC,分别 交 AC,AB 于点 G,F,M,N 分别是 AG,BE 的中点,则下列 5 个结论中:①点 F,N,C 共线;②MN = 5 2 cm;③AC⊥BE;④△MNC 的面积为 7 8 ;⑤∠MEB = 45°。 正确的结论是 (填写所有正 确结论的序号)。 三、作图题(本题满分 6 分) 15. (6 分)求作一个菱形 ABCD,使如图所示的∠A 是菱形 ABCD 的一个内角,且对角线 AC = a。 (请 用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法) 　 　 　 四、解答题(本题共 8 道小题,满分 72 分) 16. (9 分)解方程: (1)x2 -5x+1 = 0;　 　 　 　 (2)2(x+3) 2 = x(x+3)。 17. (9 分)学校联欢会上有一个“转盘”游戏,用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏。 游戏规则如下:A 盘被分成面积相等的 4 个扇形,B 盘中小的扇形区域所占的圆心角是 120°。 分 别任意旋转两个转盘,将 A 盘转出的数字与 B 盘转出的数字相乘,若乘积是 4 的倍数,则小红赢 得游戏;若乘积是 6 的倍数,则小明赢得游戏。 (1)请利用画树状图或列表的方法,表示出游戏中所有可能出现的结果; (2)这个游戏对双方公平吗? 请说明你的理由。 A 盘 　 　 B 盘 18. (9 分)通常,路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的,在点光源的照射下,物体 所产生的影子称为中心投影。 【画图操作】如图 1,三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上,第一根、第二根旗杆在同一灯 光下的影长如图所示。 请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该光源下的影长(不写画法); 【数学思考】如图 2,夜晚,小明从点 A 经过路灯 C 的正下方沿直线走到点 B,他的影长 y 随他与 点 A 之间的距离 x 的变化而变化,那么表示 y 与 x 之间函数关系的图象大致为 ; A. 　 　 B. 　 　 C. 　 　 D. 【解决问题】如图 3,河对岸有一灯杆 AB,在灯光下,小明在点 D 处测得自己的影长 DF = 3 m,接 着他沿 BD 方向前进到达点 F 处测得自己的影长 GF= 4 m。 已知小明的身高为 1. 6 m,求灯杆 AB 的高度。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 —3— 19. (9 分)如图,一次函数 y= x+3 的图象与反比例函数 y= k x (k≠0)的图象交于点 A 与点 B(a,-1)。 (1)求反比例函数的表达式; (2)若 P 是第一象限内双曲线上的点(不与点 A 重合),连接 OP,且过点 P 作 y 轴的平行线,与直 线 AB 相交于点 C,连接 OC,若△POC 的面积为 3,求点 P 的坐标。 20. (9 分)某临街店铺在窗户上方安装如图 1 所示的遮阳棚,其侧面如图 2 所示,遮阳棚展开长度 AB= 200 cm,遮阳棚前端自然下垂的长度 BC = 25 cm,遮阳棚固定点 A 距离地面高度 AD = 296. 8 cm,遮阳棚与墙面的夹角∠BAD= 72°。 (1)求遮阳棚前端 B 到墙面 AD 的距离; (2)如图 3,某一时刻,太阳光线与地面夹角∠CFG = 60°,求遮阳棚在地面上的遮挡宽度 DF 的 长。 (结果精确到 1 cm) (参考数据:sin 72° ≈0. 951,cos 72° ≈0. 309, tan 72° ≈3. 078, 3 ≈ 1. 732) 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 21. (9 分)如图,在△ABC 中,D,E 分别是 BC,AC 边上的点,F 为 DE 延长线上的点,连接 AF,CF。 (1)①AC 平分∠DAF;②AF∥DC;③E 是 AC 的中点;④DF⊥AC。 请从以上四项中,选择三项作为已知条件,剩余的一项作为结论,形成一个真命题。 把相应序号填写到已知、求证的横线上,并完成证明; 已知: ;求证: ; (2)在(1)的情形中,当 AB=AC,且 AD 平分∠BAC 时,四边形 ADCF 是什么特殊四边形? 请证明 你的结论。 22. (9 分)某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示,给出如下信息:在学校的巨幅宣传墙上,勤 于动脑的小丽发现两条熟悉的抛物线,她依据环境,建立如图所示的平面直角坐标系,利用手边 的工具,她不仅与同学合作进行力所能及的测量,还看到抛物线 y2 上的两点 B,C 组成的线段恰 好与学校的一处露台等高,于是通过采访总务处老师获得重要数据,他们发现:抛物线 y1 的顶点 C 的纵坐标为 40,y1 与 x 轴相交于点 D(5,0),E(45,0)。 抛物线 y2 刚好过 y1 的顶点 C,且与 y 轴 相交于点 A(0,2. 5),平行于 x 轴的线段 BC 长为 20。 根据以上信息,请你解决如下问题。 (1)求两条抛物线 y1 与 y2 的函数表达式; (2)当 5≤x≤25 时,求抛物线 y1 与 y2 的最大间距。 23. (9 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6,BC= 8,点 P 从点 C 出发,沿 CB 向点 B 匀速运动,速度为每 秒 1 个单位长度,过点 P 作 PM⊥BD,交对角线 BD 于点 M。 点 Q 从点 B 出发,沿对角线 BD 向点 D 匀速运动,速度为每秒 1 个单位长度。 P,Q 两点同时出发,以 PM,PQ 为邻边作平行四边形 PMNQ。 设点 P,Q 的运动时间为 t(0<t<8)秒。 (1)当 t= 秒时,沿直线 DP 翻折,点 C 与点 M 重合; (2)当点 N 在 AB 上时,求 t 的值; (3)设平行四边形 PMNQ 的面积为 S(cm2),求 S 与 t 之间的函数表达式,并求出相应的 t 的取值 范围。 　 　 　 　 (备用图) —4—