教材拓展3：导数讲义-2025届高三数学一轮复习

教材挖掘拓展3 导数 教材拓展4：三次函数的图象和性质 1.三次函数的单调性 【链接教材】（人教A版2019选择性必修第二册P99T13）利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状： （1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ （2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间． 2.三次函数图象的对称性 推广拓展：对于一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)来说，点(x0，f(x0))是函数f(x)图象的对称中心，其中x0满足方程f″(x0)＝0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f ″(x)为函数f(x)的二阶导数 证明：因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以f″(x)＝6ax＋2b.因为f″(x0)＝0，所以f″(x0)＝6ax0＋2b＝0，所以x0＝－，所以f(x0＋x)＋f(x0－x)＝a(x0＋x)3＋b(x0＋x)2＋c(x0＋x)＋d＋a(x0－x)3＋b(x0－x)2＋c(x0－x)＋d＝2ax＋2bx＋2cx0＋2d＋(6ax0＋2b)x2＝2ax＋2bx＋2cx0＋2d＋(－.6a+2 b）x2＝2f(x0)，所以点(x0，f(x0))是函数f(x)图象的对称中心． 【应用1】函数f(x)＝x3－x＋2的图象的对称中心是________． 3.三次函数图象的极值与最值 【应用2】设x1,x2是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若x1<2<x2,则实数a的取值范围是　　　　.  【应用3】设 ，若为函数的极小值点，则（       ） A． B． C． D． 4.三次函数的零点 【应用4】若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有两个零点x1，x2，且|x2－x1|＝1，则函数f（x）所有可能的极大值为 . 5.三次函数的图象与性质的综合 【应用4】已知函数图象的对称中心为，且的极小值为f（2）＝. （1）求的解析式； （2）设，若有三个零点，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，当时，使函数在定义域[a,b]上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由. 教材挖掘拓展二：导函数与原函数的对称性、周期性 (1)若函数f(x)是可导函数,且图象关于(m,n)对称,则其导函数f'(x)的图象关于x=m轴对称. (2)若函数f(x)是可导函数,且图象关于x=m对称,则其导函数f'(x)的图象关于(m,0)对称. (3)若定义在R上的函数f(x)是可导函数,且周期为T,则其导函数f'(x)是周期函数,且周期也为T. (4)若函数f(x)是可导函数,定义域为D,其导函数f'(x)的图象关于x=m轴对称,则f(x)图象关于对称,x0为定义域内任意一点. 偶函数f'(x)的原函数f(x)图象关于对称,当f(x0)+f(-x0)=0时,f(x)为奇函数. (5)若函数f(x)是可导函数,定义域为D,其导函数f'(x)的图象关于(m,n)对称,当n≠0时,函数f(x)图象不具有对称性;当n=0时,且∃x0∈D,使得f(x0)=f(2m-x0),此时函数f(x)图象关于x=m对称. 奇函数f'(x)的原函数f(x)关于x=对称,当f(x0)+f(-x0)=0时,f(x)为偶函数. (6)定义在R上的函数f(x)是可导函数,其导函数f'(x)是周期函数,周期为T,若∃x0∈R,使得f(x0+T)=f(x0),则函数f(x)是周期函数,周期为T. 【应用1】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【应用2】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足，，，记，则下列说法中正确的有（    ）. A．函数的图象关于对称 B．函数为奇函数 C．函数的图象关于对称 D．数列的前2023项之和为－4050 教材挖掘拓展三：　泰勒公式　 教材拓展1．泰勒公式 【链接教材】【链接教材】（人教A版2019必修第一册P T ）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算，就得到.试用你的计算工具计算，并与上述结果比较. 拓展：若函数f(x)在含有x0的开区间(a，b)内有n＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x－x0的多项式和一个余项的和： f(x)＝f(x0)＋f′(x0)·(x－x0)＋·(x－x0)2＋·(x－x0)3＋…＋·(x－x0)n＋Rn(x). 教材拓展2．常见的泰勒展开式 在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式： (1)ex＝1＋x＋＋＋…＋＋…； (2)ln (x＋1)＝x－＋－＋…＋(－1)n＋1＋…； (3)sin x＝x－＋－＋…＋(－1)n－1·＋…； (4)cos x＝1－＋－＋…＋(－1)n－1·＋…； (5)＝1＋x＋x2＋…＋xn＋…. 【应用1】( 2021高考数学全国乙卷理12t)设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，，则( ) A． B． C． D． 教材挖掘拓展三：重要不等式 教材拓展 1： 【链接教材】 （人教A版2019选择性必修第二册P 89例4 设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系． 图5.3-8 （人教A版2019选择性必修第二册P94T2） 证明不等式：， 教材拓展 2： 【链接教材】（人教A版2019选择性必修第二册P99T12）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），；（2），． 教材拓展 3： 【链接教材】 （人教A版2019选择性必修第二册P97 练习T1） 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，， 【应用1】（2022年高考甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【应用2】某同学向老师请教一题：当时，函数图像恒在直线的上方（不含该直线），求实数的取值范围.老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号.且方程在上有解”，根据老师的提示可得的取值范围是 . 【应用3】已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，对任意的，求证：. 【应用4】已知函数f(x)=ex-x-a(a∈R),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在x轴上的截距为. (1)求f(x)的最小值; (2)证明:当x>0时,ex-sin x-1>xln x. 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 教材挖掘拓展3 导数 教材拓展4：三次函数的图象和性质 1.三次函数的单调性 【链接教材】（人教A版2019选择性必修第二册P99T13）利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状： （1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ （2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间． 【解析】（1）时，有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，如下图所示：       题设中的函数的图象，有：在上单调递减，上单调递增，上单调递减. （2）I、当时， 当时，，则，即单调递增； 当时，，若，则，， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，，则，即单调递减； 当时，，若，则，， ∴时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减； II、当时，，对称轴为， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； III、当、时，：当时，单调递增；当时，单调递减； IV、当、、时，：无单调性. 2.三次函数图象的对称性 推广拓展：对于一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)来说，点(x0，f(x0))是函数f(x)图象的对称中心，其中x0满足方程f″(x0)＝0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f ″(x)为函数f(x)的二阶导数 证明：因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以f″(x)＝6ax＋2b.因为f″(x0)＝0，所以f″(x0)＝6ax0＋2b＝0，所以x0＝－，所以f(x0＋x)＋f(x0－x)＝a(x0＋x)3＋b(x0＋x)2＋c(x0＋x)＋d＋a(x0－x)3＋b(x0－x)2＋c(x0－x)＋d＝2ax＋2bx＋2cx0＋2d＋(6ax0＋2b)x2＝2ax＋2bx＋2cx0＋2d＋(－.6a+2 b）x2＝2f(x0)，所以点(x0，f(x0))是函数f(x)图象的对称中心． 【应用1】函数f(x)＝x3－x＋2的图象的对称中心是________． 【答案】(0，2) 【解析】　方法一：由题意得f′(x)＝3x2－1，f″(x)＝6x，令f″(x)＝6x＝0， 三次函数图象的对称性得x＝0，又f(0)＝2， 所以函数f(x)＝x3－x＋1的图象的对称中心是(0，2). 方法二：令g(x)＝x3－x.因为g(x)是奇函数，图象关于点(0，0)对称，所以函数f(x)＝x3－x＋2的图象关于点(0，2)对称． 3.三次函数图象的极值与最值 【应用2】设x1,x2是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若x1<2<x2,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由题意得f'(x)=3x2-4ax+a2的两个零点x1,x2满足x1<2<x2,所以f'(2)=12-8a+a2<0,解得2<a<6. 答案:(2,6) 【应用3】设 ，若为函数的极小值点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点， 必有 ，即 ， 若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点， 必有，即；故选：C. 4.三次函数的零点 【应用4】若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有两个零点x1，x2，且|x2－x1|＝1，则函数f（x）所有可能的极大值为 . 【答案】0， 【解析】由于，所以， 由于函数恰有两个零点，所以有2个不等实数根， 所以的图象呈先增，再减，再增的趋势， 所以其中一个极值点就是零点，假设， 即是极值点又是零点，如下图： 则，此时的极大值刚好为， 即是极值点又是零点，如下图： 则，即， 设为极大值点，则，即， 显然，则， 整理得，又，所以； 此时的极大值为， 故答案为：0，. 5. 三次函数的图象与性质的综合 【应用4】已知函数图象的对称中心为，且的极小值为f（2）＝. （1）求的解析式； （2）设，若有三个零点，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，当时，使函数在定义域[a,b]上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由. (1)；(2) ；(3)存在， 【解析】（1），则 由题意得f（1）＝0，f（2）＝﹣2，＝0， 则，解得， 故f（x）＝x3﹣3x2+2 （2）由于T（x）＝f（x）+m＝x3﹣3x2+2+m，则＝3x(x﹣2) 令＞0，解得x＜0或x＞2，令＜0，解得0＜x＜2， 则当x=0时函数T（x）取极大值为T（0）＝2+m； 当x=2时函数T（x）取极小值为T（2）＝﹣2+m， 由于T（x）有三个零点，则，解之得m∈（﹣2，2）； （3）假设存在这样的实数k， 显然g（x）＝x2﹣2x+k，对称轴为直线x＝1， 当a＜b≤1时，g（x）递减， 由①﹣②得a+b＝1，满足范围，且分别以b＝1﹣a和a＝1﹣b代入①、②得： ，即k＝﹣x2+x+1在[1，+∞）上有两解，可得； 当a≤1＜b时，显然＝g（1）＝k﹣1＝a， 又，所以，则b＝a2﹣2a+k＝a2﹣a+1， 又1＜b≤2﹣a，则1＜a2﹣a+1≤2﹣a，所以a∈[﹣1，0)，则k∈[0，1)； 当1≤a＜b时，显然不符合，舍； 综上：存在符合题意要求的k， k的范围为. 教材挖掘拓展二：导函数与原函数的对称性、周期性 (1)若函数f(x)是可导函数,且图象关于(m,n)对称,则其导函数f'(x)的图象关于x=m轴对称. (2)若函数f(x)是可导函数,且图象关于x=m对称,则其导函数f'(x)的图象关于(m,0)对称. (3)若定义在R上的函数f(x)是可导函数,且周期为T,则其导函数f'(x)是周期函数,且周期也为T. (4)若函数f(x)是可导函数,定义域为D,其导函数f'(x)的图象关于x=m轴对称,则f(x)图象关于对称,x0为定义域内任意一点. 偶函数f'(x)的原函数f(x)图象关于对称,当f(x0)+f(-x0)=0时,f(x)为奇函数. (5)若函数f(x)是可导函数,定义域为D,其导函数f'(x)的图象关于(m,n)对称,当n≠0时,函数f(x)图象不具有对称性;当n=0时,且∃x0∈D,使得f(x0)=f(2m-x0),此时函数f(x)图象关于x=m对称. 奇函数f'(x)的原函数f(x)关于x=对称,当f(x0)+f(-x0)=0时,f(x)为偶函数. (6)定义在R上的函数f(x)是可导函数,其导函数f'(x)是周期函数,周期为T,若∃x0∈R,使得f(x0+T)=f(x0),则函数f(x)是周期函数,周期为T. 【应用1】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由为奇函数可得，即， ，即，即， 所以函数的图像关于直线对称， 由是偶函数可得为奇函数， ， 即， 所以函数的图像关于点对称； 将代入，得， 将代入，得，B选项正确； 将代入得，得，A选项错误； ，C选项正确； 将代入，得，故，，D选项错误. 故选：BC. 【应用2】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足，，，记，则下列说法中正确的有（    ）. A．函数的图象关于对称 B．函数为奇函数 C．函数的图象关于对称 D．数列的前2023项之和为－4050 【答案】BD 【解析】且关于对称 由知关于对称，故A错，由这两个对称可得周期 又，综上及有 故，的前2024项之和为，前2023项之和为，故D对 记，由得 则，故B对 不妨取，由得 故 不关于对称，C错 故选：BD 教材挖掘拓展三：　泰勒公式　 教材拓展1．泰勒公式 【链接教材】（人教A版2019必修第一册P T ）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算，就得到.试用你的计算工具计算，并与上述结果比较. 【解析】依题意，用前5项计算，即 ． 与用前三项计算的结果比较可以发现，用前5项计算的结果精确度更高，同时可知，当取的项数足够多时，可以达到更高的精确度，甚至达到任意精确度的要求． 拓展：若函数f(x)在含有x0的开区间(a，b)内有n＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x－x0的多项式和一个余项的和： f(x)＝f(x0)＋f′(x0)·(x－x0)＋·(x－x0)2＋·(x－x0)3＋…＋·(x－x0)n＋Rn(x). 教材拓展2．常见的泰勒展开式 在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式： (1)ex＝1＋x＋＋＋…＋＋…； (2)ln (x＋1)＝x－＋－＋…＋(－1)n＋1＋…； (3)sin x＝x－＋－＋…＋(－1)n－1·＋…； (4)cos x＝1－＋－＋…＋(－1)n－1·＋…； (5)＝1＋x＋x2＋…＋xn＋…. 【应用1】( 2021高考数学全国乙卷理12t)设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一（构造函数）：令则 令，则 令，则 综上所述，，选B。 法二：令，则 令，则 综上所述，，选B。 法三（泰勒公式）： 综上所述，，选B。 教材挖掘拓展三：重要不等式 教材拓展 1： 【链接教材】 （人教A版2019选择性必修第二册P 89例4 设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系． 图5.3-8 解：因为，，所以，．当时，；当时，；当时，． 所以，，在上都是增函数．在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”． 所以，，的图象依次是图5.3-8中的，． （人教A版2019选择性必修第二册P94T2） 证明不等式：， 【解析】由题设，要证只需证即可， 令，则，而， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ∴，得证. 教材拓展 2： 【链接教材】（人教A版2019选择性必修第二册P99T12）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），；（2），． 【解析】（1）由题意，等价于，令， ∴，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴，得证. （2）由题设，等价于，等价于， 令，则，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即，∴在上恒成立， 令，则，而， ∴时，，单调递增，故在上恒成立，即，∴在上恒成立， 综上，，上恒成立. 教材拓展 3： 【链接教材】 （人教A版2019选择性必修第二册P97 练习T1） 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，， 【解析】∵等价于， ∴可令，则，在上， ∴在上单调递增，即， ∴在上恒成立，则，得证. 注意：常见的放缩公式如下: ①ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号. ②ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.若已知参数范围,则利用参数的范围进行放缩,达到消参的目的.也可以利用局部函数的有界性进行放缩,然后再构造函数进行证明. 【应用1】（2022年高考甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】[方法一]：构造函数因为当 故，故，所以； 设，，所以在单调递增， 故，所以，所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当，取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A． 【应用2】某同学向老师请教一题：当时，函数图像恒在直线的上方（不含该直线），求实数的取值范围.老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号.且方程在上有解”，根据老师的提示可得的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以，由可得， 由题意恒成立，当且仅当时取等号；且方程在上有解， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，因此实数a的取值范围是. 故答案为：. 【应用3】已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，对任意的，求证：. 【详解】（Ⅰ）. 当时，恒成立. ∴此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 当时，由得：，由，得. ∴此时的单调递增区间为，单调递减区间为. （Ⅱ）时，，由（1）知在上为增函数，在上为减函数，∴， ∴，当且仅当时取“”. . . ∵，∴，，，∴. ∴只要证明：.又，∴上式成立. ∴. 【应用4】已知函数f(x)=ex-x-a(a∈R),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在x轴上的截距为. (1)求f(x)的最小值; (2)证明:当x>0时,ex-sin x-1>xln x. 解:(1)第1步:利用切线在x轴上的截距求出a. 由题意知f'(x)=ex-1,f'(1)=e-1,又f(1)=e-1-a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1-a)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-a,令y=0,得x=,所以a=1. 第2步:求f(x)的最小值. 所以f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1. 因为当x>0时f'(x)>0,当x<0时f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(x)极小值=f(0)=0. (2)证明:第1步:先证x>sin x(x>0). 设h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,h(x)单调递增,所以当x>0时,h(x)>h(0)=0,即x>sin x(x>0). 第2步:实现放缩处理. 所以ex-sin x-1>ex-x-1,所以要证ex-sin x-1>xln x,只需证明f(x)>xln x即可. 第3步:证明不等式. 当x∈(0,1)时,f(x)>0,xln x<0,所以f(x)>xln x.当x∈[1,+∞)时,设F(x)=f(x)-xln x=ex-x-1-xln x, 则F'(x)=ex-1-(1+ln x)=ex-ln x-2. 设g(x)=ex-ln x-2,则g'(x)=ex-, 因为g'(x)在[1,+∞)上单调递增,且g'(1)=e-1>0,所以g'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增.又g(1)>0,所以F'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,故F(x)在[1,+∞)上单调递增,F(x)≥F(1)=e-2>0在[1,+∞)上恒成立.综上,当x>0时,ex-sin x-1>xln x. 试卷第10页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$