期末必刷常考提升60题（考题猜想，18种热考题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

期末必刷常考提升60题（考题猜想，18种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．列代数式（共3题） 1．（2024秋•闵行区期中）一辆汽车从甲地到乙地，如果以每小时千米的速度行驶，那么3小时后到达乙地，如果每小时多行驶2千米，那么从甲地到达乙地所用时间为 　 　小时（用含有的代数式表示）． 2．（2024秋•闵行区校级期中）小明家最近刚购置了一套商品房，如图是这套商品房的平面图（阴影部分）（单位：．若，，并且房价为每平方米0.9万元，则购买这套房子共需要 　 　万元？ 3．（2024秋•闵行区校级期中）如图，已知正方形的边长为，长方形的边长为，边长为．则以为圆心，为半径的弧与、所围成的阴影部分的面积是 　 　．（用含有、和的代数式表示） 二．代数式求值（共2题） 4．（2024秋•宝山区期中）已知，则代数式　　． 5．（2024秋•杨浦区期中）已知时，代数式的值是12，那么当时，代数式的值为 　 　． 三．整式的相关概念（共3题） 6．（2024秋•普陀区期中）整式的三次项系数是 　 　． 7．（2024秋•普陀区校级期中）已知二项式和单项式满足，那么 　 　． 8．（2024秋•闵行区期中）若多项式不含项，则　 　． 四．整式的加减（共3题） 9．（2024秋•闵行区期中）如果、都是关于的单项式，且是一个八次单项式，是一个五次多项式，那么的次数　　 A．一定是五次 B．一定是八次 C．一定是三次 D．无法确定 10．（2024秋•崇明区期中）比少的整式是 　 　． 11．（2024秋•静安区期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密）；接收方由密文明文（解密）．已知加密规则为：明文，，，，对应密文，，，，当接收方收到密文11，16，29，13时，解密得到明文，，，，则 　　． 五．同底数幂的乘法（共2题） 12．（2024秋•杨浦区期中）若，是正整数，那么整式是　　 A．正数 B．非负数 C．负数 D．可能是正数，也可能是负数 13．（2024秋•浦东新区期中）计算： 　 　．（结果用幂的形式示） 六．幂的乘方与积的乘方（共3题） 14．（2024秋•普陀区校级期中）计算：　 　． 15．（2024秋•闵行区校级期中）若，，则 　　． 16．（2024秋•徐汇区校级期中）计算： 　 　． 七．整式的乘除与混合运算（共6题） 17．（2024秋•普陀区校级期中）已知，其中是正整数，那么的值是　　 A．3 B．5 C．7 D．9 18．（2024秋•杨浦区期中）如果的乘积中不含的一次项，则的值为 　　． 19．（2024秋•闵行区校级期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为 　 　． 20．（2024秋•闵行区校级期中）计算： 21．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 22．（2024秋•普陀区校级期中）计算：． 八．完全平方公式（共4题） 23．（2024秋•闵行区期中）如图，下列代数式中，表示图形面积错误的是　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•宝山区期中）代数式可以化为，则的值是　　． 25．（2024秋•闵行区校级期中）计算： 26．（2024秋•闵行区校级期中）（1）已知，，可得： 　　， 　　； （2）已知，，求的值． 九．平方差公式（共5题） 27．（2024秋•杨浦区期中）下列各式中能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 28．（2024秋•闵行区校级期中）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是　　 A． B． C． D． 29．（2024秋•普陀区校级期中）一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为　　． 30．（2024秋•徐汇区校级期中）在横线上填入适当的整式： （1） 　 　； （2）　　． 31．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 十．化简求值（共3题） 32．（2024秋•闵行区校级期中）已知，则 　 　 33．（2024秋•闵行区校级期中）先化简，再求值，其中，． 34．（2024秋•闵行区校级期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，则， ， 所以 解决问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 十一．因式分解（共4题） 35．（2024秋•黄浦区期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是　　 A． B． C． D． 36．（2024秋•杨浦区期中）多项式形加一个单项式后能用分组的方法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 　　（写出一个正确的单项式即可） 37．（2024秋•闵行区校级期中）分解因式：． 38．（2024秋•嘉定区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答：对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1），在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式，于是可设分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中　 　，　　； （2）对于一元整式，必定有　　； （3）请你用“试根法”分解因式：． 十二．因式分解的应用（共4题） 39．（2024秋•奉贤区期中）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证　　 A． B． C． D． 40．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，则的值为 　　． 41．（2024秋•普陀区校级期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，，请用含有、的代数式表示正方形的边长　 　． 42．（2024秋•嘉定区期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第4个智慧优数是　　． 十三．分式的有关概念（共3题） 43．（2024秋•闵行区校级期中）下列分式中是最简分式的是　　 A． B． C． D． 44．（2024秋•闵行区校级期中）化简：　 　． 45．（2024秋•杨浦区期中）若，求 　　． 十四．分式的运算与化简求值（共题） 46．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，则 　　． 47．（2024秋•闵行区校级期中）先化简，再求值：，其中． 48．（2024秋•普陀区校级期中）应用完全平方公式解决下列问题： （1）已知，，求和的值； （2）已知，求和的值． 十五．整数指数幂（共2题） 49．（2024秋•杨浦区期中）已知：，则 　 　． 50．（2024秋•徐汇区校级期中）若有意义，则满足的条件是 　 　． 十六．分式方程（共2题） 51．（2024秋•徐汇区校级期中）解方程： （1）； （2）． 52．（2024秋•徐汇区校级期中）如果关于的方程无解，求的值． 十七．轴对称图形（共2题） 53．（2023秋•崇明区期末）如图，在正方形方格中，阴影部分是4张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对称图形的移法有 　　种． 54．（2023秋•浦东新区期末）如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点，使、、、四点联结成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点． 十八．旋转与中心对称（共5题） 55．（2023秋•浦东新区期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 56．（2023秋•崇明区期末）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 　　（填“”“ ”“ ”或“” 57．（2023秋•普陀区期末）如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点、、在同一条直线上，点、、也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为 　 ． 58．（2022秋•浦东新区校级期末）按要求画图： （1）将三角形向上平移3格，得到三角形； （2）将三角形绕点旋转180度，得到三角形； （3）如果三角形沿直线翻折，点落到点处，画出直线，及翻折后的三角形． 59．（2022秋•徐汇区期末）在边长为1的正方形网格中： （1）画出关于点的中心对称图形△． （2）与△的重叠部分的面积为　 　． 60．（2023秋•普陀区校级期末）如图，正方形，点是线段延长线一点，联结，， （1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积． （2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积． （3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角． $$期末必刷常考提升60题（考题猜想，18种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．列代数式（共3题） 1．（2024秋•闵行区期中）一辆汽车从甲地到乙地，如果以每小时千米的速度行驶，那么3小时后到达乙地，如果每小时多行驶2千米，那么从甲地到达乙地所用时间为 　 　小时（用含有的代数式表示）． 【分析】每小时行驶千米，3小时可以到达，根据“路程速度时间”可以求出甲乙两地之间的距离，如果每小时行驶千米，根据“时间路程速度”可以算出时间． 【解答】解：根据题意得：从甲地到达乙地所用时间为小时． 故答案为：． 【点评】本题考查列代数式，正确理解路程、速度、时间之间的关系是解题的关键． 2．（2024秋•闵行区校级期中）小明家最近刚购置了一套商品房，如图是这套商品房的平面图（阴影部分）（单位：．若，，并且房价为每平方米0.9万元，则购买这套房子共需要 　 　万元？ 【分析】先根据题意表示出这套房子的总面积，再将，，房价为每平方米0.9万元代入进行计算即可得． 【解答】解：这套房子的总面积为：（平方米）， ，，房价为每平方米0.9万元， （万元）， 故答案为：110.7． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，能够列出代数式，并正确计算． 3．（2024秋•闵行区校级期中）如图，已知正方形的边长为，长方形的边长为，边长为．则以为圆心，为半径的弧与、所围成的阴影部分的面积是 　 　．（用含有、和的代数式表示） 【分析】阴影部分的面积等于一个扇形面积加上△的面积加上正方形的面积再减去△的面积，据此列式求解即可． 【解答】解：以为圆心，为半径的弧与、所围成的阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确进行计算是解题关键． 二．代数式求值（共2题） 4．（2024秋•宝山区期中）已知，则代数式　　． 【分析】将代入即可得 【解答】解：， ， 则， 故答案为：24 【点评】本题主要考查代数式的求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键． 5．（2024秋•杨浦区期中）已知时，代数式的值是12，那么当时，代数式的值为 　 　． 【分析】将代入，求出值，将，以及值，代入进行求值即可． 【解答】解：时，代数式的值是12， 即：， ； 当时：． 故答案为：． 【点评】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，代入求值． 三．整式的相关概念（共3题） 6．（2024秋•普陀区期中）整式的三次项系数是 　 　． 【分析】依题意，先把多项式整理写出每项，结合多项式的定义求解即可． 【解答】解：依题意，原式可华为：， 可得三次项为：， 可得三次项系数为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式的定义，做题的关键正确理解多项式的项和系数的定义． 7．（2024秋•普陀区校级期中）已知二项式和单项式满足，那么 　 　． 【分析】依题意，可设二项式为：，进一步运用完全平方公式，整理化简可求得． 【解答】解：依题意， ①设， 原式可化为：， 展开可得：， 移项可得：， 因为为单项式， 所以可得：或1， 所以或； ②当，满足完全平方公式： ， 即：，成立， 综上，或或 故答案为：或或． 【点评】本题考查了整式单项式和多项式的概念和应用，做题的关键是设出二项式． 8．（2024秋•闵行区期中）若多项式不含项，则　 　． 【分析】多项式合并得到结果，根据结果不含项，即可确定出的值． 【解答】解：原式 由结果中不含项，得到， 则． 故答案为：． 【点评】此题考查了多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 四．整式的加减（共3题） 9．（2024秋•闵行区期中）如果、都是关于的单项式，且是一个八次单项式，是一个五次多项式，那么的次数　　 A．一定是五次 B．一定是八次 C．一定是三次 D．无法确定 【分析】利用单项式乘单项式，单项式的加减运算来判断即可． 【解答】解：是一个八次单项式，是一个五次多项式， 单项式、一个是5次单项式，一个是3次单项式， 的次数是5次． 故选：． 【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是掌握单项式乘单项式，单项式的加减运算． 10．（2024秋•崇明区期中）比少的整式是 　 　． 【分析】根据题意，由即可得到结果． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 11．（2024秋•静安区期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密）；接收方由密文明文（解密）．已知加密规则为：明文，，，，对应密文，，，，当接收方收到密文11，16，29，13时，解密得到明文，，，，则 　　． 【分析】根据题意可以得到，，，，从而可以得到、、、的值，从而可以求得的值． 【解答】解：由题意可得， ，，，， 解得，，，，， ， 故答案为：64． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法，求出、、、的值． 五．同底数幂的乘法（共2题） 12．（2024秋•杨浦区期中）若，是正整数，那么整式是　　 A．正数 B．非负数 C．负数 D．可能是正数，也可能是负数 【分析】利用幂的运算法则和完全平方公式计算． 【解答】解：，是正整数， ， 整式是非负数． 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法和完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂的乘法运算法则和完全平方公式的应用． 13．（2024秋•浦东新区期中）计算： 　 　．（结果用幂的形式示） 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 六．幂的乘方与积的乘方（共3题） 14．（2024秋•普陀区校级期中）计算：　 　． 【分析】先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握相关运算法则是关键． 15．（2024秋•闵行区校级期中）若，，则 　　． 【分析】将、代入原式，计算可得． 【解答】解：当，时， 原式， 故答案为：36． 【点评】本题主要考查幂的乘方与同底数幂的乘法的逆运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 16．（2024秋•徐汇区校级期中）计算： 　 　． 【分析】逆用同底数幂的乘法法则变形，再利用积的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 七．整式的乘除与混合运算（共6题） 17．（2024秋•普陀区校级期中）已知，其中是正整数，那么的值是　　 A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】根据题意，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．求出，，解出、，再求和即可． 【解答】解： ， 即， 所以，， 所以，， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是按照整式除法的计算法则计算． 18．（2024秋•杨浦区期中）如果的乘积中不含的一次项，则的值为 　　． 【分析】把式子展开，找到所有的一次项的所有系数，令其为0，可求出的值． 【解答】解：， 又结果中不含的一次项， ，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 19．（2024秋•闵行区校级期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为 　 　． 【分析】根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【解答】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，熟练掌握整式的运算法则是关键． 20．（2024秋•闵行区校级期中）计算： 【分析】根据相关运算法则计算，即可解题． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查幂的乘方，单项式乘多项式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 21．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 22．（2024秋•普陀区校级期中）计算：． 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式乘以多项式即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了单项式除以单项式，单项式乘以多项式，积的乘方，熟练掌握以上知识点是关键． 八．完全平方公式（共4题） 23．（2024秋•闵行区期中）如图，下列代数式中，表示图形面积错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用完全平方公式，单项式乘多项式计算． 【解答】解：根据题意可得图形面积为： ， 所以选项正确，不符合题意，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式，单项式乘多项式的计算法则． 24．（2024秋•宝山区期中）代数式可以化为，则的值是　　． 【分析】已知代数式配方后，确定出与的值，即可求出的值． 【解答】解：， 可得，， 则， 故答案为：28 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 25．（2024秋•闵行区校级期中）计算： 【分析】根据相关运算法则计算各项，再合并同类项，即可解题． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 26．（2024秋•闵行区校级期中）（1）已知，，可得： 　　， 　　； （2）已知，，求的值． 【分析】（1）利用完全平方公式进行变形得到，进行求解，即可解题； （2）利用完全平方公式进行变形得到，结合，进行求解，即可解题． 【解答】解：（1），， ， ， 故答案为：5，1； （2）由条件可知：， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查代数式求值，完全平方公式，解题的关键在于利用完全平方公式进行变形． 九．平方差公式（共5题） 27．（2024秋•杨浦区期中）下列各式中能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【解答】解：．不符合平方差公式的形式，故不符合题意； ．不符合平方差公式的形式，故不符合题意； ．，故符合题意； ．不符合平方差公式的形式，故不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 28．（2024秋•闵行区校级期中）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是　　 A． B． C． D． 【分析】利用两种方法表示出图形的面积即可． 【解答】解：第二个图形的大平行四边形的面积为， ； 故选：． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积是关键． 29．（2024秋•普陀区校级期中）一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为　　． 【分析】本题是一个列方程解应用题的题目，题目中的相等关系是，正方形的面积原来正方形的面积，可以设原来正方形的边长是．根据相等关系就可列出方程，解方程就可以求出原来正方形的边长． 【解答】解：设原来正方形的边长是．根据题意得： ， ， 解得． 【点评】本题考查了平方差公式，找出题目中的相等关系是解决本题的关键，解方程时利用平方差公式对方程的左边进行变形，可以使求解更加简便． 30．（2024秋•徐汇区校级期中）在横线上填入适当的整式： （1） 　 　； （2）　　． 【分析】（1）根据平方差公式，进而得出答案； （2）根据完全平方公式，进而得出答案． 【解答】解：（1）． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平方差公式及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 31．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 【分析】原式利用积的乘方运算法则变形，再利用平方差公式及完全平方公式化简即可得到结果． 【解答】解：原式． 【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 十．化简求值（共3题） 32．（2024秋•闵行区校级期中）已知，则 　 　 【分析】根据变形求解求解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：4052． 【点评】本题考查了完全平方公式的变形变形求值．解题的关键在于熟练掌握． 33．（2024秋•闵行区校级期中）先化简，再求值，其中，． 【分析】先根据多项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后将，代入即可． 【解答】解： ， 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键． 34．（2024秋•闵行区校级期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，则， ， 所以 解决问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【分析】（1）根据题意应用换元法，把多项式乘法转化成有关完全平方的几何背景应用，即可求出答案； （2）根据题意应用换元法，把多项式乘法转化成有关完全平方的几何背景应用，即可求出答案； （3）根据题意可知，，，，设，，求出 ，根据阴影部分面积代入计算即可． 【解答】解：（1）设，， 则，， ； （2）设，， 则， ， ， 即， ； （3）根据题意可知，，， ， 设，， 则，， ， ． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，理解阅读中的求解过程是解决本题的关键． 十一．因式分解（共4题） 35．（2024秋•黄浦区期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据因式分解的意义判断即可． 【解答】解：从左向右的变形为因式分解， 符合题意； 从右向左的变形为因式分解， 不符合题意； 没有把一个多项式化为几个整式的积的形式， 不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题的关键． 36．（2024秋•杨浦区期中）多项式形加一个单项式后能用分组的方法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 　　（写出一个正确的单项式即可） 【分析】先分解得到分组后的公因式是，从而可得答案． 【解答】解：， 必须与一组， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键． 37．（2024秋•闵行区校级期中）分解因式：． 【分析】根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解是关键． 38．（2024秋•嘉定区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答：对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1），在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式，于是可设分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中　 　，　　； （2）对于一元整式，必定有　　； （3）请你用“试根法”分解因式：． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，结合已知可得出关于，的方程，解方程即可； （2）根据题意，分别求出奇次项系数之和和偶次项系数之和，即可得出答案； （3）根据“试根法”分解即可． 【解答】解：（1） ， ，， ，． 故答案为：，； （2）的奇次项系数之和为，偶次项系数之和为， 则． 故答案为：； （3）把代入，得， ， ，， 解得：，， ． 【点评】本题考查了因式分解的意义，新定义，读懂题目信息并熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 十二．因式分解的应用（共4题） 39．（2024秋•奉贤区期中）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证　　 A． B． C． D． 【分析】第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是；这两个图形的阴影部分的面积相等． 【解答】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积． 故选：． 【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式． 40．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，则的值为 　　． 【分析】利用因式分解求的值，再代入代数式求值． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了因式分解及应用，代数式化简求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，代数式化简求值． 41．（2024秋•普陀区校级期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，，请用含有、的代数式表示正方形的边长　 　． 【分析】根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【解答】解：正方形分割成四个长方形、、、 边长为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 42．（2024秋•嘉定区期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第4个智慧优数是　　． 【分析】依题意，利用进行研究，可得或3时可分析得解． 【解答】解：依题意，结合“智慧优数”的定义， 利用进行研究，且， 可得：当或3时，“智慧优数”越小， ；；；时， 这些智慧优数是从小到大排列为：；；；． 第4个智慧优数是：16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了新定义题目，做题的关键是读懂新定义分析求解． 十三．分式的有关概念（共3题） 43．（2024秋•闵行区校级期中）下列分式中是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义求解即可． 【解答】解：．，不符合题意； ．是最简分式，符合题意； ．，不符合题意； ．，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 44．（2024秋•闵行区校级期中）化简：　 　． 【分析】先将分子和分母分别进行因式分解，再运用分式的性质化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了约分，解题的关键是掌握分式的基本性质和因式分解． 45．（2024秋•杨浦区期中）若，求 　　． 【分析】将的两边同时除以，得；将分式的分子与分母同时除以，得，分子的前两项可以写成的形式，最后将代入求值即可． 【解答】解：， 由得， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的值，将的两边同时除以，得；将分式的分子与分母同时除以，得并利用完全平方公式是解题的关键． 十四．分式的运算与化简求值（共题） 46．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，则 　　． 【分析】根据，知，可得，再利用完全平方公式解出则 的值即可． 【解答】解：， ， 在方程两边同除以得： ， ， ． 故答案为：21． 【点评】本题考查求分式的值，解题的关键是将已知变形，求出． 47．（2024秋•闵行区校级期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】原式第二项第二个因式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用十字相乘法分解因式，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式， 当时，原式． 【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． 48．（2024秋•普陀区校级期中）应用完全平方公式解决下列问题： （1）已知，，求和的值； （2）已知，求和的值． 【分析】（1）根据，进行求解即可； （2）求出，进而得到，则可得到，据此可得，则． 【解答】解：（1）由条件可得：， ； （2）由条件可得：， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的变形求值、分式加减法，熟练掌握以上知识点是关键． 十五．整数指数幂（共2题） 49．（2024秋•杨浦区期中）已知：，则 　 　． 【分析】根据：，1的任何次方为1，的偶次方为1，解答本题． 【解答】解：根据0指数的意义，得 当时，，解得． 当时，， 当时，，，指数为偶数，符合题意． 故填：或或． 【点评】本题的难点在于将幂为1的情况都考虑到． 50．（2024秋•徐汇区校级期中）若有意义，则满足的条件是 　 　． 【分析】代数式中的零指数幂和负整数指数幂的底数不能为0，再求的取值范围． 【解答】解：根据题意可知 且， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，涉及的知识点：负整数指数幂和零指数幂的底数不能为0． 十六．分式方程（共2题） 51．（2024秋•徐汇区校级期中）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）根据解分式方程步骤进行解答检验即可； （2）根据等式的性质，方程两边都乘以，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案． 【解答】解：（1） 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是增根， 原分式方程无解． （2）原方程整理得： 方程两边都乘以得： ． 化简得：． 解得， 经检验：是方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是关键． 52．（2024秋•徐汇区校级期中）如果关于的方程无解，求的值． 【分析】先去分母得整式方程，由于的系数含有字母，需对进行讨论．再根据方程无解，求出其他的值． 【解答】解：方程的两边都乘以，得 整理，得， 当时，方程无解， 当时， 由于或2时，分式方程无解． 所以当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 所以当或或时，分式方程无解． 【点评】本题考查了分式方程的解及分式方程的解法．此题容易只关注无解，而漏掉对含有字母系数的方程讨论． 十七．轴对称图形（共2题） 53．（2023秋•崇明区期末）如图，在正方形方格中，阴影部分是4张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对称图形的移法有 　　种． 【分析】画出图形即可判断． 【解答】解：如图， 有9种方案， 故答案为：9． 【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 54．（2023秋•浦东新区期末）如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点，使、、、四点联结成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 十八．旋转与中心对称（共5题） 55．（2023秋•浦东新区期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 56．（2023秋•崇明区期末）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 　　（填“”“ ”“ ”或“” 【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，由此不难找到答案． 【解答】解：如图连接，，作线段，的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为点． 【点评】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 57．（2023秋•普陀区期末）如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点、、在同一条直线上，点、、也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为 　 ． 【分析】分两种情形：当在的上方时，当在的下方时，分别求解． 【解答】解：当在的上方时，， ， ． 当在的下方时，同法可得． 故答案为：或． 【点评】本题考查作图旋转变换，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题． 58．（2022秋•浦东新区校级期末）按要求画图： （1）将三角形向上平移3格，得到三角形； （2）将三角形绕点旋转180度，得到三角形； （3）如果三角形沿直线翻折，点落到点处，画出直线，及翻折后的三角形． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△即为所求； （2）如图所示：△即为所求； （3）如图所示：△即为所求． 【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换、旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 59．（2022秋•徐汇区期末）在边长为1的正方形网格中： （1）画出关于点的中心对称图形△． （2）与△的重叠部分的面积为　 　． 【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可． （2）重叠部分是正方形，求出正方形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求作． （2）与△的重叠部分的面积， 故答案为：4． 【点评】本题考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 60．（2023秋•普陀区校级期末）如图，正方形，点是线段延长线一点，联结，， （1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积． （2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积． （3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角． 【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可； （2）根据扇形的面积计算即可； （3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【解答】解：（1）， 答：线段扫过的平面部分的面积为； （2）绕着点旋转，使得与重合，则旋转的角度是或， 扇形的面积或， 扇形的面积或， 答：线段扫过的平面部分的面积为：或； （3）如图1，旋转中心：边的中点为，顺时针， 如图2，旋转中心：点；顺时针旋转， 如图3，旋转中心：正方形对角线交点；顺时针旋转． 【点评】本题考查了作图旋转变换，列代数式，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答． $$