2024年山东省青岛市即墨区九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(青岛专版)

图 5 由题意,得 AQ = 2t cm,BP = t cm,BQ = ( 13 - 2t)cm。 ∵ S△BPQ = 1 2 QH·BP= 1 2 PK·BQ, 由(3),知 QH= 156 -24t 13 cm, ∴ 156 -24t 13 ·t=PK·(13-2t)。 ∴ PK= 12 13 t cm。 在 Rt△BPK 中,BK2 +PK2 =BP2 , ∴ BK2 + ( 1213 t ) 2 = t2 。 ∴ BK= 5 13 t cm。 ∴ KQ = AB - AQ - BK = 13 - 2t - 5 13 t = ( 13 - 31 13 t ) cm。 ∵ ∠BQP= 45°, ∴ KQ=PK,即 13-31 13 t= 12 13 t。 解得 t= 169 43 。 ∴ 当∠BQP= 45°时,t 的值为169 43 。 2024 年即墨区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. A　 3. C　 4. C　 5. C　 6. C　 7. A　 8. B　 9. D　 10. C　 11. 2　 12. 24 5 　 13. - 9 4 14. (x-100) 300+5(200-x)[ ] = 32 000　 15. 1 3 16. ②④⑤ 17.解:如图,矩形 ABCD 即为所求作。 18.解:(1)x2 -2x+1 = 1 2 +1。 (x-1) 2 = 3 2 。 x-1 = ± 6 2 。 ∴ x1 = 6 2 +1,x2 = - 6 2 +1。 (2)设平移后的抛物线的表达式为 y = x2 - 4x+ 1+n。 这里 a= 1,b= -4,c= 1+n。 ∵ 平移后的图象与 x 轴有且只有一个交点, ∴ b2 -4ac= 16-4(1+n)= 0。 解得 n= 3。 ∴ n 的值为 3。 19.解:(1)由甲一定参加比赛,再从其余 3 名学生 中任意选取 1 名,共有甲、乙,甲、丙,甲、丁三种 等可能的结果,符合条件的结果有 1 种, 所以甲一定参加比赛,再从其余 3 名学生中任 意选取 1 名,恰好选中丙的概率是 1 3 。 故答案为 1 3 。 (2)列表如下: 甲 乙 丙 丁 甲 (甲、乙) (甲、丙) (甲、丁) 乙 (乙、甲) (乙、丙) (乙、丁) 丙 (丙、甲) (丙、乙) (丙、丁) 丁 (丁、甲) (丁、乙) (丁、丙) 共有 12 种等可能的结果,符合条件的结果有 6 种。 所以任意选取 2 名学生参加比赛,一定有乙的 概率为 6 12 = 1 2 。 20.解:如图,过点 B 分别作 BE⊥AC,BF⊥MN,垂 足分别为 E,F。 由题意, 得 ∠BEA = ∠BFN = ∠BFM = ∠FNE = 90°。 ∴ 四边形 BENF 为矩形。 ∴ BE=FN,BF=NE。 设 MN= x,在 Rt△ABE 中, ∵ 斜坡 AB 的坡度 i= 3 ∶ 4,即BE AE = 3 4 , ∴ sin∠BAE=BE AB = 3 5 。 —71— ∵ AB= 75 米, ∴ BE= 45 米,AE= 60 米。 ∴ FN= 45 米。 ∴ MF= (x-45)米。 在 Rt △AMN 中, ∵ tan ∠MAN = MN AN , ∠MAN = 58°,∴ tan 58° = x AN ≈1. 6。 ∴ AN≈ ( 58 x )米。 ∴ NE=AN+AE= ( 58 x+60 )米。 在 Rt △BMF 中, ∵ tan ∠MBF = MF BF , ∠MBF = 22°,∴ tan 22° = x -45 BF ≈0. 4。 ∴ BF≈ [ 52 (x-45) ]米。 ∴ 5 8 x+60 = 5 2 (x-45)。 解得 x= 92。 ∴ 大楼 MN 的高度为 92 米。 21.解:(1)由题意,得点 C(0,1)。 ∴ OC= 1。 在 Rt△ODC 中,OC= 1,sin∠CDO= 5 5 , ∴ OC CD = 5 5 。 ∴ CD= 5 。 ∵ CD= 5 ,OC= 1, ∴ OD= CD2 -OC2 = 5-1 = 2。 ∴ 点 D(-2,0)。 把点 D(-2,0)代入一次函数表达式 y1 = kx+1, 得-2k+1 = 0。 解得 k= 1 2 。 ∴ 一次函数的表达式为 y1 = 1 2 x+1。 设点 B(x,y)。 ∵ △BOD 的面积为 1, ∴ 1 2 ×2× y = 1。 ∵ 点 B 在第三象限,∴ y<0。 ∴ y= -1。 ∵ 点 B 在一次函数图象上, ∴ -1 = 1 2 x+1。 解得 x= -4。 ∴ 点 B(-4,-1)。 ∵ 点 B 在反比例函数 y2 = m x 图象上, ∴ m= -4×(-1)= 4。 ∴ 反比例函数的表达式为 y2 = 4 x 。 (2)联立一次函数表达式与二次函数表达式,得 y1 = 1 2 x+1, y2 = 4 x 。 ì î í ï ï ï ï 解得 x= -4, y= -1,{ 或 x= 2, y= 2。{ ∵ 点 A 在第一象限, ∴ 点 A(2,2)。 观察图象,当 y1 >y2 时,x 的取值范围是-4<x<0 或 x>2。 22.解:(1)①∵ PM⊥BC,AB⊥BC, ∴ PM∥AB。 ∴ △PMC∽△ABC。 ∴ CP CA =PM AB 。 又∵ AP= 2PC,∴ PC= 1 3 AC,即CP CA = 1 3 。 ∴ PM AB = 1 3 ,即PM a = 1 3 。 ∴ PM = 1 3 a,即四边形 PMCN 的边 PM 的长是 1 3 a。 故答案为 1 3 a。 ②当 AP=nPC(n 是正实数)时,PC AC = 1 n+1 。 由(1),知△PMC∽△ABC,∴ PC AC =PM AB = 1 n+1 。 ∴ PM= 1 n+1 a。 由题意,得∠PMC= ∠MCN= ∠MPN= 90°。 ∴ 四边形 PMCN 为矩形。 ∵ △PMC∽△ABC, ∴ PM AB =MC BC 。 ∵ AB=BC, ∴ PM=MC。 ∴ 四边形 PMCN 为正方形。 ∴ S四边形PMCN =PM 2 = ( 1n+1a ) 2 = a 2 (n+1)2 。 故答案为 a2 (n+1) 2 。 (2)如图 3,过点 P 作 PG⊥BC 于点 G,过点 P 作 PH⊥CD 于点 H。 —81— 由题意,得∠PGM= ∠PHC= ∠GCH= 90°。 ∴ 四边形 GPHC 为矩形。 ∴ ∠GPH= 90°。 ∵ 在 Rt△PEF 中,∠FPE= 90°, ∴ ∠GPH - ∠EPH = ∠FPE - ∠EPH,即 ∠GPM = ∠HPN。 ∴ △PGM∽△PHN。 ∴ PM PN =PG PH 。 ∵ PG∥AB,PH∥AD, ∴ PG AB =CP CA =PH AD 。 ∵ AB=a,AD= b, ∴ PG a =PH b ,即PG PH = a b 。 ∴ PM PN = a b 。 故答案为 a b 。 23.解:(1)证明:∵ E 是 AD 的中点, ∴ AE=DE。 ∵ AF∥BC, ∴ ∠AFE= ∠DCE。 在△AEF 和△DEC 中, ∠AFE= ∠DCE, ∠AEF= ∠DEC, AE=DE, { ∴ △AEF≌△DEC(AAS)。 ∴ AF=DC。 ∵ D 是 BC 的中点, ∴ CD=BD。 ∴ AF=BD。 ∴ 四边形 ADBF 是平行四边形。 ∵ ∠BAC= 90°,D 是 BC 的中点, ∴ AD=BD= 1 2 BC。 ∴ 四边形 ADBF 是菱形。 (2)如图,连接 DF 交 AB 于点 O。 由(1),知四边形 ADBF 是菱形。 ∴ AB⊥DF,OD = 1 2 DF,OA = 1 2 AB = 1 2 × 8 = 4, S菱形ADBF = 1 2 AB·DF=40。 ∴ 1 2 DF×8 = 40。 ∴ DF= 10。 ∴ OD= 1 2 DF= 5。 ∵ 四边形 ADBF 是菱形, ∴ O 是 AB 的中点。 ∵ D 是 BC 的中点, ∴ OD 是△ABC 的中位线。 ∴ AC= 2OD= 2×5 = 10。 ∴ AC 的长为 10。 24.解:(1)由题意,得OE=CD=80 m,OC=ED=100 m, AE=60 m,BC=70 m。 ∴ OA=OE-AE= 20 m,OB=OC-BC= 30 m。 ∴ 点 A(0,20),B(30,0)。 设直线 AB 的表达式为 y= kx+b(k≠0),则 30k+b= 0, b= 20。{ ,解得 k= - 2 3 , b= 20。 { ∴ 直线 AB 的表达式为 y= - 2 3 x+20。 (2)①设点 P 的坐标为 P(x,y)。 ∵ 点 P 在直线 AB 上, ∴ 点 P 的坐标可以表示为 ( x,- 23 x+20 ) 。 ∴ PK= (100-x)m, PH=80- ( - 23 x+20 ) = ( 60+ 2 3 x ) m。 ∴ 矩形 PKDH 的面积 S 与点 P 横坐标 x 之间的 函数表达式为 S= (100-x) ( 60+ 23 x ) 。 ②∵ S = (100-x) ( 60 + 23 x ) = - 2 3 ( x - 5 ) 2 + 18 050 3 , ∴ 当 x= 5 时,S 取得最大值。 25.解:(1)由题意,得二次函数的顶点为(1,3. 2)。 ∴ 设二次函数的表达式为 y2 =a(x-1) 2 +3. 2。 ∵ 一次函数的表达式 y1 = -0. 4x+2. 8, ∴ 令 x= 0,得 y= 2. 8。 ∴ 点 P(0,2. 8)。 将点 P(0,2. 8)代入二次函数表达式, 得 a+3. 2 = 2. 8。 解得 a= -0. 4。 ∴ 吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式为 y2 = -0. 4(x-1) 2 +3. 2。 (2)令 x= 3, 一次函数 y1 = -0. 4×3+2. 8 = 1. 6, 二次函数 y2 = -0. 4×(3-1) 2 +3. 2 = 1. 6。 又∵ 球网 AB 的高度为 1. 55 m,1. 55<1. 6, ∴ 两种击球方式均能过网。 (3)在一次函数 y1 = -0. 4x+2. 8 中, 令 y= 0,得 0 = -0. 4x+2. 8。 解得 x= 7。 —91— 在二次函数 y2 = -0. 4(x-1) 2 +3. 2 中,令 y = 0, 得 0= -0. 4(x-1) 2 +3. 2。 解得 x = 2 2 +1 或 1- 2 2 (不符合题意,舍去)。 ∵ OC=OA+AC= 5 m, ∴ 7-5 = 2, 2 2 +1-5 = 4-2 2 = 2(2- 2 )。 ∵ 2- 2 <1, ∴ 2(2- 2 )<2。 ∴ 要使球的落地点到点 C 的距离更近,应该选 择吊球方式。 26.解:(1)如图 1,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E。 根据题意,得 AE=DC= 8 cm,EC=AD= 6 cm。 ∴ BE= BC - EC = 6 cm,BN = t cm,BM = ( 12 - 2t) cm。 在 Rt△ABE 中,由勾股定理, 得 AB= AE2 +BE2 = 82 +62 = 10 cm。 图 1 若△BMN 是直角三角形,有两种情况,分别为 ∠BMN= 90°和∠BNM= 90°,分类讨论如下: ①若∠BMN= 90°, ∴ cos B=BM BN =BE BA = 6 10 = 3 5 。 ∴ 12 -2t t = 3 5 。 解得 t= 60 13 。 ②当∠BNM= 90°时, cos B= BN BM = t 12-2t = 3 5 , 解得 t= 36 11 。 综上所述,当 t 为60 13 或 36 11 时,△BMN 是直角三 角形。 (2)由题意,得 CM= 2t cm,BN= t cm,BM= (12- 2t)cm。 如图 1,过点 N 作 NH⊥BC 于点 H。 在 Rt△BHN 中,cos B=BH BN = 3 5 。 ∴ BH t = 3 5 。 ∴ BH = 3 5 t cm。 由勾股定理,得 NH= 4 5 t cm。 S△DMN =S梯形ABCD-S△CDM-S△BMN-S△ADN = 1 2 (AD+BC)·CD- 1 2 ×CM·CD- 1 2 ×BM×NH- 1 2 AD·(CD-NH) = 1 2 ×(6+12)×8- 1 2 ×2t×8- 1 2 ×(12-2t) × 4 5 t- 1 2 ×6× ( 8- 45 t ) = 4 5 ( t- 13 2 ) 2 +71 5 。 ∵ 点 M 从点 C 运动到点 B 的时间为 12÷ 2 = 6 (s),点 N 从点 B 运动到点 A 所需的时间为 10÷ 1 = 10(s),依题意,两者取小值 6 s, ∴ S 与 t 之间的函数表达式为 S= 4 5 ( t- 13 2 ) 2 + 71 5 (0≤t≤6)。 (3)存在某一时刻 t,使 MN 与 BD 互相垂直。 当 MN⊥BD 时,∠BMN= ∠BDC, ∴ tan∠BMN= tan∠BDC=BC CD = 12 8 = 3 2 。 如图 2,过点 N 作 NF⊥BC 于点 F。 图 2 依题意,得 NF= 4 5 t cm,MF =BC-CM-BF = 12- 2t- 3 5 t= ( 12-135 t ) cm。 ∴ tan∠BMN= NF MF = 4 5 t 12- 13 5 t = 3 2 。 解得 t= 180 47 <6,符合题意。 ∴ 当 t= 180 47 时,MN 与 BD 互相垂直。 2023 年市南区九年级第一学期期末真题卷 1. C　 2. B　 3. D　 4. A　 5. C　 6. B　 7. B　 8. A 9. x1 = 0,x2 = 2　 10. 2 5 　 11. 35. 75 —02— 2024 年即墨区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:120 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本题满分 30 分,共有 10 道小题,每小题 3 分) 1. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体,它的俯视图为 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 　 第 7 题图 2. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k= 0 无实数解,则 k 的取值范围是 (　 　 ) A. k>4 B. k<4 C. k<-4 D. k>1 3. 已知反比例函数 y= k +1 x ,当 x>0 时,y 的值随 x 值的增大而增大,则 k 的取值范围是 (　 　 ) A. k>-1 B. k≥-1 C. k<-1 D. k≤-1 4. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,连接 OH,OH= 4。 若菱 形 ABCD 的面积为 32 3 ,则 CD 的长为 (　 　 ) A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3 5. 张老师有两双完全一样的皮鞋,混在一起后,随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率为 (　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 都不对 6. 若 A( -2,y1),B( -1,y2),C(2,y3)为二次函数 y= x2 +2x+2 的图象上的三点,则 y1,y2,y3 的大小关 系是 (　 　 ) A. y1 <y2 <y3 B. y1 <y3 <y2 C. y2 <y1 <y3 D. y3 <y1 <y2 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,D 是 AB 的中点,过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E,AC = 16, cos A= 4 5 ,则 DE 的长度为 (　 　 ) A. 15 2 B. 10 C. 25 2 D. 15 8. 如图,在 Rt△ABC 内画有边长为 9,6,x 的三个正方形,则 x 的值为 (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 3 5 D. 5 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,CE,DF 交于点 G,连接 AG。 下列结论:①CE =DF;②CE⊥DF;③AG=AD;④∠EAG= 30°。 其中正确的结论是 (　 　 ) A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 10. 反比例函数 y= ab x 的图象如图所示,则二次函数 y = ax2 -2x 和一次函数 y = bx+a 在同一平面直角 坐标系中的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 二、填空题(本题满分 18 分,共有 6 道小题,每小题 3 分) 11. 计算:2cos230°- 2 sin 45°+tan 60°·sin 60° = 。 12. 如图,AB∥CD∥EF,AD ∶ AF= 3 ∶ 5,BE= 12,则 CE 的长是 。 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 16 题图 13. 如图,第一象限内的点 A 在反比例函数 y= 4 x 的图象上,第二象限的点 B 在反比例函数 y= k x 的图 象上,且 OA⊥OB,OB OA = 3 4 ,则 k 的值为 。 14. 为提高公司经济效益,某公司决定对一种电子产品进行降价促销,根据市场调查:当这种电子产 品销售单价定为 200 元时,每天可售出 300 个;销售单价每降低 1 元,每天可多售出 5 个。 已知 每个电子产品的固定成本为 100 元,当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可 获利 32 000 元? 若设降价后的销售单价为 x 元,则可列方程为 　 。 15. 如图,在△ABC 中, ∠BAC = 90°,AB = AC,D 为边 AC 的中点,DE⊥BC 于点 E,连接 BD,则 tan∠DBC 的值为 。 16. 二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示,该二次函数的对称轴是直线 x= 1,给出下列结论: ①abc<0;②方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)必有一个根大于 2 且小于 3; ③若(0,y1), ( 3 2 ,y2 )是抛物线上的两点,那么 y1 <y2;④11a+2c>0; ⑤对于任意实数 m,都有 m(am+b)≥a+b。 其中正确结论的序号是 。 三、作图题(本题满分 4 分,用圆规和直尺作图,不写作法,保留痕迹) 17. (4 分)已知:线段 a,b,求作:矩形 ABCD,使对角线 AC=a,边 BC= b。 四、解答题(本大题满分 68 分,共 9 小题) 18. (8 分)(1)解方程:2x2 -4x= 1; (2)在平面直角坐标系中,将抛物线 y= x2 -4x+1 的图象向上平移 n(n 是正整数)个单位长度,使 平移后的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 n 的值。 19. (6 分)从甲、乙、丙、丁 4 名学生中选 2 名学生参加一次乒乓球单打比赛,求下列事件发生的 概率。 (1)甲一定参加比赛,再从其余 3 名学生中任意选取 1 名,恰好选中丙的概率是 ; (2)任意选取 2 名学生参加比赛,求一定有乙的概率。 (用树状图或列表的方法求解) 20. (6 分)在一次数学课外实践活动中,某小组要测量一幢大楼 MN 的高度,如图,在山坡的坡脚 A 处测得大楼顶部 M 的仰角是 58°,沿着山坡向上走 75 米到达 B 处,在 B 处测得大楼顶部 M 的仰 角是 22°,已知斜坡 AB 的坡度 i= 3 ∶ 4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求大楼 MN 的高度。 (图中的点 A,B,M,N,C 均在同一平面内,N,A,C 在同一水平线上,参考数据:tan 22°≈ 0. 4,tan 58°≈1. 6) —11— 21. (6 分)如图,一次函数 y1 = kx+1 的图象与反比例函数 y2 = m x 的图象相交于 A,B 两点,与 x 轴,y 轴 分别交于 D,C 两点,已知 sin∠CDO= 5 5 ,△BOD 的面积为 1。 (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)当 y1 >y2 时,请直接写出 x 的取值范围。 22. (6 分)如图 1,点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,正方形 ABCD 的边长是 a,Rt△PEF 的两条 直角边 PE,PF 分别交边 BC,DC 于点 M,N。 (1)操作发现:如图 2,固定点 P,使△PEF 绕点 P 旋转。 ①当 PM⊥BC,AP= 2PC 时,四边形 PMCN 的边 PM 的长是 ; ②当 PM⊥BC,AP=nPC(n 是正实数)时,四边形 PMCN 的面积是 ; (2)猜想论证:如图 3,将四边形 ABCD 的形状变为矩形,AB= a,AD= b,点 P 在矩形 ABCD 的对角 线 AC 上,Rt△PEF 的两条直角边 PE,PF 分别交边 BC,DC 于点 M,N,固定点 P,使△PEF 绕点 P 旋转,则PM PN = 。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 23. (8 分)在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 AF∥BC 交 CE 的 延长线于点 F,连接 BF。 (1)求证:四边形 ADBF 是菱形; (2)若 AB= 8,菱形 ADBF 的面积为 40。 求 AC 的长。 24. (8 分)如图,为了绿化小区,某物业公司要在形如五边形的草坪 ABCDE 上建一个矩形花坛 PKDH。 已知 PH∥AE,PK∥BC,DE = 100 m,AE = 60 m,BC = 70 m,CD = 80 m。 以 BC 所在直线为 x 轴,AE 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,坐标原点为 O。 (1)求直线 AB 的表达式; (2)若设点 P 的横坐标为 x,矩形 PKDH 的面积为 S。 ①写出 S 与 x 之间的函数表达式; ②当 x 为何值时,S 取得最大值? 25. (10 分)小林同学是一名羽毛球运动爱好者,下面是他对击球线路的分析。 如图,在平面直角坐 标系中,点 A,C 在 x 轴上,球网 AB 与 y 轴的水平距离 OA = 3 m,CA = 2 m,AB = 1. 55 m,击球点 P 在 y 轴上。 若选择扣球,羽毛球的飞行高度 y1 ( m) 与水平距离 x( m) 近似满足一次函数关系 y1 = -0. 4x+2. 8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度 y2( m)与水平距离 x( m)近似满足二次函数关 系,此时,当羽毛球飞行的水平距离是 1 m 时,达到的最大高度为 3. 2 m。 (1)求吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式; (2)请通过计算说明两种击球方式是否过网; (3)要使球的落地点到点 C 的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式。 26. (10 分)如图 1,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,DC⊥BC,AD = 6 cm,DC = 8 cm,BC = 12 cm。 动点 M 在 CB 上运动,从点 C 出发运动到点 B,速度为每秒 2 cm;动点 N 在 BA 上运动,从点 B 出发到 点 A,速度为每秒 1 cm。 两个动点同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止,设 两个点的运动时间为 t(s)。 (1)当 t 为何值时,△BMN 是直角三角形? (2)设△DMN 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数表达式; (3)如图 2,连接 BD,是否存在某一时刻 t,使 MN 与 BD 互相垂直? 若存在,求出此时的 t 值;若 不存在,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 —21—