期末必刷易错、压轴60题（考题猜想，21种热考题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

期末必刷易错、压轴60题（考题猜想，21种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．代数式（共3题） 1．（2024秋•杨浦区校级月考）下列语句正确的是　　 A．一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的系数． B．有限个单项式求和得到的代数式叫作整式．单项式也是整式． C．单项式就是一次式． D．一个五次整式与一个五次整式的和是一个次数不大于五次的整式． 【分析】根据定义逐项分析即可． 【解答】解：．一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数，故选项不正确； ．有限个单项式求和得到的代数式叫作多项式．单项式和多项式统称为整式，故选项不正确； ．单项式并不一定是一次式，单独的一个数也是单项式，故选项不正确； ．原说法正确，故选项正确； 故选：． 【点评】本题考查单项式的次数，单项式与多项式，整式的概念，整式的加减，熟练掌握以上概念是关键． 2．（2024秋•杨浦区校级月考）如果记，并且（1）表示当时的值，即，那么　 　（结果用含的代数式表示，为正整数）． 【分析】根据分式的运算法则以上即可． 【解答】解：， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题，正确根据题意得到是解题的关键． 3．（2024秋•青浦区校级月考）如图，有一块长米，宽米的长方形地块，计划将阴影部分建成绿化带，中间空白部分修建一座雕像，雕像位置铺水泥地面． （1）如果中间空白部分是一个边长为米的正方形，求绿化带的面积；（用含、的代数式表示） （2）在（1）的条件下，如果修建绿化带的费用（连同人工）需每平方米600元，修建水泥地面的费用（连同人工）需每平方米45元，那么当，时，求整个修建工程的费用． 【分析】（1）利用长方形和正方形的面积公式，由“绿化带的面积长方形的面积正方形的面积”列代数式并根据多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式化简即可； （2）根据“整个修建工程的费用修建绿化带每平方米的费用绿化带的面积修建水泥地面每平方米的费用水泥地面的面积”列代数式并将，代入计算即可． 【解答】解：（1）（平方米）． 答：绿化带的面积是平方米． （2）当，时， （元． 答：整个修建工程的费用是64020元． 【点评】本题考查列代数式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，掌握长方形和正方形的面积计算公式及多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式是解题的关键． 二．代数式求值（共4题） 4．（2024秋•宝山区校级月考）在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值　　 A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 【分析】将和分别代入，计算该整式的值比原来整式的值多的分数：若结果为正，则比原来扩大，否则，则比原来缩小． 【解答】解： ， 该整式的值比原来缩小． 故选：． 【点评】本题考查代数式求值，掌握代数式求值的方法是解题的关键． 5．（2024秋•浦东新区校级月考）若，则的值为 　 　． 【分析】由可得，把分解因式，使之出现，再将代入求值即可． 【解答】解：， ， ． 故答案为：5009． 【点评】本题考查代数式求值、因式分解的应用，掌握因式分解和整体代入法求代数式的值是解题的关键． 6．（2024秋•徐汇区校级期中）若，为有理数且满足，，则的最小值为 　　． 【分析】依题意，先变形可得，代入，结合完全平方公式变形可得，分析可得最小值． 【解答】解：依题意可得：，代入可得： ， 因为，， 所以， 所以得最小值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了整体代入法求代数式的值，还综合考查了平方的非负性和完全平方公式，解题的关键是配完全平方式． 7．（2024秋•闵行区校级期中）十一黄金周期间，泗县运河人家风景区门票价格为：成人票每张80元，学生票每张40元，泗县某中学七年级有名学生和名老师；八年级学生人数是七年级学生人数的倍，八年级老师人数是七年级老师人数的倍；若他们一起去风景区 （1）两个年级在该景点的门票费用分别为： 七年级　 　元；八年级　 　元；（用含、的代数式表示） （2）若他们一起去风景区，则门票费用共需多少元？（用含、的代数式表示）若，，求两个年级门票费用的总和． 【分析】（1）根据题意表示出两个年级的费用即可； （2）求出两个年级费用之和，化简后将与的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）七年级元；八年级元； 故答案为：；； （2）根据题意得：， 当，时，原式元． 【点评】此题考查了代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三．整式的相关概念（共6题） 8．（2024秋•静安区月考）下列叙述正确的是　　 A．是整式 B．是三次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 【分析】根据单项式与多项式的基本概念进行判断即可． 【解答】解：、是分式，说法错误，不符合题意； 、是四次四项式，原说法错误，不符合题意； 、系数是和，原说法错误，不符合题意； 、的常数项是，原说法正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了单项式与多项式的基本概念，在单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；在多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数；掌握单项式与多项式的基本概念是解题的关键． 9．（2024秋•浦东新区校级月考）若、分别是关于的七次整式与五次整式，则　　 A．一定是关于的十二次整式 B．一定是关于的三十五次整式 C．一定是关于的低于十二次的整式 D．无法确定其关于的次数 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则可进行求解． 【解答】解：由、分别是关于的七次整式与五次整式，则一定是关于的次整式； 故选：． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 10．（2024秋•徐汇区校级期中）关于整式的概念，下列说法正确的是　　 A．的系数是 B．的次数是6 C．0是单项式 D．是五次三项式 【分析】根据单项式的定义、系数与次数的概念、多项式的定义逐项判断即可得． 【解答】解：、的系数是，此项说法错误； 、的次数是，此项说法错误； 、0是单项式，此项说法正确； 、是三次三项式，此项说法错误； 故选：． 【点评】本题考查了单项式与多项式的定义，单项式的系数与次数的概念，熟记各定义是解题关键． 11．（2024秋•杨浦区校级月考）关于代数式，下列说法正确的是　　 A．二次项系数为 B．常数项为 C．是五次三项式 D．是三次三项式 【分析】根据多项式的系数、次数、项的定义逐个判断即可． 【解答】解：多项式是三次三项式，它的常数项是，二次项是， 故选项，，错误，只有选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的系数、次数、项的定义是解此题的关键． 12．（2024秋•徐汇区校级月考）下列说法中错误的是　　 A．单项式是整式 B．是三次三项式 C．多项式的常数项是 D．多项式的常数项是 【分析】根据整式的基本概念解答即可． 【解答】解：．单项式是整式，正确，不符合题意； ．是三次三项式，正确，不符合题意； ．多项式的常数项是，错误，符合题意； ．多项式的常数项是，正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了整式的基本概念，正确理解单项式，多项式的基本概念是解题的关键． 13．（2024秋•杨浦区期中）已知关于、的多项式是一个四次三项式，则 　 　． 【分析】直接利用绝对值的性质以及多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【解答】解：关于、的多项式是一个四次三项式， ，， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了多项式以及绝对值，正确把握相关定义是解题的关键． 四．整式的加减（共2题） 14．（2024秋•青浦区校级月考）已知、都是关于的三次多项式，那么下列判断一定正确的是　　 A．是关于的三次多项式 B．是关于的六次多项式 C．是关于的三次多项式 D．是关于的六次多项式 【分析】根据整式的加减、乘法运算，逐一判断各选项，即可得到结果． 【解答】解：．若，，则，不是关于的三次多项式，故该选项不符合题意； ．若，，则，结果是关于的三次多项式，不是关于的六次多项式，故该选项不符合题意； ．若，，则是关于的六次多项式，故该选项不符合题意； ．、都是关于的三次多项式，所以是关于的六次多项式，该选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了整式的加减运算，乘法运算，熟练掌握整式相关的运算法则是解题的关键． 15．（2024秋•闵行区期中）如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积是　 　． 【分析】要计算空白部分的面积，可以平移空白部分，让它们组合到一块儿，即是一个矩形：矩形的长是，矩形的宽是．根据矩形的面积公式得空白部分的面积． 【解答】解：空白部分的面积是． 【点评】能够运用图形的平移简便计算，熟练进行多项式的乘法运算． 五．同底数幂的乘法（共1题） 16．（2024秋•闵行区校级期中）计算：　 　（结果用幂的形式表示）． 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 六．幂的乘方与积的乘方（共3题） 17．（2024秋•闵行区校级月考）计算： 　　． 【分析】根据同底数的幂的乘法得出，再根据积的乘方求出即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了同底数的幂的乘法，积的乘方，有理数的乘方的应用，注意：是关键． 18．（2024秋•宝山区校级月考）计算：．（结果用幂的形式表示） 【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 19．（2023秋•宝山区期末）计算：． 【分析】分别根据幂的乘方、零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、零指数幂和负整数指数幂，掌握并灵活运用其运算法则是解题的关键． 七．同底数幂的除法（共2题） 20．（2023秋•普陀区校级期末）下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘法运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【解答】解：、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不合题意； 、，故本选项不合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 21．（2024秋•杨浦区校级月考）下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】本题考查整式的除法，解答时，将底数不变，幂指数相减，即可得出正确答案． 【解答】解：、应为，故本选项错误； 、，正确； 、应为，故本选项错误； 、应为，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查单项式除单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 八．整式的乘除与混合运算（共9题） 22．（2024秋•上海月考）如果，那么、的值是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果即可得到答案． 【解答】解：， ， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是关键． 23．（2024秋•宝山区期中）计算：　 　． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24．（2024秋•闵行区校级期中）已知，那么　　． 【分析】先利用已知条件计算得到，再利用完全平方公式得到，代入计算即可． 【解答】解：，， ， 原式 ． 故答案为：2． 【点评】此题考查了整式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是关键． 25．（2023秋•浦东新区期末）计算：　 　．（用科学记数法表示） 【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，科学记数法表示较大的数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 26．（2024秋•松江区校级月考）． 【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式，再合并同类项即可求解． 【解答】解： ． 【点评】考查了积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 27．（2024秋•虹口区期中）计算：． 【分析】先算乘方，再算乘除，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 28．（2023秋•金山区期末）计算：． 【分析】先算乘方，再算乘除，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．（2024秋•青浦区校级月考）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1） ； （2）设被遮住的一次项系数为， 即 ， 这个题目的正确答案不含一次项的， ， 解得：， 被遮住的一次项系数为． 【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 30．（2024秋•杨浦区校级月考）如图，在长方形中，放入6个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且． （1）用含、的代数式表示长方形的长、宽； （2）用含、的代数式表示阴影部分的面积． 【分析】（1）如图所示，，，即为长方形的长与宽； （2）阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【解答】 解：（1）由图形得：，； （2） ． 【点评】此题考查了整式的混合运算，以及列代数式，整式的混合运算涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． 九．完全平方公式（共3题） 31．（2024秋•杨浦区期中）已知，则的值是　　 A．5 B．9 C．13 D．17 【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解． 【解答】解：令，则原式可化简为，则， 解得：，即． 故选：． 【点评】本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案． 32．（2024秋•徐汇区校级期中）如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是　　 A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线与直线的交点为（如图），则可看出与、有关，用与的面积和减去的面积可得阴影部分与的面积，阴影部分和的面积可依据正方形的边长与各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值． 【解答】解：首先令直线与直线的交点为； 则；① 底高； ② 底高； ③ 阴影部分面积①②③ ，④ 由已知，，构造完全平方公式： ， 解得， ， 化简代入④式， 得， ． 故选：． 【点评】本题考查了几何图形关系，即阴影部分面积与三角形面积和正方形面积的关系，同时考查了完全平方公式的运用和符号计算变化． 33．（2024秋•闵行区校级月考）计算： 　 　． 【分析】原式变形后，利用完全平方公式化简得到结果． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 十．平方差公式（共2题） 34．（2024秋•杨浦区期中）下列各式中能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【解答】解：．不符合平方差公式的形式，故不符合题意； ．不符合平方差公式的形式，故不符合题意； ．，故符合题意； ．不符合平方差公式的形式，故不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 35．（2023秋•松江区月考）在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图（1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是　 　．（用字母表示） 【分析】分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果． 【解答】解：在图1中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为， 在图2中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为， 由于两个阴影部分面积相等，所以有成立． 故本题答案为：或． 【点评】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化． 十一．化简求值（共1题） 36．（2024秋•浦东新区期中）已知，，求： （1）； （2）． 【分析】（1）利用完全平方公式的变形公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式和（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 十二．因式分解（共5题） 37．（2024秋•松江区期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有　　 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【解答】解：是单项式的变形，则①不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，则②不是因式分解； 是乘法运算，则③不是因式分解； 符合因式分解的定义，则④是因式分解； 符合因式分解的定义，则⑤是因式分解； 中对象不是整式，则⑥不是因式分解； 综上，因式分解有2个， 故选：． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 38．（2024秋•闵行区校级期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据用完全平方公式的结构特征进行逐一判断即可． 【解答】解：不能用完全平方公式分解因式，故选项不符合题意； 不能用完全平方公式分解因式，选项不符合题意； 不能用完全平方公式分解因式，选项不符合题意； 能用完全平方公式分解因式，选项符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 39．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有这个因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】将每个选项进行因式分解，即可作出判断． 【解答】解：、，含有因式，故此选项不符合题意； 、，不含有因式，故此选项符合题意； 、，含有因式，故此选项不符合题意； 、，含有因式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 40．（2023秋•浦东新区校级期末）分解因式： （1）． （2）． 【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答； （2）先对多项式进行化简整理，然后再利用因式分解分组分解法进行分解，即可解答． 【解答】解：（1） ； ； （2） ． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解分组分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 41．（2024秋•杨浦区期中）分解因式：． 【分析】因为，，所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式． 【解答】解：根据十字相乘法， ， ， ． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全． 十三．因式分解的应用（共1题） 42．（2024秋•嘉定区校级期中）如图，把五个数按顺序填入到五个“〇”内，（每个“〇”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． （1）若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“〇”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为　　 （2）若把5个数“2”、“ ”，“”，“ ”，“2”依次按顺序填入“〇”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． （3）若把“1”，“ ”，“ ”，“4”，“ ”打乱顺序填入到五个“〇”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：　　、　　、　　、　　、　　，“”中最大的结果是　　． 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）设第三个数为，根据题意一步步计算，最后得到，解得； （3）假设第一步运算后的四个数为，，，，则根据定义计算结果用代数式表示为，要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大，则，再分类讨论求解． 【解答】解：（1）根据题意得： 第一次运算：，，，， 第一次运算后四个数为，，0，0； 第二次运算：，，， 第二次运算后三个数为，0，0； 第三次运算：，， 第三次运算后两个数为0，0； 第四次运算：， 则运算结果“”中数为0， 故答案为：0； （2）解：设第三个数为，根据题意得 第一次运算：， 则第一次运算的结果：， 第二次运算：， 第二次运算的结果：，，， 第三次运算：，， 第三次运算结果：，， ， 解得：， 第三个数“”为2； （3）解：假设第一步运算后的四个数为，，，，则有： 要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大， 则， 当①时，求得，，，分别为，则代入得； 当②时，求得，，，分别为，2024，，2，则代入得； 当③时，求得，，，分别为，2024，，4，则代入得； 当④时，求得，，，分别为，2024，，4，则代入得； 而⑤⑥中求得，则肯定不是最大， 经比较得当时，最后结果最大且为， 当然倒叙排列结果是一样的，即， 故答案为：；． 【点评】本题考查了因式分解的应用，有理数的混合运算，解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 十四．分式的基本性质（共1题） 43．（2024秋•闵行区校级月考）已知，求分式的值． 　 　 【分析】先将整理变形，转化为，再将分式化简，求出分式的值． 【解答】解：由整理变形，转化为，分式． 故答案为． 【点评】解决本题的关键是将式子整理变形，对分式进行化简． 十五．分式的混合运算（共1题） 44．（2022秋•浦东新区期中）已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【分析】（1）先根据题意得出，再根据分式的运算法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可； （2）根据完全平方根式得，再把（1）中的结果代入进行计算即可． 【解答】解：（1）， ， ； （2） ． 【点评】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练运用完全平方公式和整体代换是解答此题的关键． 十六．分式的化简求值（共2题） 45．（2024秋•浦东新区校级月考）已知三个数，，满足，，．则的值为　 　． 【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出 的值，从而得出代数式的值． 【解答】解：，，， ，，， 整理得，①，②，③， ①②③得，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题的关键． 46．（2024秋•闵行区校级期中）先化简，再求值：，其中，． 【分析】首先将加号前后的两分式进行化简，把分式化为最简分式，再将两个分式相加，然后把、的值代入即可． 【解答】解：原式 ． ． 当，时，原式． 故答案为． 【点评】此题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算． 十七．分式方程（共2题） 47．（2023秋•普陀区校级期中）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程为正整数）的根，你的答案是：　 ． 【分析】首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程的根为：或，然后将化为，利用规律求解即可求得答案． 【解答】解：由①得，方程的根为：或， 由②得，方程的根为：或， 由③得，方程的根为：或， 方程的根为：或， 可化为， 此方程的根为：或， 即或． 故答案为：或． 【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程的根为：或是解此题的关键． 48．（2024秋•徐汇区校级期中）我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为， ，． 再如为十字分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则 　　， 　　． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解 （3）善于观察并分析方程，代入运算即可求解． 【解答】解：（1）可化为， ，． （2）由已知得，， ． （3）原方程变为， ，， ． 【点评】本题考查根与系数的关系，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题目中的答题方法，能够将所求分式方程转化为二元一次方程组求解是解题的关键． 十八．轴对称图形（共4题） 49．（2023秋•普陀区校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的为　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； ，，选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 50．（2022秋•青浦区校级期末）如果长方形的长和宽不相等，那么它有　　条对称轴． 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：如果长方形的长和宽不相等，那么它有两条对称轴． 故答案为：两． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 51．（2020秋•松江区期末）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出　　个不同的格点三角形与成轴对称． 【分析】根据轴对称图形的概念，画出图形即可． 【解答】解：与成轴对称的格点三角形如图所示， 在图中最多能画出5个不同的格点三角形与成轴对称． 最后一个图的三角形和三角形都与三角形成轴对称， 故答案为：5． 【点评】本题考查作图轴对称变换，考查学生的动手能力，解题的关键是理解轴对称图形的概念，本题主要属于基础题． 52．（2020秋•浦东新区期末）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种． 【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形， 选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处． 故答案为：5． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 十九．平移的性质（共1题） 53．（2024秋•宝山区校级月考）在长方形地块上建造公共绿地（图中阴影部分），其余的部分小路．根据图中的设计方案，利用你所学习的有关图形运动的知识， （1）用含有的代数式表示出公共绿地的面积； （2）当米时，计算出绿地的面积． 【分析】（1）题干要求根据图中的设计方案，利用有关图形运动的知识，所以我们通过平移，可知绿地部分可以拼成一个矩形，其长为，宽为，继而求出其面积； （2）将代入（1）中的代数式即可计算出绿地的面积． 【解答】解：（1）由题意得：通过平移，绿地部分可以拼成一个矩形， 它的长为：；宽为：， 面积为：． 答：公共绿地的面积是． （2）当米时，绿地的面积． 【点评】本题考查平移的性质及整式的混合运算，难度适中，解答本题注意平移的灵活运用． 二十．中心对称图形（共4题） 54．（2023秋•杨浦区期末）下列说法中，正确的是　　 A．旋转对称图形一定是中心对称图形 B．角是轴对称图形，它的对称轴就是它的角平分线 C．轴对称图形可能有无数条对称轴 D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形 【分析】分别利用旋转对称图形的性质，中心对称图形及轴对称图形的定义分析得出即可． 【解答】解：．旋转对称图形不一定是中心对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意； ．角是轴对称图形，角的对称轴就是它的角平分线所在直线，原说法错误，故本选项不符合题意； ．轴对称图形可能有无数条对称轴，如圆是轴对称图形，有无数条对称轴，原说法左起，故本选项符合题意； ．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题综合考查了中心对称图形，旋转对称图形，轴对称图形和性质，掌握相关定义是解答本题的关键． 55．（2023秋•金山区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【解答】解：、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； 、图形既轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义． 56．（2023秋•普陀区期末）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； 、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 57．（2023秋•浦东新区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； 、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 二十一．旋转作图（共3题） 58．（2024秋•黄浦区校级月考）在方格中画出△绕着点顺时针旋转后的△． 【分析】分别确定、、三点旋转后的对应点，再依次连接即可． 【解答】解：如图△即为所求是三角形． 【点评】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 59．（2020秋•静安区期末）如图，已知是直角三角形，其中，，，． （1）画出绕点顺时针方向旋转后的△； （2）线段在旋转过程中所扫过部分的周长是　 　（保留； （3）求线段在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留． 【分析】（1）依据旋转的性质，即可画出绕点顺时针方向旋转后的△； （2）根据旋转的性质得，，△，再利用弧长公式计算出弧的长度，弧的长度，所以线段在旋转过程中所扫过部分的周长弧的长弧的长； （3）由于△，则，然后利用扇形面积公式和线段在旋转过程中所扫过部分的面积进行计算即可． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求． （2）绕顺时针方向旋转后得到△， ，，△， 弧的长度，弧的长度， 线段在旋转过程中所扫过部分的周长 弧的长弧的长 ， 故答案为：； （3）△， ， ， 线段在旋转过程中所扫过部分的面积 ． 【点评】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决问题的关键是利用面积的和差计算不规则图形的面积． 60．（2019秋•黄浦区校级期末）如图1，长方形纸片的两条边、的长度分别为、，小明它沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，点、、、在同一条直线上，且点与点重合，点、、也在同一条直线上． （1）将图3中的沿射线方向平移，使点与点重合，点、分别对应点、，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含或的代数式表示） （2）将图3中的绕点逆时针方向旋转，点、分别对应点、，按要求画出图形，并直接写出的度数； （3）将图3中的沿所在直线翻折，点落在点处，按要求画出图形，并直接写出的长度．（用含、的代数式表示） 【分析】（1）根据平移作图的步骤进行平移作图即可，观察对应点之间的距离判断即可； （2）根据旋转作图的步骤进行旋转作图即可，计算的度数，可以通过通过旋转作图过程，求出的度数； （3）根据翻折作图的步骤找到点的对应点，然后连接即可． 【解答】解：（1）如图，即为所求作． ①找出已知图形中的相关的点，，； ②过这些点作与已知平移方向平行的线段，使这些平行线段的长度都等于平移的长度． ③依照图形依次连接对应点，得到新的图形，这个图形就是已知图形的平移图形．按要求画出正确的图形．平移的距离是． （2）如图，即为所求作． ①在已知图形上找到旋转中心，点、点； ②作出这些点的对应点，对应点的找法是： 以旋转中心为顶点，以为一边，向逆时针方向作角的另一边， 使这些角等于60度，且使另一边长度都等于对应线段到旋转中心的长度， 在这些“另一边“的端点就是点的对应点；同理找到点的对应点． ③顺次连接对应点、、． ， 又是由绕点逆时针旋转得到的 ． （3）以点为圆心，以长为半径作弧，交与点，连接， 即为所求的图形．如图 由题意知， 是由翻折而来， ， 的长度是． 【点评】本题考查了平移、旋转、翻折的作图方法以及它们的性质应用，解决本题的关键是熟练掌握平移、旋转、翻折的方法和性质，能够找到相等的量和角． $$期末必刷易错、压轴60题（考题猜想，21种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．代数式（共3题） 1．（2024秋•杨浦区校级月考）下列语句正确的是　　 A．一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的系数． B．有限个单项式求和得到的代数式叫作整式．单项式也是整式． C．单项式就是一次式． D．一个五次整式与一个五次整式的和是一个次数不大于五次的整式． 2．（2024秋•杨浦区校级月考）如果记，并且（1）表示当时的值，即，那么　 　（结果用含的代数式表示，为正整数）． 3．（2024秋•青浦区校级月考）如图，有一块长米，宽米的长方形地块，计划将阴影部分建成绿化带，中间空白部分修建一座雕像，雕像位置铺水泥地面． （1）如果中间空白部分是一个边长为米的正方形，求绿化带的面积；（用含、的代数式表示） （2）在（1）的条件下，如果修建绿化带的费用（连同人工）需每平方米600元，修建水泥地面的费用（连同人工）需每平方米45元，那么当，时，求整个修建工程的费用． 二．代数式求值（共4题） 4．（2024秋•宝山区校级月考）在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值　　 A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 5．（2024秋•浦东新区校级月考）若，则的值为 　 　． 6．（2024秋•徐汇区校级期中）若，为有理数且满足，，则的最小值为 　　． 7．（2024秋•闵行区校级期中）十一黄金周期间，泗县运河人家风景区门票价格为：成人票每张80元，学生票每张40元，泗县某中学七年级有名学生和名老师；八年级学生人数是七年级学生人数的倍，八年级老师人数是七年级老师人数的倍；若他们一起去风景区 （1）两个年级在该景点的门票费用分别为： 七年级　 　元；八年级　 　元；（用含、的代数式表示） （2）若他们一起去风景区，则门票费用共需多少元？（用含、的代数式表示）若，，求两个年级门票费用的总和． 三．整式的相关概念（共6题） 8．（2024秋•静安区月考）下列叙述正确的是　　 A．是整式 B．是三次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 9．（2024秋•浦东新区校级月考）若、分别是关于的七次整式与五次整式，则　　 A．一定是关于的十二次整式 B．一定是关于的三十五次整式 C．一定是关于的低于十二次的整式 D．无法确定其关于的次数 10．（2024秋•徐汇区校级期中）关于整式的概念，下列说法正确的是　　 A．的系数是 B．的次数是6 C．0是单项式 D．是五次三项式 11．（2024秋•杨浦区校级月考）关于代数式，下列说法正确的是　　 A．二次项系数为 B．常数项为 C．是五次三项式 D．是三次三项式 12．（2024秋•徐汇区校级月考）下列说法中错误的是　　 A．单项式是整式 B．是三次三项式 C．多项式的常数项是 D．多项式的常数项是 13．（2024秋•杨浦区期中）已知关于、的多项式是一个四次三项式，则 　 　． 四．整式的加减（共2题） 14．（2024秋•青浦区校级月考）已知、都是关于的三次多项式，那么下列判断一定正确的是　　 A．是关于的三次多项式 B．是关于的六次多项式 C．是关于的三次多项式 D．是关于的六次多项式 15．（2024秋•闵行区期中）如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积是　 　． 五．同底数幂的乘法（共1题） 16．（2024秋•闵行区校级期中）计算：　 　（结果用幂的形式表示）． 六．幂的乘方与积的乘方（共3题） 17．（2024秋•闵行区校级月考）计算： 　　． 18．（2024秋•宝山区校级月考）计算：．（结果用幂的形式表示） 19．（2023秋•宝山区期末）计算：． 七．同底数幂的除法（共2题） 20．（2023秋•普陀区校级期末）下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•杨浦区校级月考）下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 八．整式的乘除与混合运算（共9题） 22．（2024秋•上海月考）如果，那么、的值是　　 A．， B．， C．， D．， 23．（2024秋•宝山区期中）计算：　 　． 24．（2024秋•闵行区校级期中）已知，那么　　． 25．（2023秋•浦东新区期末）计算：　 　．（用科学记数法表示） 26．（2024秋•松江区校级月考）． 27．（2024秋•虹口区期中）计算：． 28．（2023秋•金山区期末）计算：． 29．（2024秋•青浦区校级月考）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 30．（2024秋•杨浦区校级月考）如图，在长方形中，放入6个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且． （1）用含、的代数式表示长方形的长、宽； （2）用含、的代数式表示阴影部分的面积． 九．完全平方公式（共3题） 31．（2024秋•杨浦区期中）已知，则的值是　　 A．5 B．9 C．13 D．17 32．（2024秋•徐汇区校级期中）如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是　　 A．10 B．20 C．30 D．40 33．（2024秋•闵行区校级月考）计算： 　 　． 十．平方差公式（共2题） 34．（2024秋•杨浦区期中）下列各式中能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 35．（2023秋•松江区月考）在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图（1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是　 　．（用字母表示） 十一．化简求值（共1题） 36．（2024秋•浦东新区期中）已知，，求： （1）； （2）． 十二．因式分解（共5题） 37．（2024秋•松江区期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有　　 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（2024秋•闵行区校级期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是　　 A． B． C． D． 39．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有这个因式的是　　 A． B． C． D． 40．（2023秋•浦东新区校级期末）分解因式： （1）． （2）． 41．（2024秋•杨浦区期中）分解因式：． 十三．因式分解的应用（共1题） 42．（2024秋•嘉定区校级期中）如图，把五个数按顺序填入到五个“〇”内，（每个“〇”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． （1）若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“〇”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为　　 （2）若把5个数“2”、“ ”，“”，“ ”，“2”依次按顺序填入“〇”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． （3）若把“1”，“ ”，“ ”，“4”，“ ”打乱顺序填入到五个“〇”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：　　、　　、　　、　　、　　，“”中最大的结果是　　． 十四．分式的基本性质（共1题） 43．（2024秋•闵行区校级月考）已知，求分式的值． 　 　 十五．分式的混合运算（共1题） 44．（2022秋•浦东新区期中）已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 十六．分式的化简求值（共2题） 45．（2024秋•浦东新区校级月考）已知三个数，，满足，，．则的值为　 　． 46．（2024秋•闵行区校级期中）先化简，再求值：，其中，． 十七．分式方程（共2题） 47．（2023秋•普陀区校级期中）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程为正整数）的根，你的答案是：　 ． 48．（2024秋•徐汇区校级期中）我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为， ，． 再如为十字分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则 　　， 　　． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 十八．轴对称图形（共4题） 49．（2023秋•普陀区校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的为　　 A． B． C． D． 50．（2022秋•青浦区校级期末）如果长方形的长和宽不相等，那么它有　　条对称轴． 51．（2020秋•松江区期末）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出　　个不同的格点三角形与成轴对称． 52．（2020秋•浦东新区期末）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种． 十九．平移的性质（共1题） 53．（2024秋•宝山区校级月考）在长方形地块上建造公共绿地（图中阴影部分），其余的部分小路．根据图中的设计方案，利用你所学习的有关图形运动的知识， （1）用含有的代数式表示出公共绿地的面积； （2）当米时，计算出绿地的面积． 二十．中心对称图形（共4题） 54．（2023秋•杨浦区期末）下列说法中，正确的是　　 A．旋转对称图形一定是中心对称图形 B．角是轴对称图形，它的对称轴就是它的角平分线 C．轴对称图形可能有无数条对称轴 D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形 55．（2023秋•金山区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 56．（2023秋•普陀区期末）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 57．（2023秋•浦东新区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 二十一．旋转作图（共3题） 58．（2024秋•黄浦区校级月考）在方格中画出△绕着点顺时针旋转后的△． 59．（2020秋•静安区期末）如图，已知是直角三角形，其中，，，． （1）画出绕点顺时针方向旋转后的△； （2）线段在旋转过程中所扫过部分的周长是　 　（保留； （3）求线段在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留． 60．（2019秋•黄浦区校级期末）如图1，长方形纸片的两条边、的长度分别为、，小明它沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，点、、、在同一条直线上，且点与点重合，点、、也在同一条直线上． （1）将图3中的沿射线方向平移，使点与点重合，点、分别对应点、，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含或的代数式表示） （2）将图3中的绕点逆时针方向旋转，点、分别对应点、，按要求画出图形，并直接写出的度数； （3）将图3中的沿所在直线翻折，点落在点处，按要求画出图形，并直接写出的长度．（用含、的代数式表示） $$