精品解析：湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年九年级上学期期中检测 数学试题 （测试时间：120分钟 卷面总分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、学校填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3， B. 3，2 C. 3，5 D. 5，2 3. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 函数的图像的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　） A. 旋转中心是点C B. C. D. 点D是中点 6. 用配方法解方程，变形后结果正确是（ ） A. B. C. D. 7. 设是抛物线上的三点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为，则下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 9. 关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（ ） A. 1，3 B. 1， C. ，3 D. ， 10. 已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（ ） A. B. 1 C. −1 D. 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分） 11. 抛物线开口方向为________．（填“向上”或“向下”） 12. 若函数是二次函数，则的值为_________． 13. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为______． 14. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④．其中正确结论是______（写序号）． 15. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当线段的最小值是时，的值是___________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 18. 已知抛物线． （1）开口向______，顶点坐标是______，对称轴是______，当时，随的增大而______； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知点在第一象限，若点与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 20. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 21. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的； （2）以点为旋转中心，画出把逆时针旋转得到的； （3）若绕某点顺时针旋转一定角度得到，请直接写出旋转中心D的坐标． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）若外墙的长为，当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3）设墙长为a米，若要确保能建面积为的两种长宽不同的长方形鸡场，则a的最小值为______（直接写结果） 23. 如图，在中，，． （1）如图1，点在边上，，求的值； （2）如图2，点在外部，且，，若，求证：． 24. 综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上点，且在的上方，作轴，交于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）当 时，求点E的坐标； （3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级上学期期中检测 数学试题 （测试时间：120分钟 卷面总分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、学校填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形是中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是关键． 2. 关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3， B. 3，2 C. 3，5 D. 5，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c． 【详解】解：关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是3，， 故选A． 3. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，将代入中即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的解为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 4. 函数的图像的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据的顶点为：，进行判断即可． 【详解】解：函数的图像的顶点坐标是； 故选：B． 5. 是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　） A. 旋转中心是点C B. C. D. 点D是中点 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上， ∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点， ∴A、B、C结论正确． 故选：D． 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 7. 设是抛物线上的三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由点，，与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ． 故选：A 8. 若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．根据“三天累计票房6.62亿元”列出一元二次方程即可． 【详解】解：设该增长率为x， 根据题意可得出， 故选：C． 9. 关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（ ） A. 1，3 B. 1， C. ，3 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解 【详解】解：由题意可知，当时，； 当时，； ∴该方程的根是1，， 故选：B 10. 已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（ ） A. B. 1 C. −1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据增减性确定的符号，再根据最值求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴，抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，有最大值为， 解得：或（舍去）； 故选B． 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分） 11. 抛物线的开口方向为________．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【解析】 【分析】本题主要考查了学生对二次函数图象开口方向和系数a之间关系的掌握情况．由二次函数图象开口方向和系数a之间的关系得出结论． 【详解】解：由得： ， ∴二次函数图象开口向下． 故答案为：向下． 12. 若函数是二次函数，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 故答案为：1 13. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④．其中正确结论是______（写序号）． 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可得，，的符号及与的关系，函数图象与轴有两个交点，由图象可得时，时函数取最大值，逐一分析判断各结论即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线，且抛物线与轴交点在轴上方， ，． ，故结论①错误； 抛物线与轴有2个交点， ，即，故结论②错误； 由图象可知，对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等． 当时，， 又， ． ， ，故结论③正确； 当时，可有， 当时函数值为， 又时函数取最大值， ，即． 又， ，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有③④． 故答案为：③④． 15. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当线段的最小值是时，的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，过点作于点，可证，可得，即的最小值就是的最小值，设，则，在中，运用勾股定理可得，根据二次函数求最值的方法可得当时，有最小值，且最小值为，则，可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，过点作于点， ∴， ∴四边形是正方形，则， ∵， ∴， 根据旋转可得，，且， ∴， ∴，即的最小值就是的最小值， 设， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴当时，有最小值，且最小值为，则， ∵， ∴的最小值即为的最小值，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数求最值等知识的综合，掌握旋转的性质，勾股定理求最短路经，二次函数最值的计算方法，合理作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 17. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 【答案】25度 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】证明：是由旋转得到 ，， ， 18. 已知抛物线． （1）开口向______，顶点坐标是______，对称轴是______，当时，随的增大而______； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）上，，直线，减小 （2） 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴，顶点坐标，抛物线的性质．关键是配方得到抛物线的顶点式． （1）由，即可求解； （2）若，则函数取得最大值，抛物线在顶点处取得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：， 则抛物线的开口向上，顶点坐标为：，对称轴为直线，当时，随的增大而减小， 故答案为：上，，直线，减小； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线开口向上，对称轴为直线， 若，则函数取得最大值， 当时，， 抛物线在顶点处取得最小值为2， 即的取值范围． 19. 如图，已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知点在第一象限，若点与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和点， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵点函数图象上， ∴， 解得：， ∵， ∴（舍去）， ∴． ∵点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ∴， ∴ 解得：，（舍去） ∴． 21. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的； （2）以点为旋转中心，画出把逆时针旋转得到的； （3）若绕某点顺时针旋转一定角度得到，请直接写出旋转中心D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查中心对称的性质及旋转的性质： （1）根据中心对称的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形； （2）根据旋转的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形； （3）连接对应点并做对应的垂直平分线即可求得旋转中心． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图， 【小问3详解】 解：如图，旋转中心D的坐标为． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）若外墙的长为，当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3）设墙长为a米，若要确保能建面积为的两种长宽不同的长方形鸡场，则a的最小值为______（直接写结果） 【答案】（1）长为，宽为 （2）不能，理由见解析 （3）a的最小值为40 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并结合实际情况进行判断是解题的关键． （1）设矩形的边，则边．根据题意列出一元二次方程，解方程并结合外墙长度即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． （3）根据（1）的结果可知，长的两种可能结果是32米与40米，故要确保能建两种长宽不同的长方形鸡场，a的最小值应取较大的值40． 【小问1详解】 解：设矩形的边， 则边． 根据题意，得 化简，得 解得 当时，，故不合题意舍去． 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由题意，得 化简，得 ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【小问3详解】 由（1）可知，当时，；当时，，故要确保能建面积为的两种长宽不同的长方形鸡场时，a的最小值为40． 23. 如图，在中，，． （1）如图1，点在边上，，求的值； （2）如图2，点在的外部，且，，若，求证：． 【答案】（1）2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由角的数量关系可求，，由直角三角形的性质可得，即可求解； （2）将绕点A逆时针旋转，得到，过点A作于H，由等腰三角形的性质可求，由“”可证，可得，，由角的数量关系可证，可证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）当 时，求点E的坐标； （3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点 E的坐标为 ； （3）存在，点N的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为：，设点，则点，由，求得，即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线：，再求得，分两种情况根据平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入中， 得：， 解得：， ∴ 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解： ， 设直线的解析式为：， 将点，代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ， 解得：， 此时，， ∴点 E的坐标为 ； 【小问3详解】 解：存在， 由题意，可知抛物线的对称轴为直线： ， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵点，， ， 由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过平移已知顶点来找到点N，如图： 当为边时，点由点向右平移4个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度得到， ∴四边形平行四边形， ∴， 点由点向左平移4个单位长度， ∴点向左平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当为对角线时，点由点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度， ∴点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到， 则四边形是平行四边形， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，平移的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $