2024年山东省青岛市城阳区九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(青岛专版)

2024 年城阳区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:120 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 方程 x2 = x 的解是 (　 　 ) A. x= 1 B. x= 0 C. x1 = 1,x2 = 0 D. x1 = -1,x2 = 0 2. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其主视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是菱形,∠ABC= 120°,点 B 的坐标为(0,-3),则点 A 的 坐标为 (　 　 ) A. ( -3 3 ,0) B. (3 3 ,0) C. ( -6,0) D. (6,0) 4. 如图,在平面直角坐标系中,大鱼与小鱼是以点 O 为位似中心的位似图形,则下列说法中错误的是 (　 　 ) A. 小鱼与大鱼的周长之比是 1 ∶ 2　 B. 小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是 1 ∶ 2　 C. 大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的 2 倍　 D. 若小鱼上一点的坐标是(a,b),则大鱼上的对应点的坐标是( -2a,-2b) 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5. 平地上立有三根等高的木杆,俯视图如图所示,在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 将抛物线 y=x2-1 向左平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,所得抛物线的表达式为 (　 　 ) A. y= (x+3) 2 +2 B. y= (x+2) 2 +2 C. y= (x+2) 2 +1 D. y= (x-2) 2 +2 7. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识。 动物学家在鹦鹉螺(如图)外壳上发现,其每圈螺纹的直径 与相邻螺纹直径的比约为 0. 618。 这体现了数学中的 (　 　 ) A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 8. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车越来越多地进入普通家庭,抽样调查显 示,截至 2023 年底,某市汽车拥有量为 25. 6 万辆。 已知 2021 年底该市汽车拥有量为 10 万辆,如果设 2021 年底至 2023 年底该市汽车拥有量的年均增长率为 x,根据题意列出的方程为 (　 　 ) A. 10(1+x) 2 = 25. 6 B. 10(1+2x)= 25. 6 C. 10(1-x) 2 = 25. 6 D. 10(1-2x)= 25. 6 9. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠C= 90°,AB=AD,连接 BD,∠BAD 的平分线 AE 分别交 BD,BC 于点 O,E。 若 EC= 3,CD= 4,则 BO 的长为 (　 　 ) A. 4 B. 3 3 C. 5 2 3 D. 2 5 10. 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y= kx+m 交于 A( -3,-1),B(0,3)两点。 下列结论中:①bc<0; ②b2 -4ac>0;③关于 x 的不等式 ax2 +bx+c≥kx+m 的解集是-3≤x≤0;④a2 -ab+ac<0;⑤关于 x 的 方程 ax2 +bx+c+4 = 0 无解。 其中正确的有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 4cos 30°-2tan 45° = 。 12. 如图 1,平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分),小明想了解该图案的面积是多少,他 采取了以下办法:用一个长为 10 m,宽为 7 m 的长方形将不规则图案围起来,然后在适当位置随 机朝长方形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(小球扔在界线上或长方形区域外 不计入试验结果),他将若干次有效试验的结果绘制成了图 2 所示的折线统计图,由此可估计不 规则图案的面积大约是 m2。 图 1 　 　 　 小球落在不规则图案内的频率 图 2 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 13. 如图,在正方形 ABCD 中,分别以 BC,DC 为边长作等边三角形 BEC 和等边三角形 DCF,连接 EF, ∠CEF 的度数为 。 14. 在反比例函数 y= -4 x 的图象上,当 y≥-1 时,x 的取值范围是 。 15. 若直线 y=ax-6 与抛物线 y= x2 -4x+3 只有一个交点,则 a 的值为 。 16. 如图,在△ABC 中,BC=AC= 2 5 ,AB= 4,分别过点 A,C 作 AB,BC 边的垂线相交于点 D,连接 DB, 则 AD 的长为 。 三、作图题(本大题满分 4 分) 17. (4 分)如图,已知:△ABC。 求作:点 N,使 CN∥AB,且 BN 距离最短。 四、解答题(本大题共 8 小题,满分 68 分) 18. (8 分)(1)解方程:x2 +6x-3 = 0; (2)用配方法求二次函数 y= 2x2 +4x+5 的对称轴和顶点坐标。 19. (6 分)“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连,秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”,这是大家耳熟能 详的二十四节气歌,“二十四节气”是中华上古农耕文明的产物,蕴含了中华民族悠久的文化内 涵。 小文购买了“二十四节气”主题邮票,他要将“立春” “立夏” “秋分” “大寒”四张邮票中的两 张送给好朋友小乐。 小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同),让小乐从中随机抽 取一张后(不放回),再从中随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法求小乐抽到的两张邮票 恰好是“立春”和“大寒”的概率。 (立春、立夏、秋分、大寒分别用 A,B,C,D 表示) A 　 　 B 　 　 C 　 　 D —9— 20. (6 分)大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第 1 个小孔成像的实验,如图 1,并在 《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端”。 如图 2,根据小孔成像的科学 原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高 y(单位:cm)是物距 (小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当 x= 6 时,y= 2。 (1)求 y 关于 x 的函数表达式; (2)若小孔到蜡烛的距离为 4 cm,求火焰的像高; (3)若火焰的像高不得超过 3 cm,求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米? 图 1 　 　 　 图 2 21. (8 分)如图 1 是位于青岛的海景摩天轮“琴岛之眼”,游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅 礴气势。 图 2 是它的简化示意图,点 O 是摩天轮的圆心,AB 是摩天轮垂直于地面的直径,小红在 E 处测得摩天轮顶端 A 的仰角为 24°,她沿水平方向向左行走 122 m 到达点 D,再沿着坡度 i = 0. 75 的斜坡走了 20 m 到达点 C,然后再沿水平方向向左行走 40 m 到达摩天轮最低点 B 处(点 A,B,C,D,E 均在同一平面内),求摩天轮 AB 的高度。 (结果保留整数,参考数据:sin 24°≈0. 41, cos 24°≈0. 91,tan 24°≈0. 45) 图 1 　 　 　 图 2 22. (8 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 3,BC = 4,G,H 分别是 AB,DC 的中点,E,F 是对角线 AC 上的 两个点,AE=FC。 (1)判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由; (2)若四边形 EGFH 为矩形,求 AE 的长度。 23. (10 分)【初建模型】如图 1,△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,AD =AE,AB = AC,∠BAC = ∠DAE, 连接 BD,CE。 求证:BD=CE。 分析:要证明 BD=CE,我们可以通过 (只填序号)的方法 证明△ADB 和△AEC 全等; ①SSS;②ASA;③AAS;④SAS。 【类比探究】如图 2,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC = ∠ADE = 90°,连接 BD,CE。 请你写出 BD 与 CE 的数量关系,并说明理由; 【拓展提升】如图 3,在图 2 的基础上,延长 BD,交 AC 于点 F,交 CE 的延长线于点 G,求sin∠CGF 的值。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 24. (10 分)高台跃下,凌空旋转,天际中滑翔出优美的曲线;跳台滑雪简称“跳雪”,运动员沿着助滑 道飞速下滑,在起跳点腾空,身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡,主要考核运动员的飞行距离 和动作姿势。 在这项运动里,我们可以用数学知识解决一些实际问题。 如图是某跳台滑雪训练 场的横截面示意图,取某一位置的水平线为 x 轴,过起跳点 A 作水平线的垂线为 y 轴,建立平面 直角坐标系。 图中的抛物线 l1:y1 = - 1 240 x2 +mx+40 近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员 从点 O 正上方 50 米处的点 A 滑出,滑出后沿一段抛物线 l2:y2 = - 1 120 x2 +bx+c 运动。 飞行中某一 时刻当运动员运动到离点 A 处的水平距离为 60 米时,高出水平线的高度为 60 米。 (1)求抛物线 l2 所对应的函数表达式; (2)若运动员在高出水平线 10 米的小山坡上着地,求此时运动员降落点到点 A 的水平距离; (3)在(2)的条件下,当运动员滑行中与小山坡 l1 的竖直距离最大时,求运动员运动的水平距离。 25. (12 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,BC= 5 cm,AC= 12 cm,以 AC 为边作正方形 ACDE,点 P 从点 B 出 发,沿 BD 方向匀速运动,速度为 1 cm / s;同时,点 Q 从点 A 出发,沿 AB 方向匀速运动,速度为 2 cm / s,点 M 从点 A 出发,沿 AC 方向匀速运动,速度为 1 cm / s;当一个点停止运动,另外两个点 也停止运动。 连接 PQ,MD。 设运动时间为 t(s)(0<t<6. 5),解答下列问题。 (1)是否存在某一时刻 t,使点 P 在 MD 的垂直平分线上? 若存在,求出 t 的值;若不存在,说明 理由; (2)当 t 为何值时,△BPQ 为等腰三角形? (3)如图 2,连接 MQ,设四边形 MQPD 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 之间的函数表达式; (4)当∠BQP= 45°时,求 t 的值。 图 1 　 　 　 图 2 —01— 图 1 ∵ CD⊥AB,QE⊥AB, ∴ QE∥CD。 ∴ △QEB∽△CDB。 ∴ QE CD =BQ BC 。 ∴ QE 8 = 10-2t 10 。 ∴ QE= 8- 8 5 t。 ∴ S△BPQ = 1 2 ×QE·BP= 1 2 × ( 8- 85 t ) ·t。 ∵ S△BCD = 1 2 BD·CD= 1 2 ×6×8 = 24(cm2 ), ∴ 1 2 × ( 8- 85 t ) ·t= 1 5 ×24 = 24 5 。 解得 t= 2 或 3。 ∴ 当 t= 2 或 3 时,S△BQP ∶ S四边形CDPQ = 1 ∶ 4。 (3)沿 CQ 折叠△RCQ 得到△MCQ,存在某一时 刻 t,使四边形 RQMC 为菱形。 如图 2,过点 R 作 RF⊥BC 于点 F,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H。 图 2 由题意,得 PB= t cm,AR=CQ= 2t cm。 ∴ RC=AC-AR= (10-2t)cm。 ∵ △MCQ 是由△RCQ 折叠形成的, ∴ △RCQ≌△MCQ。 若四边形 RQMC 为菱形,只需 RC=RQ, ∵ RC=RQ,RF⊥BC, ∴ CF=FQ= 1 2 CQ= t cm。 ∵ S△BAC = 1 2 ×AB·CD= 1 2 ×BC·AH, ∴ 12×8 = 10AH。 ∴ AH= 9. 6 cm。 ∵ AH⊥BC,∴ ∠AHC= 90°。 在 Rt△AHC 中,AH= 9. 6 cm,AC= 10 cm, ∴ CH= AC2 -AH2 = 2. 8 cm。 ∵ RF⊥BC,AH⊥BC, ∴ RF∥AH。 ∴ △CRF∽△CAH。 ∴ CR CA =CF CH 。 ∴ 10 -2t 10 = t 2. 8 。 解得 t= 70 39 。 ∴ 当 t 为70 39 时,四边形 RQMC 为菱形。 2024 年城阳区九年级第一学期期末真题卷 1. C　 2. B　 3. A　 4. C　 5. D　 6. B　 7. D　 8. A　 9. D　 10. C 11. 2 3 -2　 12. 42　 13. 15°　 14. x≥4 或 x<0 15. 2 或-10　 16. 3 17.解:如图,点 N 即为所求作。 18.解:(1)将常数项移到方程的右边,得 x2 +6x= 3。 两边都加 9,得 x2 +6x+9 = 12, 即(x+3) 2 = 12。 ∴ x+3 = ±2 3 。 ∴ x1 = -3+2 3 ,x2 = -3-2 3 。 (2)y= 2x2 +4x+5 = 2(x2 +2x+1)+3 = 2(x+1) 2 +3。 所以该二次函数的对称轴是直线 x= -1,顶点坐 标为(-1,3)。 19.解:画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中小乐抽到的两张 邮票恰好是 “ 立春” 和 “ 大寒” 的结果有 AD, DA,共 2 种。 所以小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大 寒”的概率为 2 12 = 1 6 。 —31— 20.解:(1)设 y 关于 x 的函数表达式为 y= k x (k≠0)。 ∵ 当 x= 6 时,y= 2, ∴ 把 x= 6,y= 2 代入反比例函数的表达式 y= k x 中,得 2 = k 6 。 解得 k= 12。 ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y= 12 x 。 (2)∵ 小孔到蜡烛的距离为 4 cm,即 x = 4,把 x = 4 代入 y= 12 x 中,得 y= 12 4 = 3。 ∴ 火焰的像高为 3 cm。 (3)由(2),得当火焰的像高为 3 cm 时,小孔到 蜡烛的距离为 4 cm, 所以若火焰的像高不得超过 3 cm,则小孔到蜡 烛的距离至少是 4 cm。 21.解:如图,过点 B 作 BM⊥ED 交 ED 的延长线于点 M,过点 C 作 CN⊥DM于点 N。 由题意,得 MN=BC= 40 m,DE= 122 m, CD= 20 m,BM=CN,∠AED= 24°。 在 Rt△CDN 中,i=CN DN = 0. 75 = 3 4 , 设 CN= 3x m(x>0),则 DN= 4x m。 ∴ CD= CN2 +DN2 = 5x= 20。 解得 x= 4。 ∴ CN= 12 m,DN= 16 m。 ∴ BM= 12 m,EM =MN+DN+DE = 40+ 16+ 122 = 178 m。 在 Rt△AEM 中,tan∠AEM = AM EM ,AM = AB+BM = 12+AB,EM= 178 m, ∴ AM EM = 12+AB 178 = tan 24°≈0. 45。 ∴ AB= 178×0. 45-12≈68(m)。 ∴ 摩天轮 AB 的高度约为 68 m。 22.解:(1)四边形 EGFH 是平行四边形。 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=CD,AB∥CD。 ∴ ∠GAE= ∠HCF。 ∵ G,H 分别是 AB,DC 的中点, ∴ AG=BG= 1 2 AB,CH=DH= 1 2 CD。 ∴ AG=CH。 在△AEG 与△CFH 中, AG=CH, ∠GAE= ∠HCF, AE=CF, { ∴ △AEG≌△CFH(SAS)。 ∴ GE=HF。 同理可得 GF=HE。 ∴ 四边形 EGFH 是平行四边形。 (2)如图,连接 GH 交 AC 于点 O。 由(1),得四边形 EGFH 是平行四边形, ∴ OE=OF。 又∵ AE=FC, ∴ OE+AE=OF+FC, 即 OA=OC。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=CD,AB∥CD,∠B= 90°。 ∴ AC= AB2 +BC2 = 32 +42 = 5。 ∴ OA=OC= 1 2 AC= 5 2 。 ∵ G,H 分别是 AB,DC 的中点, ∴ BG=CH。 ∴ 四边形 BCHG 是平行四边形。 ∴ GH=BC= 4。 ∵ 四边形 EGFH 是矩形, ∴ EF=GH= 4,OE=OF= 1 2 EF= 2。 ∵ E,F 是对角线 AC 上的两个点, ∴ AE 的长度有两种情况,分别是①点 E 在 OA 上,点 F 在 OC 上和②点 E 在 OC 上,点 F 在 OA 上。 分类讨论如下: ①当点 E 在 OA 上,点 F 在 OC 上时,如图 1, 图 1 AE=OA-OE= 5 2 -2 = 1 2 。 ②当点 E 在 OC 上,点 F 在 OA 上时,如图 2, 图 2 —41— AE=OA+OE= 5 2 +2 = 9 2 。 综上所述,若四边形 EGFH 为矩形,AE 的长度 为 1 2 或 9 2 。 23.解:【初建模型】∵ ∠BAC= ∠DAE, ∴ ∠DAE-∠BAE= ∠BAC-∠BAE。 ∴ ∠DAB= ∠EAC。 又∵ AD=AE,AB=AC, ∴ 由 SAS 可证明△ADB 和△AEC 全等。 故答案为④。 【类比探究】 BD 与 CE 的数量关系为 2 BD =CE, 理由如下: ∵ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, ∴ AD AE =AB AC = 1 2 ,∠DAE= ∠BAC= 45°。 ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC。 ∴ ∠BAD= ∠CAE。 ∴ △BAD∽△CAE。 ∴ BD CE =AB AC = 1 2 。 ∴ 2BD=CE。 【拓展提升】由【类比探究】,得△CAE∽△BAD。 ∴ ∠ACE= ∠ABD。 ∵ ∠AFB= ∠CFG, ∴ △BAF∽△CGF。 ∴ ∠BAF= ∠CGF。 ∴ sin G= sin∠BAC=BC AC = 1 2 = 2 2 。 ∴ sin G 的值为 2 2 。 24.解:(1)由题意,得点 A 的坐标为(0,50)。 ∵ 抛物线 l2 的函数表达式为 y2 = - 1 120 x2 +bx+c, ∴ 当 x= 0 时,c= 50。 ∴ 抛物线 l2 的函数表达式为 y2 =- 1 120 x2+bx+50。 又∵ 抛物线 l2 过点(60,60), ∴ - 1 120 ×602 +60b+50 = 60。 ∴ b= 2 3 。 ∴ 抛物线 l2 所对应的函数表达式为 y2 =- 1 120 x2+ 2 3 x+50。 (2)把 y= 10 代入 l2 ,得 10 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50。 解得 x1 = 120,x2 = -40(不符合题意,舍去)。 所以此时运动员降落点到点 A 的水平距离 为 120 米。 (3)∵ 运动员在高出水平线 10 米的小山坡上着 地时, 运动员落地点距点 A 的水平距离为 120 米,∴ 点(120,10)在抛物线 l1 上。 把点(120,10)代入 y1 = - 1 240 x2 +mx+40 中, 得- 1 240 ×1202 +120m+40 = 10。 解得 m= 1 4 。 ∴ 抛物线 l1 的函数表达式为 y1 = - 1 240 x2 + 1 4 x+40。 ∴ y2 -y1 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50+ 1 240 x2 - 1 4 x-40 = - 1 240 x2 + 5 12 x+10 = - 1 240 (x-50) 2 +245 12 。 ∵ - 1 240 <0,∴ 当 x<50 时,y2 -y1 的值随 x 值的增 大而增大。 ∴ 当 x= 50 时,运动员滑行中与小山坡 l1 的竖 直距离最大。 ∴ 此时,运动员运动的水平距离为 50 米。 25. 解:(1)不存在某一时刻 t,使点 P 在MD 的垂直 平分线上。 理由如下: 如图 1,由题意,得 BP= t cm,AQ= 2t cm, AM= t cm。 在 Rt△ABC 中,BC= 5 cm,AC= 12 cm, ∴ AB= AC2 +BC2 = 13 cm。 ∵ 正方形 ACDE 是以 AC 为边的, ∴ CD=AC= 12 cm。 ∴ BD=BC+CD= 5+12 = 17(cm)。 ∴ BQ= (13-2t) cm,CM = (12- t) cm,PD = (17- t)cm,CP= ( t-5)cm。 图 1 ∵ 点 P 在 MD 的垂直平分线上, —51— ∴ PD=PM。 ∵ 四边形 ACDE 是正方形, ∴ ∠PCM= 90°。 在 Rt△MCP 中, ∵ PM2 =CM2 +CP2 , ∴ (17-t) 2 = (12-t) 2 +( t-5) 2 。 解得 t= 2 30或-2 30 (不符合题意,舍去)。 ∵ 0<t<6. 5, ∴ t= 2 30不符合题意。 ∴ 不存在某一时刻 t,使点 P 在 MD 的垂直平分 线上。 (2)由(1),知 AB= 13 cm, 由题意,得 BP= t cm,AQ= 2t cm,AM= t cm。 ∴ BQ= (13-2t)cm。 若△BPQ 为等腰三角形,则有 BP = BQ,BQ = PQ,BP=PQ 三种情况,分类讨论如下: ①当 BP=BQ 时,t= 13-2t。 解得 t= 13 3 。 ②当 BQ=PQ 时,如图 2,过点 Q 作 QF⊥BC 于 点 F。 图 2 ∴ BF=FP= 1 2 BP= 1 2 t cm。 ∵ QF⊥BC,∠ACD= 90°,∴ QF∥AC。 ∴ BQ BA =BF BC ,即13 -2t 13 = 1 2 t 5 。 解得 t= 130 33 。 ③当 BP=PQ 时,如图 3,过点 P 作 PG⊥AB 于 点 G。 图 3 ∴ BG= 1 2 BQ= 13 -2t 2 cm。 ∵ ∠BGP= ∠BCA= 90°,∠PBG= ∠ABC, ∴ △PBG∽△ABC。 ∴ BG BC =BP BA ,即 13-2t 2 5 = t 13 。 解得 t= 169 36 。 综上所述,当 t = 13 3 或 130 33 或 169 36 时,△BPQ 为等 腰三角形。 (3)如图 4,过点 Q 作 QG⊥AC 于点 G,作 QH⊥ BC 于点 H。 图 4 ∴ QG∥BC,QH∥AC。 ∴ QG BC =AQ AB ,即QG 5 = 2t 13 。 ∴ QG= 10 13 t cm。 ∵ QH∥AC, ∴ QH AC =BQ AB ,即QH 12 = 13-2t 13 。 ∴ QH= 156 -24t 13 cm。 ∴ y= S四边形MQPD = S△ABC -S△AMQ -S△BPQ +S△MCD = 1 2 × BC·AC- 1 2 ×AM·QG- 1 2 ×BP·QH+ 1 2 ×CD· CM= 1 2 × 5× 12- 1 2 t· 10 13 t- 1 2 t·156 -24t 13 + 1 2 × 12(12-t)= 7 13 t2 -12t+102。 ∴ y 与 t 之间的函数表达式为 y = 7 13 t2 -12t+102 (0<t<6. 5)。 (4)如图 5,过点 P 作 PK⊥AB 于点 K,过点 Q 作 QH⊥BP 于点 H。 —61— 图 5 由题意,得 AQ = 2t cm,BP = t cm,BQ = ( 13 - 2t)cm。 ∵ S△BPQ = 1 2 QH·BP= 1 2 PK·BQ, 由(3),知 QH= 156 -24t 13 cm, ∴ 156 -24t 13 ·t=PK·(13-2t)。 ∴ PK= 12 13 t cm。 在 Rt△BPK 中,BK2 +PK2 =BP2 , ∴ BK2 + ( 1213 t ) 2 = t2 。 ∴ BK= 5 13 t cm。 ∴ KQ = AB - AQ - BK = 13 - 2t - 5 13 t = ( 13 - 31 13 t ) cm。 ∵ ∠BQP= 45°, ∴ KQ=PK,即 13-31 13 t= 12 13 t。 解得 t= 169 43 。 ∴ 当∠BQP= 45°时,t 的值为169 43 。 2024 年即墨区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. A　 3. C　 4. C　 5. C　 6. C　 7. A　 8. B　 9. D　 10. C　 11. 2　 12. 24 5 　 13. - 9 4 14. (x-100) 300+5(200-x)[ ] = 32 000　 15. 1 3 16. ②④⑤ 17.解:如图,矩形 ABCD 即为所求作。 18.解:(1)x2 -2x+1 = 1 2 +1。 (x-1) 2 = 3 2 。 x-1 = ± 6 2 。 ∴ x1 = 6 2 +1,x2 = - 6 2 +1。 (2)设平移后的抛物线的表达式为 y = x2 - 4x+ 1+n。 这里 a= 1,b= -4,c= 1+n。 ∵ 平移后的图象与 x 轴有且只有一个交点, ∴ b2 -4ac= 16-4(1+n)= 0。 解得 n= 3。 ∴ n 的值为 3。 19.解:(1)由甲一定参加比赛,再从其余 3 名学生 中任意选取 1 名,共有甲、乙,甲、丙,甲、丁三种 等可能的结果,符合条件的结果有 1 种, 所以甲一定参加比赛,再从其余 3 名学生中任 意选取 1 名,恰好选中丙的概率是 1 3 。 故答案为 1 3 。 (2)列表如下: 甲 乙 丙 丁 甲 (甲、乙) (甲、丙) (甲、丁) 乙 (乙、甲) (乙、丙) (乙、丁) 丙 (丙、甲) (丙、乙) (丙、丁) 丁 (丁、甲) (丁、乙) (丁、丙) 共有 12 种等可能的结果,符合条件的结果有 6 种。 所以任意选取 2 名学生参加比赛,一定有乙的 概率为 6 12 = 1 2 。 20.解:如图,过点 B 分别作 BE⊥AC,BF⊥MN,垂 足分别为 E,F。 由题意, 得 ∠BEA = ∠BFN = ∠BFM = ∠FNE = 90°。 ∴ 四边形 BENF 为矩形。 ∴ BE=FN,BF=NE。 设 MN= x,在 Rt△ABE 中, ∵ 斜坡 AB 的坡度 i= 3 ∶ 4,即BE AE = 3 4 , ∴ sin∠BAE=BE AB = 3 5 。 —71—