教材拓展5：解三角形讲义-2025届高三数学一轮复习

教材挖掘拓展5 解三角形 教材挖掘拓展一：三角形的解有问题 【链接教材】（人教A版必修二P47例8）在中，已知，，，解这个三角形. 【应用1】△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sin2C+cos（A+B）=0且， a <c, a +b=5.则△ABC的面积是 . 教材挖掘拓展二： 射影定理及向量方法证明 已知在△ABC中BC， CA， AB的长分别为a， b， c，试用向量方法证明： （1）c＝bcosA＋acosB； （2）c2＝a2＋b2－2abcosC. 教材挖掘拓展三：海伦公式与秦九韶公式的等价性 【链接教材】人教A版必修第二册P55阅读与思考：海伦公式与秦九韶公式 已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则S＝，其中p＝(a＋b＋c).这是古希腊数学家海伦(Heron，约1世纪)在其著作《测地术》中展现的，而证明过程在海伦的另两本著作《测量仪器》与《度量术》中，公式呈现了轮换的对称美，用之求已知三角形三边时的面积明快简捷，人们称之为海伦三角形面积公式，简称海伦公式． 我国南宋著名数学家秦九韶(约1202—约1261)在其著作《数书九章》卷五中，用“三斜求积”求得S＝，称之为“三斜求积”公式，后人称这一伟大创举为秦九韶公式． 2．两个公式的证明与等价性 下面用现在所学习的求三角形面积的方法先证明秦九韶公式，再说明秦九韶公式与海伦公式的等价性． 根据余弦定理的推论得， 则，代入， 得（秦九韶公式的证明） 又， 所以， 代入可得海伦公式； 说明秦九韶公式与海伦公式是等价的，因此统称为海伦—秦九韶公式． 【链接教材】（必修二P54T20） 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证： （1）三角形的面积； （2）若r为三角形的内切圈半径，则； （3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，. 【应用1】我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则______. 教材挖掘拓展四：三角形中线问题 【链接教材1】（人教A版必修第二册P53 T15） 的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，， 【链接教材2】（人教A版必修第二册P53习题6.4T12) 如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值. 【应用1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足． (1)求角B． (2)若边上的中线长为，求的面积和周长． 教材挖掘拓展五：角平分线问题 1.角平分线定理及其推导 [定理]　在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D(如图)，则有＝. 证明：因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC， 在△BAD中，由正弦定理得＝， 在△CAD中，由正弦定理得＝，又∠BAD＝∠CAD， 所以＝. 2.处理角平分线问题的常用策略 【应用1】如图，已知在中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 【应用2】已知的内角的对边分别为，且 (1)求的值； (2)给出以下三个条件： 条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （i）求的值；（ii）求的角平分线的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 教材挖掘拓展5 解三角形 教材挖掘拓展一：三角形的解有问题 【链接教材】（人教A版必修二P47例8）在中，已知，，，解这个三角形. 【解析】由正弦定理，得. 因为，，所以.于是，或. （1）当时，.此时 . （1）当时，.此时 . 由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. 【应用1】△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sin2C+cos（A+B）=0且， a <c, a +b=5.则△ABC的面积是 . 【解析】由， 有. 由， ，ab=4, . 教材挖掘拓展二： 射影定理及向量方法证明 已知在△ABC中BC， CA， AB的长分别为a， b， c，试用向量方法证明： （1）c＝bcosA＋acosB； （2）c2＝a2＋b2－2abcosC. 【解析】（1）∵＝＋， ∴·＝(＋)·， 即||2＝||·||cosA＋||||cosB， ∴c2＝bccosA＋accosB，则c＝bcosA＋acosB； （2）∵＝＋， ∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即c2＝b2＋a2＋2b·acos(180°－C)， ∴c2＝a2＋b2－2abcosC. 教材挖掘拓展三：海伦公式与秦九韶公式的等价性 【链接教材】人教A版必修第二册P55阅读与思考：海伦公式与秦九韶公式 已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则S＝，其中p＝(a＋b＋c).这是古希腊数学家海伦(Heron，约1世纪)在其著作《测地术》中展现的，而证明过程在海伦的另两本著作《测量仪器》与《度量术》中，公式呈现了轮换的对称美，用之求已知三角形三边时的面积明快简捷，人们称之为海伦三角形面积公式，简称海伦公式． 我国南宋著名数学家秦九韶(约1202—约1261)在其著作《数书九章》卷五中，用“三斜求积”求得S＝，称之为“三斜求积”公式，后人称这一伟大创举为秦九韶公式． 2．两个公式的证明与等价性 下面用现在所学习的求三角形面积的方法先证明秦九韶公式，再说明秦九韶公式与海伦公式的等价性． 根据余弦定理的推论得， 则，代入， 得（秦九韶公式的证明） 又， 所以， 代入可得海伦公式； 说明秦九韶公式与海伦公式是等价的，因此统称为海伦—秦九韶公式． 【链接教材】（必修二P54T20） 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证： （1）三角形的面积； （2）若r为三角形的内切圈半径，则； （3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，. 【解析】证明：（1）已证（2）因为，所以三角形的周长， 又三角形的面积，其中r为内切圆半径， 所以； （3）根据三角形的面积公式， 得. 同理可证，. 【应用1】我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则______. 【答案】1或 【解析】在中，由正弦定理得, 而，故，结合可得 即有，由，可得，整理得，解得或， 故或，符合题意，故答案为：1或 教材挖掘拓展四：三角形中线问题 【链接教材1】（人教A版必修第二册P53 T15） 的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，， 【解析】证明：根据余弦定理得， 所以， 所以， 同理可得，. 【链接教材2】（人教A版必修第二册P53习题6.4T12) 如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值. 【答案】 【解析】∵M，N分别是BC，AC的中点， . 与的夹角等于. ， ， ， ． 【应用1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足． (1)求角B． (2)若边上的中线长为，求的面积和周长． 【解析】（1）由外接圆半径为得，由，得， 利用正弦定理得：，即， 化简得，由C为的内角，得，可得， 又B为的内角，所以． （2）由正弦定理得：，设D为边上的中点，则， 在中，，在中，， 因为，所以，可得， 由余弦定理，即，， 由三角形面积公式得：， 由，得，得，所以周长为． 教材挖掘拓展五：角平分线问题 1.角平分线定理及其推导 [定理]　在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D(如图)，则有＝. 证明：因为∠ADB＋∠ADC＝π， 所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC， 在△BAD中，由正弦定理得＝， 在△CAD中，由正弦定理得＝，又∠BAD＝∠CAD， 所以＝. 2.处理角平分线问题的常用策略 【应用1】如图，已知在中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 【解析】（1）因为，,所以， 因为，所以由正弦定理知，即， 因为，所以，， 在中，． （2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或． 因为，所以，因为AM为的平分线， 所以（h为底边BC的高） 所以，故，而由（1）知， 所以． 【应用2】已知的内角的对边分别为，且 (1)求的值； (2)给出以下三个条件： 条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （i）求的值；（ii）求的角平分线的长. 【解析】(1)，， ，，得Z，由，得； (2)若条件①正确，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确； (i)由，，得，解得， 由余弦定理，得， 因为，所以，由正弦定理，得，即； (ii)由正弦定理，得，即，因为平方，，所以，在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得，又，上述两式相除，得， 解得，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$