精品解析：2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试 数学真题卷 本试卷共三大题，25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟. 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知为虚数单位，，则实数等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（ ） A B. C. D. 10. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（ ） A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 11. 函数的零点是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（ ） A. M是不可能事件 B. N是必然事件 C. 是不可能事件 D. 是必然事件 14. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 15. 从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 16. 设函数是定义域为的偶函数，若在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 17. 已知两条直线，与平面，则下列结论中正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 18. 已知函数，，下列关于函数和的三个结论： ①的值域是； ②存在，使得，； ③任意x，，都有. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. ________. 20. 已知，，若，则________. 21. 某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则________. 22. 如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距________km. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 23. 已知函数. （1）求函数最小正周期； （2）求函数在上的单调递增区间. 24. 如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的表面积. 25. 为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长米，宽米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中. （1）若种植植物的区域面积不小于平方米，求的取值范围； （2）若修建观赏通道总费用为元，种植植物的费用为元/平方米（为正常数）.当为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m表示）.（完成此计划的总费用修建观赏通道的总费用种植植物的总费用） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试 数学真题卷 本试卷共三大题，25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟. 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：D 2. 设命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题， 所以命题p的否定为：，． 故选：B． 3. 已知为虚数单位，，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简方程可得，由此可求. 【详解】因为，即， 可得，所以. 故选：C 4. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 5. 如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明是异面直线CD与所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角． 【详解】∵， ∴是异面直线CD与所成的角或其补角， 在直角中，， ，所以， 所以异面直线CD与所成的角是， 故选：A． 6. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的性质，直接判断函数的奇偶性. 【详解】A.的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误； B.是非奇非偶函数，故B错误； C.奇函数，故C正确； D.的定义域是，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 7. 已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积计算公式可得. 【详解】由扇形的面积公式，可得， 故选：A. 8. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，成立，反之当时，成立， 所以p是q的充要条件. 故选：C 9. 从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】根据众数的定义可得， 该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值. 故选：A. 10. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（ ） A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果. 【详解】对于A，得满足题意； 对于B，得不满足题意； C，得不满足题意； D，得不满足题意. 故选：A. 11. 函数零点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，解方程可得结论. 【详解】令，可得， 所以，故. 所以函数的零点是. 故选：B. 12. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（ ） A. M是不可能事件 B. N是必然事件 C. 是不可能事件 D. 是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 14. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数图象与非正半轴的交点个数及在上单调性判断即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，排除AB； 当时，由，得或，此时函数图象与非正半轴有2个交点，排除C，选项D符合题意. 故选：D 15. 从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，得到不同的对数为，，， ，，，共6个对数，其中为整数的有2个， 所以概率. 故选：B 16. 设函数是定义域为的偶函数，若在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的单调性比较，结合偶函数性质可得，由此确定结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，， 所以，A错误； 因为函数是定义域为的偶函数， 所以，B错误； 所以，，D正确，C错误. 故选：D. 17. 已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或异面，故A错误； 对于B；因为，则存在直线，使得，又，所以，则，故B正确； 对于C：因为，，则或或与平面相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：因为，，则或，故D错误. 故选：B 18. 已知函数，，下列关于函数和的三个结论： ①的值域是； ②存在，使得，； ③任意x，，都有. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合，判断②，根据指数运算，即可判断③. 【详解】①，当，即时等号成立，故①正确； ②联立，解得：，，显然这样矛盾，故②错误； ③， ， 所以，故③正确. 故选：C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. ________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合诱导公式和特殊角三角函数结论求解. 【详解】. 故答案为：. 20. 已知，，若，则________. 【答案】1 【解析】 分析】根据向量垂直坐标表示列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以 故答案为：. 21. 某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则________. 【答案】300 【解析】 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人， 则每个学生被抽到的概率为， 可得，解得（人）， 故答案为：. 22. 如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距________km. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，，，利用余弦定理求 【详解】由条件可得，，， 由余弦定理可得， 所以， 故. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 23. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的单调递增区间. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解； （2）结合正弦函数性质求函数的单调递增区间，再求其与交集即可. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 令，， 则，. 所以函数的单调递增区间为，， 又因为，所以在上的单调递增区间为. 24. 如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得. （2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可. 【小问1详解】 证法一：由题意知，为正三角形， D为AC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 证法二：如图，取中点E，连接DE，BE， 则或其补角即为异面直线与BD所成的角， 在中，，，， 则为直角三角形，， 即异面直线与BD所成的角为直角， 故. 【小问2详解】 因为为正三角形，，所以， 所以的面积， 又平面ABC，所以，， 所以的面积， 的面积， 由（1）可知，平面，所以，， 所以的面积， 所以三棱锥的表面积. 25. 为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长米，宽米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中. （1）若种植植物区域面积不小于平方米，求的取值范围； （2）若修建观赏通道的总费用为元，种植植物的费用为元/平方米（为正常数）.当为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m表示）.（完成此计划的总费用修建观赏通道的总费用种植植物的总费用） 【答案】（1）； （2），最低总费用元. 【解析】 【分析】（1）由条件求出种植植物的区域面积，结合条件列不等式求其解可得结论； （2）根据条件求出完成此计划所需要的总费用，利用基本不等式求其最小值. 【小问1详解】 由题意得种植植物的区域面积为， 所以， 即， 解得或. 又，得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 设完成此计划所需要的总费用为元， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以，当时，完成此计划所需要的最低总费用元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $