精品解析：安徽省六安市金安区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

金安区2024年九年级学业评价 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质直接计算即可得到答案． 【详解】解：∵， 设 ∴， 故选：A． 2. 当时，下列函数中，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可得解，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、在中，，则当时，随的增大而减小，故不符合题意； B、在中，，则当时，随的增大而减小，故不符合题意； C、在中，，对称轴为直线，则当时，随的增大而减小，故不符合题意； D、在中，，对称轴为直线，则当时，随的增大而增大，故符合题意； 故选：D． 3. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP的长为（　　） A. B. 3﹣ C. ﹣1 D. ﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：由于为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算． 4. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识；根据题意得，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：令， 由于抛物线与轴只有一个公共点， 所以方程有两个相等的实数根， 即， 解得：； 故选：A． 5. 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系左面抛物线可以用表示，则右面抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口方向和大小不变，顶点坐标关于轴对称，即可求解． 【详解】解：∵左面抛物线可以用表示， ∴顶点坐标为 则右面抛物线的顶点坐标为 ∴右面抛物线的表达式， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握顶点式是解题的关键． 6. 在如图所示的平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换，相似三角形的性质，掌握位似变换的性质是解题的关键． 根据位似变换的概念得到，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：与是以为位似中心的位似图形， 与的相似比是， 故与的周长比是， 故选A． 7. 已知反比例函数图像上三点、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，先判断，再利用反比例函数的图像与性质可得答案； 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图像在一，三象限，在每一象限内随的增大而减小； 而， ∴，， ∴； 故选：C． 8. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 9. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作交于点，设交于点，设，由全等三角形的性质得，即得，进而可得，再分别由、可得，，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，设交于点， ∵正方形由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，其中一个交点在轴上，另一个交点在轴上，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数综合，根据图象可知，，再结合一次函数与二次函数的交点情况，以及二次函数的平移规律判断出函数的图像特点，即可解题． 【详解】解：由图知，二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴在轴左侧， ， 二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点， ，即有两个根， ， 开口向上，即函数开口向上， 由图知，与轴交与点， 可看作向上平移2个单位， 函数与轴交点在右侧， ， 函数对称轴在轴左侧， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___． 【答案】a≤2 【解析】 【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上， ∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大， 故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大， 所以a的取值范围为a≤2． 故答案为a≤2． 13. 如图，已知矩形的两点C、D在反比例函数的图象上，点A和点B都在坐标轴上，且B的坐标为，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过作于，过作于，可得，，证明，可得，，同理可得：，，设，，再进一步解答即可. 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∵， ∴，， 同理可得：，， ∴设，， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 14. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则______； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______． 【答案】 ①. ## ②. 4 【解析】 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图是二次函数的图象，其中．试求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查待定系数法求二次函数解析式．根据求出h的值，即可确定出解析式． 【详解】解：由题意，得， ， ∴， 将点代入抛物线解析式，得， 解得：或0（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的解析式为． 16. 如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】略 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； （2）若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，得， ∴． 【小问2详解】 解：依题意，（小时），（小时） ∴至时间长为小时，至时间长为6小时， 则将代入得；将代入得． ∴汽车行驶速度v的范围为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点是“完美点”，则_____； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 【答案】（1）1 （2）该“完美函数”的表达式为：或 【解析】 【分析】（1）由定义可得，求出的值即可； （2）根据该“完美函数”的顶点在直线上可求出顶点为，然后可设二次函数的解析式为，令，则，再根据该函数与轴的交点到原点的距离为2求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：点是“完美点”， ，即， 解得：， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：某“完美函数”的顶点在直线上， 设函数的顶点为， 该函数为“完美函数”， ， 解得：， ， 该函数的顶点为， 设二次函数的解析式为， 令，则， 该函数与轴的交点到原点的距离为2， ， 解得：或， 或 该“完美函数”的表达式为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 20. 在中，，是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． （2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：如图2：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； 【小问3详解】 解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 七、解答题（本题满分12分） 22. 植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． （1）按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． （2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②矩形的面积最大为 （2） 解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下： 乙方案中，设的长为，矩形的面积为， 则， 方案乙中的长大于墙长， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大为， ， 乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解； （2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：①∵的长为， 的长为， ； ②∵甲中的长不超过墙长， ， 由可知： ， 时，随的增大而增大， 当时，矩形的面积最大，最大为； 【小问2详解】 略 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图1，锐角中，D、E分别是、的中点，F是上的点，且，交于点M． （1）求证：； （2）点G在上，且，如图2， ①求证：； ②从线段上取一点H，连接使，若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1所示， ， ， ， ， ． （2） ①证明：如图2所示， ∵D、E分别是、的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ． ②1 【解析】 【分析】（1）证明，用等角对等边即可证明结论； （2）①由D、E分别是、的中点，可知，于是，，又，，根据等式性质得，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证； ②通过证明和，可得，又，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 略 ②解：如图3所示， ，， ， ∴， ， ，， ， 又， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，发现等线段是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金安区2024年九年级学业评价 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 当时，下列函数中，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP的长为（　　） A. B. 3﹣ C. ﹣1 D. ﹣3 4. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 5. 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系左面抛物线可以用表示，则右面抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数图像上三点、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，其中一个交点在轴上，另一个交点在轴上，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________． 12. 已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___． 13. 如图，已知矩形的两点C、D在反比例函数的图象上，点A和点B都在坐标轴上，且B的坐标为，，则_____． 14. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则______； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图是二次函数的图象，其中．试求该抛物线的解析式． 16. 如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； （2）若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点是“完美点”，则_____； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 20. 在中，，是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． （2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 七、解答题（本题满分12分） 22. 植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． （1）按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． （2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图1，锐角中，D、E分别是、的中点，F是上的点，且，交于点M． （1）求证：； （2）点G在上，且，如图2， ①求证：； ②从线段上取一点H，连接使，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $