精品解析：天津市第一百中学2023-2024学年高一上学期过程性诊断（2）数学试卷

天津市第一百中学2024—2025学年第一学期过程性诊断（2） 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 下列说法正确个数为（ ） ①命题“”的否定是“” ②函数是定义在R上奇函数，当时，，则当时 ③若的定义域为R，则实数a的取值范围 ④已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ⑤已知幂函数对于， 都有，则 A 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 9. 已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（ 本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 10. 已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是________ ． 11. 是第二象限角，为其终边上一点，且，则的值为_____________. 12. 计算：______ ． 13. 已知 ， 则________ . 14. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_______ 15. 已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是__________. 三、解答题（ 本大题共5小题，共75分． 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 设全集，已知集合，集合， （1）求 （2）若且，求实数的取值范围. 17. 已知 （1）化简； （2）若，求的值： （3）若为第三象限角，且，求的值. 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于不等式恒成立，求实数a取值范围． （3），解关于不等式. 19. 已知函数（）是上的奇函数． （1）求实数的值； （2）利用定义证明函数的单调性； （3）若不等式恒成立，求实数k的取值范围． 20. 已知，函数. （1）求不等式的解集； （2）设，若存在实数x，使得成立，求实数的最小值； （3）若，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第一百中学2024—2025学年第一学期过程性诊断（2） 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】由已知条件可得，因此，. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程解法可得等价于且，可得结论. 【详解】易知， 当时，满足，但此时，即充分性不成立； 若，可得且，即必要性成立； 因此可得“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 3. 已知则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数单调性可限定出的取值范围即可得结论. 【详解】由对数函数单调递减可知，即 由指数函数单调递减可知，即； 再由指数函数单调递增可知，即； 所以. 故选：D 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的奇偶性，排除AC，再代入特殊值，排除D，选出正确答案. 【详解】定义域为R， 且， 故为偶函数，关于y轴对称，AC错误； ，，故B正确，D错误. 故选：B. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 又，，， 所以， 所以函数有唯一零点，且在内. 故选：C 6. 函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数、都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是. 故选：D. 7. 已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即可求解. 【详解】因为，所以. 又①， ②， 由①②得，， ， 故函数的值域为，函数的值域也是， 因为即，函数（）在上单调递减， 所以，即，所以. 故选：B. 8. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“”的否定是“” ②函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时 ③若的定义域为R，则实数a的取值范围 ④已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ⑤已知幂函数对于， 都有，则 A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由存在量词命题的否定即可判断；对于②，由奇偶性结合题设计算求解时解析式即可判断；对于③，由题设得恒成立，分和两种情况分析，当时列出关于a的不等式组计算即可得解；对于④，由题设列出关于a的不等式组计算即可得解；对于⑤，先由幂函数得，求出m即可得，再由函数奇偶性即可得解. 【详解】对于①，命题“”的否定是“”，故①错误； 对于②，因为函数是定义在R上的奇函数，所以且， 又因为当时，， 所以当时，，故，故②正确； 对于③，的定义域为R，所以恒成立， 当时，得恒成立，符合； 当时，则， 所以满足题意的实数a的取值范围，故③错误； 对于④，由题设，将代入得， 因为函数在R上单调递增， 所以， 所以满足题意的实数a的取值范围是，故④正确； 对于⑤，因为幂函数， 所以或，所以或， 又即函数为偶函数，所以函数，故，故⑤正确； 故选：C. 9. 已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得的单调性，从而得到在上的最值，由条件得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 所以在区间上单调递减，其最大值与最小值分别为，， 则， 即，则， 得，整理得， 令，则其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 因为存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1， 所以存在，使得成立，即， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 二、填空题（ 本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 10. 已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形面积公式计算可得结果. 【详解】设扇形的中心角的弧度数为， 根据扇形面积公式可得，即，解得； 故答案为：4 11. 是第二象限角，为其终边上一点，且，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， ∵是第二象限角， ∴， ∴，解得． ∴． 答案： 12. 计算：______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算性质，结合换底公式计算化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知 ， 则________ . 【答案】## 【解析】 【分析】先由将所求原式变形，再弦化切即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案：. 14. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为在区间上单调递减， 而在上单调递增， 所以在区间上单调递减，且恒成立， 而开口向上，对称轴为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】根据题意,作出函数的图象,如图: 令，因为方程有6个相异的实数根, 所以方程有两个不等的实根， 所以, 解得或, 不妨设这两根, 则或, 当时，，且，所以无解； 当时， 令, 只需,即,解得, 终上所述：. 故答案为:. 三、解答题（ 本大题共5小题，共75分． 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 设全集，已知集合，集合， （1）求 （2）若且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或. （2） 【解析】 【分析】（1）解分式与二次不等式化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解； （2）根据题意得到，再利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 解，得，则， 解，得，则， 所以，， 则或. 【小问2详解】 因为，所以， 而，， 当时，则，解得，满足题意； 当时，则，且，解得； 综上，，即实数的取值范围为. 17. 已知 （1）化简； （2）若，求的值： （3）若为第三象限角，且，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，从而得解； （2）利用（1）中结论，直接代入，结合三角函数诱导公式即可得解； （3）根据题意，利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，从而得解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． （3），解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） （3）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数关系代入方程可解得，； （2）将不等式整理可得，利用基本不等式计算可得即可； （3）对参数的取值进行分类讨论，利用一元二次不等式解法即可得出对应解集. 【小问1详解】 由的解集为可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时, , 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以 【小问3详解】 不等式即为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19. 已知函数（）是上的奇函数． （1）求实数的值； （2）利用定义证明函数的单调性； （3）若不等式恒成立，求实数k取值范围． 【答案】（1）， （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质可解得，，代入检验可得结论； （2）按照单调性定义以及指数函数单调性即可证明为单调递减函数； （3）由（2）中结论可得只需满足恒成立即可,再由指数函数单调性可得. 【小问1详解】 依题意可知，解得； 即，易知，即， 解得； 经检验，时，为奇函数，满足题意； 因此实数的值为，； 【小问2详解】 由（1）可得； 取任意，且, 则 ； 因为，所以，又易知， 所以，即； 因此函数为单调递减函数； 【小问3详解】 由可得； 由（2）中为单调递减可知，即； 所以恒成立即可，又， 显然为单调递增函数，且； 所以即可满足题意. 20. 已知，函数. （1）求不等式的解集； （2）设，若存在实数x，使得成立，求实数的最小值； （3）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域为R，代入化简得到，令，则，求出即的取值范围，再结合指数函数的性质即可得解. （2）先由题设得方程有实数解，接着令得方程有实数解，再结合函数单调性性质求出即可计算求解. （3）先由题意得，接着求出，再分、和求出即可计算得解. 【小问1详解】 由可知函数的定义域为R， 由得即， 令，则，解得，即，故， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题可得， 所以存在实数x，使得成立，即成立， 所以方程有实数解， 令，即，当且仅当即时等号成立， 所以方程有实数解， 因为和为上的增函数，所以为上的增函数， 所以， 所以 所以满足题意的实数的最小值为. 【小问3详解】 由题意，使得， 所以， 由（1）知，因为，所以， 所以， 因为， 当时，在区间上单调递增，所以， 则，所以； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则即， 所以； 当时，在区间上单调递减，所以， 则，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$