2024年山东省青岛市崂山区九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(青岛专版)

如图,过点 E 作 EH⊥OC 于点 H。 ∵ O 为 AC 的中点,AC= 10 cm, ∴ OC= 1 2 AC= 5 cm。 ∵ EC=EO,EH⊥OC, ∴ OH=CH= 1 2 OC= 5 2 cm。 ∵ ∠ECH= ∠ACB,∠EHC= ∠B= 90°, ∴ △CEH∽△CAB。 ∴ CH CB =CE CA 。 ∵ CE=BC-BE= 8- 4 3 (6-t), ∴ 5 2 8 = 8- 4 3 (6-t) 10 。 解得 t= 75 32 。 ②当 EC=CO 时, ∵ O 为 AC 的中点,AC= 10 cm, ∴ OC= 1 2 AC= 5 cm。 ∴ EC= 5 cm。 ∵ EC=BC-BE, ∴ 8- 4 3 (6-t)= 5。 ∴ t= 15 4 。 ③当 OE=CO 时, ∴ OE= 5。 此时,点 E 与点 B 重合,不符合题意,舍去。 综上所述,当△CEO 为等腰三角形时,t 的值为 15 4 或 75 32 。 2024 年崂山区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. A　 3. A　 4. C　 5. B　 6. A　 7. D　 8. B　 9. C　 10. B 11. 1　 12. 3. 7　 13. 3 4 　 14. 16 5 　 15. 8π 3 - 4 3 　 16. ①③④ 17.解:如图,等腰直角三角形 PEF 即为所求作。 18.解:(1)原式= (2x-3)(x-1)= 0。 所以 2x-3 = 0 或 x-1 = 0。 解得 x1 = 3 2 ,x2 = 1。 (2)原式= x(x -1) (1-x)(1+x) ÷x+1-1 x+1 = - x(x-1) (x+1)(x-1) ·x +1 x = -1。 19.解:画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果,其中小育和小源参加 同一项活动的结果有 4 种, 所以他们参加同一项活动的概率为 4 16 = 1 4 。 20.解:如图,过点 A 作 AF⊥BC,垂足为 F,过点 E 作 EG⊥AF,垂足为 G。 由题意,得 EB=GF= 1. 6 m,BF=EG, ∠DAC= 63°,AD∥BC。 ∴ ∠DAC= ∠ACF= 63°。 在 Rt△AEG 中,AE= 50 m,∠AEG= 53°, cos∠AEG=EG AE ,sin∠AEG=AG AE , ∴ EG=AE·cos 53°≈50×0. 6=30(m), AG=AE·sin 53°≈50×0. 8 = 40(m)。 ∴ AF=AG+GF= 40+1. 6 = 41. 6(m)。 ∵ 在 Rt△ACF 中,∠ACF= 63°,tan∠ACF= AF CF , ∴ CF= AF tan 63° ≈41. 6 1. 96 ≈21. 2(m)。 ∴ BC=BF+CF=EG+CF= 30+21. 2≈51(m)。 ∴ BC 之间的距离约为 51 m。 21.解:如图,以点 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x —01— 轴,OA 所在直线为 y 轴,建立如图所示的平面 直角坐标系。 由题意知,点 A(0,2),点 B(2,3. 6), ∵ 抛物线的最高点为 B, ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2 +3. 6。 把点 A(0,2)代入,得 4a+3. 6 = 2。 解得 a= -0. 4。 ∴ 抛物线的表达式为 y= -0. 4(x-2) 2 +3. 6。 当 y= 1. 8 时,-0. 4(x-2) 2 +3. 6 = 1. 8。 解得 x= 2±3 2 2 。 ∵ 点 D 在第一象限,∴ xD = 2+ 3 2 2 。 ∴ 点 D 的坐标为 ( 2+3 22 ,1. 8 ) 。 ∴ OE = xD - DN - CE ≈ 2 + 3×1. 41 2 - 0. 3 - 0. 6 ≈3. 2(米)。 ∴ 步行通道的宽 OE 约为 3. 2 米。 22.解:(1)①如图,连接 EF。 ∵ AE= 1 4 AB,AF= 1 4 AC, ∴ AE AB =AF AC = 1 4 。 又∵ ∠EAF= ∠BAC, ∴ △AEF∽△ABC。 ∴ ∠AEF= ∠ABC,EF BC = 1 4 。 ∴ EF∥BC。 ∴ △EDF∽△CDB。 ∴ EF CB =DE DC = 1 4 。 ∴ ED EC = 1 5 。 故答案为 1 5 。 ②由①,知△EDF∽△CDB。 ∴ DF DB =EF CB = 1 4 。 ∵ S△CDF = 3, S△CDF S△BDC =DF DB = 1 4 ,∴ S△BDC = 12。 ∴ S△BCF =S△CDF+S△BDC = 3+12 = 15。 ∵ AF AC = 1 4 ,∴ CF AC = 3 4 。 ∴ S△BCF S△ABC =CF AC = 3 4 , ∴ S△ABC = 15 3 ×4 = 20。 故答案为 20。 (2)∵ AE= 1 n AB,AF= 1 n AC, ∴ AE AB =AF AC = 1 n 。 ∴ CF AC =n-1 n 。 又∵ ∠EAF= ∠BAC, ∴ △AEF∽△ABC。 ∴ ∠AEF= ∠ABC,EF BC = 1 n 。 ∴ EF∥BC。 ∴ △EDF∽△CDB。 ∴ EF CB =DE DC =DF DB = 1 n 。 ∴ DB=nDF。 ∴ S△CDF S△BCF =DF BF = DF DF+DB = DF (n+1)DF = 1 n+1 。 ∴ S△BCF = (n+1)S△CDF。 ∵ S△BCF S△ABC =CF AC =n-1 n , ∴ S△ABC = n n-1 S△BCF。 ∴ S△ABC = n(n+1) n-1 S△CDF。 ∴ S△CDF = n-1 n2 +n S△ABC。 故答案为 n-1 n2 +n 。 23.解:(1)∵ 点 B(4,-3)在反比例函数 y = k x 的图 象上, ∴ -3 = k 4 。 解得 k= -12。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= -12 x 。 ∵ 点 A( -m,3m) 在反比例函数 y = - 12 x 的图 象上, —11— ∴ 3m= - 12-m 。 解得 m1 = 2,m2 = -2(不符合题意,舍去)。 ∴ 点 A 的坐标为(-2,6)。 ∵ 点 A,B 在一次函数 y=ax+b(a<0)的图象上, ∴ 把点 A ( - 2, 6 ), B ( 4, - 3 ) 分别代入, 得 -2a+b= 6, 4a+b= -3。{ 解得 a= - 3 2 , b= 3。 { ∴ 一次函数的表达式为 y= - 3 2 x+3。 (2)如图,P 为第一象限内任意一点,连接 OP, 交 AB 于点 M,连接 AP,BP。 ∵ 四边形 AOBP 是平行四边形, ∴ AM=BM,OM=PM。 ∵ 点 A(-2,6),B(4,-3), ∴ 点 M ( 1, 32 ) 。 ∵ 点 O(0,0)。 ∴ 0+xp 2 = 1, 0+yP 2 = 3 2 。 ∴ xP = 2,yP = 3。 ∴ 点 P 的坐标为(2,3)。 24.解:(1)证明:∵ 四边形 ABCD 为菱形, ∴ CD∥AB。 ∴ ∠DNE= ∠AME。 ∵ E 为 AD 的中点, ∴ DE=AE。 在△NED 和△MEA 中, ∠DNE= ∠AME, ∠DEN= ∠AEN, DE=AE。 { ∴ △NED≌△MEA(AAS)。 (2) 当 M 为 AB 的中点时, 四边形 AMDN 是 矩形。 证明:由(1),知△NED≌△MEA。 ∴ NE=ME。 又∵ DE=AE, ∴ 四边形 AMDN 是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=AB。 ∵ M 为 AB 的中点,E 为 AD 的中点, ∴ AM= 1 2 AB,AE= 1 2 AD。 ∴ AM=AE。 又∵ ∠DAB= 60°, ∴ △MEA 为等边三角形。 ∴ AE=ME。 又∵ NE=ME, ∴ AD=MN。 ∴ 平行四边形 AMDN 为矩形。 25.解:(1)设这个水果超市 A 种水果每千克的售 价应上涨 x 元。 根据题意,得(20+x-16) ( 120-10× x2 ) = 900。 解得 x1 = 14,x2 = 6。 ∴ 这个水果超市 A 种水果每千克的售价应上涨 14 元或 6 元。 (2)设每千克的售价定为 y 元,每天的利润为 w 元。 w= (y-16) [ 120-102 (y-20) ] = -5y2 +300y-3 520 = -5(y-30) 2 +980。 ∵ y -16 16 ×100% ≤75% ,∴ y≤28。 ∵ -5<0,∴ 当 y<30 时,w 随 y 的增大而增大。 ∴ 当 y= 28 时,w 取最大值。 ∴ w= -5×4+980 = 960。 ∴ 当该种水果每千克的售价定为 28 元,才能使 每天所获利润最大,最大利润是 960 元。 26.解:由题意,得 AR= 2t cm,BP= t cm,CQ= 2t cm。 ∵ AC=BC= 10 cm,CD⊥AB,CD= 8 cm, ∴ AD=BD= AC2 -CD2 = 6 cm。 ∴ AB=AD+BD= 12 cm。 ∴ CR= (10-2t)cm,BQ= (10-2t)cm, AP= (12-t)cm。 ∵ PR∥BC, ∴ AR AC =AP AB 。 ∴ 2t 10 = 12-t 12 。 解得 t= 60 17 。 ∴ 当 t 为60 17 时,PR∥BC。 (2)由题意,得 PB= t cm,AR=CQ= 2t cm。 ∴ BQ=BC-CQ= (10-2t)cm。 当 S△BQP ∶ S四边形CDPQ =1 ∶ 4 时,S△BQP ∶ S△BCD =1 ∶ 5。 如图 1,过点 Q 作 QE⊥BD 于点 E。 —21— 图 1 ∵ CD⊥AB,QE⊥AB, ∴ QE∥CD。 ∴ △QEB∽△CDB。 ∴ QE CD =BQ BC 。 ∴ QE 8 = 10-2t 10 。 ∴ QE= 8- 8 5 t。 ∴ S△BPQ = 1 2 ×QE·BP= 1 2 × ( 8- 85 t ) ·t。 ∵ S△BCD = 1 2 BD·CD= 1 2 ×6×8 = 24(cm2 ), ∴ 1 2 × ( 8- 85 t ) ·t= 1 5 ×24 = 24 5 。 解得 t= 2 或 3。 ∴ 当 t= 2 或 3 时,S△BQP ∶ S四边形CDPQ = 1 ∶ 4。 (3)沿 CQ 折叠△RCQ 得到△MCQ,存在某一时 刻 t,使四边形 RQMC 为菱形。 如图 2,过点 R 作 RF⊥BC 于点 F,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H。 图 2 由题意,得 PB= t cm,AR=CQ= 2t cm。 ∴ RC=AC-AR= (10-2t)cm。 ∵ △MCQ 是由△RCQ 折叠形成的, ∴ △RCQ≌△MCQ。 若四边形 RQMC 为菱形,只需 RC=RQ, ∵ RC=RQ,RF⊥BC, ∴ CF=FQ= 1 2 CQ= t cm。 ∵ S△BAC = 1 2 ×AB·CD= 1 2 ×BC·AH, ∴ 12×8 = 10AH。 ∴ AH= 9. 6 cm。 ∵ AH⊥BC,∴ ∠AHC= 90°。 在 Rt△AHC 中,AH= 9. 6 cm,AC= 10 cm, ∴ CH= AC2 -AH2 = 2. 8 cm。 ∵ RF⊥BC,AH⊥BC, ∴ RF∥AH。 ∴ △CRF∽△CAH。 ∴ CR CA =CF CH 。 ∴ 10 -2t 10 = t 2. 8 。 解得 t= 70 39 。 ∴ 当 t 为70 39 时,四边形 RQMC 为菱形。 2024 年城阳区九年级第一学期期末真题卷 1. C　 2. B　 3. A　 4. C　 5. D　 6. B　 7. D　 8. A　 9. D　 10. C 11. 2 3 -2　 12. 42　 13. 15°　 14. x≥4 或 x<0 15. 2 或-10　 16. 3 17.解:如图,点 N 即为所求作。 18.解:(1)将常数项移到方程的右边,得 x2 +6x= 3。 两边都加 9,得 x2 +6x+9 = 12, 即(x+3) 2 = 12。 ∴ x+3 = ±2 3 。 ∴ x1 = -3+2 3 ,x2 = -3-2 3 。 (2)y= 2x2 +4x+5 = 2(x2 +2x+1)+3 = 2(x+1) 2 +3。 所以该二次函数的对称轴是直线 x= -1,顶点坐 标为(-1,3)。 19.解:画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中小乐抽到的两张 邮票恰好是 “ 立春” 和 “ 大寒” 的结果有 AD, DA,共 2 种。 所以小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大 寒”的概率为 2 12 = 1 6 。 —31— 2024 年崂山区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:120 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 如图所示的几何体是由 4 个完全相同的小正方体组成,它的左视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,四边形 ABCD 是☉O 内接四边形,对角线 BD 经过圆心 O,AC 与 BD 相交于点 E。 下列说法 正确的是 (　 　 ) A. ∠ABD= ∠ACD B. ∠ABC= ∠ADC　 C. ∠BAD≠∠BCD D. ∠AEB= 2∠ACB 3. 某旅游景点 2023 年 8 月份共接待游客 23 万人次,2023 年 10 月份共接待游客 60 万人次,设每月 接待游客的平均增长率为 x,则可列方程为 (　 　 ) A. 23(1+x) 2 = 60 B. 23(1-x) 2 = 60　 C. 60(1+x) 2 = 23 D. 60(1-x) 2 = 23 4. 下列说法正确的是 (　 　 ) A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 5. 已知反比例函数 y=m -1 x 的图象上有两点 A(x1,y1 ),B(x2,y2 ),当 0<x1 <x2 时,有 y1 <y2,则 m 的取 值范围是 (　 　 ) A. m>1 B. m<1 C. m>0 D. m<0 6. 如果关于 x 的一元二次方程 x2 -2x+3k= 0 有两个不相等的实数根,那么实数 k 的取值范围是 (　 　 ) A. k< 1 3 B. k≤ 1 3 C. k≥ 1 3 D. k> 1 3 7. 把抛物线 y= x2 +1 向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得到抛物线为 (　 　 ) A. y= (x+1) 2 -1 B. y= (x+1) 2 +3　 C. y= (x-1) 2 -1 D. y= (x-1) 2 +3 8. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与△ADE 是以点 A 为位似中心的位似图形,位似比为 1 ∶ 3,点 A 在 x 轴上,点 A 的坐标是( -1,0),点 B 的坐标是( -2,2),则点 D 的坐标是 (　 　 ) A. ( -3,4) B. ( -4,6) C. ( -4,5) D. ( -3,5) 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,BC 是☉O 的直径,点 A,D 在☉O 上,直线 PA 与☉O 相切线于点 A。 若∠PAB= 42°,则∠ADC 的度数为 (　 　 ) A. 42° B. 46° C. 48° D. 50° 10. 如图,二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)图象的一部分与 x 轴的一个交点坐标为( -1,0),对称轴为直 线 x= 1,结合图象给出下列结论: ①abc>0;②3a+c= 0;③关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的两根分别为-1 和 3; ④若点( -2,y1),(0,y2),(3,y3)均在二次函数图象上,则 y2 <y1 <y3; ⑤a+b<m(am+b)(m 为任意实数)。 其中正确结论的个数为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 计算:cos245°+tan 30°·sin 60° = 。 12. 如图,小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB,他调整自己的位置,使斜边 DF 与地面保持平行,并且边 DE 与点 B 在同一条直线上。 已知纸板的两条直角边 DE = 40 cm,EF = 20 cm,测得边 DF 离地面的高度 AC= 1. 7 m,CD= 4 m,则树高 AB 为 m。 第 12 题图 　 　 　 　 　 第 13 题图 13. 如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,且 BC = 4,AB = 3,AD 是∠BAC 的平分线,AD 与 BC 相交于点 E, AE=ED,DG⊥BC,垂足为 G,DG 交 AC 于点 F,则 FG 的长为 。 14. 如图,在▱ABCD 中,BC 的垂直平分线 EO 交 AD 于点 E,垂足为 O,连接 BE,CE,过点 C 作 CF∥BE,交 EO 的延长线于点 F,连接 BF。 若 AD= 8,CE= 6,则四边形 BFCE 的面积为 。 第 14 题图 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,点 A,B,C 在☉O 上,若圆的半径为 4,∠BAC= 30°,则图中阴影部分的面积为 。 16. 如图,在正方形 ABCD 中,AB= 4,E 是对角线 BD 上一点,连接 AE,过点 E 作 EF⊥AE,交 BC 于点 F,连接 AF,交 BD 于点 M,将△EFM 沿 EF 翻折,得到△EFN,连接 AN,交 EF 于点 G,若 F 是 BC 边的中点。 以下结论:①AF= 2 5 ;②MF = 4 3 5 ;③AE =EF;④AN = 10 3 2 ,正确的有 (填 结论序号)。 三、作图题(本大题满分 4 分) 17. (4 分)已知:▱ABCD 内有一点 P。 求作:等腰直角三角形 PEF,使它的直角顶点为 P,斜边 EF 落在边 AB 上。 (不写作法,保留作图 痕迹) 四、解答题(本大题共 9 小题,共 68 分) 18. (8 分)计算: (1)解方程:2x2 -5x+3 = 0;　 　 　 (2)化简:x 2 -x 1-x2 ÷ ( 1- 1x+1 )。 19. (6 分)中国共产党的助手和后备军———中国共青团,担负着为中国特色社会主义事业培养合格 建设者和可靠接班人的根本任务。 某中学持续开展了 A:青年大学习;B:青年学党史;C:中国梦 宣传教育;D:社会主义核心价值观培育践行活动,学生可以任选一项参加。 小育和小源参加了 上述活动,请用列表或画树状图的方法,求他们参加同一项活动的概率。 —7— 20. (6 分)随着科学技术的不断进步,无人机被广泛应用到实际生活中。 如图所示,某同学站在广场 的 B 处遥控无人机,他抬头仰视无人机时的仰角为 53°,此时从无人机测得广场 C 处的俯角为 63°,若该同学的眼睛到地面的距离 BE = 1. 6 m,AE = 50 m,(点 A,E,B,C 在同一平面内),求 BC 之间的距离。 (结果精确到 1 m,参考数据:sin 53°≈0. 80,cos 53°≈0. 60,tan 53°≈1. 33,sin 63°≈ 0. 89,cos 63°≈0. 45,tan 63°≈1. 96) 21. (6 分)城建部门计划修建一条喷泉步行通道。 图 1 是项目俯视示意图。 步行通道的一侧是一排 垂直于路面的柱形喷水装置,另一侧是方形水池。 图 2 是主视示意图。 喷水装置 OA 的高度是 2 米,水流从喷头 A 处喷出后呈抛物线路径落入水池内。 当水流在与喷头水平距离为 2 米时达 到最高点 B,此时距路面的最大高度为 3. 6 米。 为避免溅起的水雾影响通道上的行人,计划安装 一个透明的倾斜防水罩。 防水罩的一端固定在喷水装置上的点 M 处,另一端与路面的垂直高度 NC 为 1. 8 米,与喷泉水流的水平距离 ND 为 0. 3 米。 点 C 到水池外壁的水平距离 CE 为 0. 6 米, 求步行通道的宽 OE。 (结果精确到 0. 1 米,参考数据: 2 ≈1. 41) 图 1 　 　 图 2 22. (6 分)如图,在△ABC 中,E,F 分别为边 AB,AC 上的点,BF 与 CE 相交于点 D。 (1)若 AE= 1 4 AB,AF= 1 4 AC, ①ED EC 的值为 ; ②△CDF 的面积为 3,则△ABC 的面积为 ; (2)若 AE= 1 n AB,AF= 1 n AC,S△CDF = S△ABC。 (用含 n 的代数式表示) 23. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y=ax+b(a<0)的图象与反比例函数 y = k x (k<0)的 图象交于 A( -m,3m),B(4,-3)两点,一次函数与 y 轴交于点 C,连接 OA,OB。 (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)若在第一象限内存在一点 P,使得以 P,A,O,B 为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出点 P 的坐标。 24. (8 分)如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD= 60°,E 是 AD 边的中点,M 是 AB 边上一动点(不与点 A 重 合),延长 ME 交射线 CD 的延长线于点 N,连接 MD,AN。 (1)求证:△NED≌△MEA; (2)当点 M 在什么位置时,四边形 AMDN 是矩形? 请证明你的结论。 25. (10 分)某水果超市以 16 元 /千克购进一定数量的 A 种水果,若每千克售价为 20 元,每天可以售 出 120 千克。 经市场调查发现,在进价不变的情况下,每千克 A 种水果的售价每上涨 2 元,日销 售量就减少 10 千克。 (1)若该水果超市希望每天销售 A 种水果盈利 900 元,则这个水果超市 A 种水果每千克的售价 应上涨多少元? (2)按照有关管理部门规定,该种水果的利润率不得高于 75% ,那么 A 种水果每千克的售价定为 多少元,才能使每天所获利润最大? 最大利润是多少? 26. (10 分)如图 1,在△ABC 中,AC=BC= 10 cm,CD⊥AB,CD= 8 cm,动点 P 以 1 cm / s 的速度从点 B 向点 A 运动;同时,动点 Q 从点 C 出发,以 2 cm / s 的速度向点 B 运动,动点 R 从点 A 出发,以 2 cm / s 的速度向点 C 运动,当其中一个点运动停止时,其他点的运动也停止,运动时间为 t( s) (0<t<5)。 连接 RQ,PR,PQ。 (1)当 t 为何值时,PR∥BC? (2)当 S△BQP ∶ S四边形CDPQ = 1 ∶ 4 时,求 t 的值; (3)如图 2,沿 CQ 折叠△RCQ 得到△MCQ,是否存在某一时刻 t,使四边形 RQMC 为菱形? 若存 在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 —8—