北京市第一七一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高一年级（数学） 第 1 页（共 5 页） 高一数学第二次月考 2024 12 一、单项选择题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。 （1）已知全集 { 2, 1, 0, 1, 2}U = − − ，集合 { 2, 1, 0}A = − − ，则 U A = （A）{1, 2, 3} （B）{1, 2} （C） (0, 2) （D） (1, 2) （2）已知 , ,a b cR，且 a b ，则下列不等式一定成立的是 （A） 2 2a b （B） ac bc （C） 2 2a b （D） 1 1 a b  （3） 2π sin( ) 3 = （A） 3 2 （B） 3 2 − （C） 1 2 （D） 1 2 − （4）在同一个坐标系中，函数 ( ) logaf x x= ， ( ) xg x a−= ， ( ) ah x x= 的部分图 象可能是 （A） （B） （C） （D） （5）下列函数中，既是奇函数，又在 (0, )+ 上单调递减的是 （A） ( )f x x= （B） ( )f x x x= − （C） 2 1 ( ) +1 f x x = （D） 3( )f x x= （6）下列各组角中，终边相同的角是 （ ） （A） 2 π k 与 π π ( Z) 2 k k+  （B） π π π ( Z) 3 3 k k k 与 （C） π π π π ( Z) 6 6 k k k+  与 （D） (2 1) (4 1)π πk k+ 与 ( )Zk y xO O x y O x y O x y 高一年级（数学） 第 2 页（共 5 页） （7）已知 0.1 2 32 , log 3, log 2a b c= = = ，则实数 , ,a b c 的大小关系是 （A） c a b  （B） c b a  （C） a c b  （D） a b c  （8）已知函数 1 ( ) 2 +1 2x a f x = − ，则“ 1a = ”是“ ( )f x 为奇函数”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）科赫（Koch）曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下： 如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形 并去掉原线段 生成 1 级科赫曲线 “ ”，将 1 级科赫曲线 上每一线段重复上述步骤得到 2 级科赫曲线，同理可得 3 级科 赫曲线……在分形中，一个图形通常由 N 个与它的上一级图形 相似，且相似比为 r 的部分组成，若 1Dr N = ，则称D 为该图形的分形维数. 那 么科赫曲线的分形维数是 （A） 2log 3 （B） 3log 2 （C）1 （D） 32log 2 （10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日 (π ay)D 。历史上，求圆周 率 π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的 方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正 n6 边形的周长和外切正 n6 边形（各边均与圆相切的正 n6 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 π2 的近似值。按照阿尔 卡西的方法， π的近似值的表达方式是 （A） 30 30 3 (sin tan )n n n   + （B） 30 30 6 (sin tan )n n n   + （C） 60 60 3 (sin tan )n n n   + （D） 60 60 6 (sin tan )n n n   + 高一年级（数学） 第 3 页（共 5 页） 二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 （11）已知 2 2 sin 3  = − ，且 cos 0  则 tan = _______． （12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角  均以Ox 为始边，若角 的终 边经过点 4 3 ( , ) 5 5 P − ，角  的终边与角 的终边关于原点对称，则 sin = _______， cos = _______． （13）若扇形所在圆半径为 2cm，圆心角为1弧度，则该扇形面积_______， 为周长为_______． （14）已知函数 2 2( ) log ( 3 )f x x ax a= − + 在区间[2, )+ 上是增函数，则a 的取值范围为__________． （15）已知函数 ( ) 2f x x b= + ， ( )g x 为偶函数，且当 0x≥ 时， 2( ) 4g x x x= − . 记函数 ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , f x f x g x T x g x f x g x  =   ≥ 给出下列四个结论： ① 当 0b = 时， ( )T x 在区间[ 2, )− + 上单调递增； ② 当 8b = − 时， ( )T x 是偶函数； ③ 当 0b  时， ( )T x 有3个零点； ④ 当 8b≥ 时，对任意 xR，都有 ( ) 0T x  ． 其中所有正确结论的序号是_______． 高一年级（数学） 第 4 页（共 5 页） 三、解答题共 5 小题，共 50 分。 （16）（本小题 10 分） 已知集合 2{ | 2 0}A x x x= − −  ， 5 3 { || | } 2 2 B x x= −  . （Ⅰ）求 A B ， A B R ； （Ⅱ）记关于 x 的不等式 2 2(2 4) 4 0x m x m m− + + +  的解集为 M ，若 B M = R ，求实数m 的取值范围. （17）（本小题7分） 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是 1T ,空气温度是 0T ，则经 过时间 t 分钟后物体温度T 可以由公式 0.25 0 1 0= ( ) e tT T T T −+ −  求得.若把温度 是90 C 的物体放在10 C 的空气中冷却到50 C ，大概需要多少分钟？（精确 到0.01）（参考数据： ln3 1.099= ， ln 2 0.693= ） （18）（本小题10分） 已知定义域为R 的单调减函数 ( )f x 是奇函数，当 0x  时， ( ) 2 3 xxf x = − . （Ⅰ）求 (0)f 的值； （Ⅱ）求 ( )f x 的解析式； （Ⅲ）若对任意的 Rt ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k− + −  恒成立，求实数 k 的取值范围. 高一年级（数学） 第 5 页（共 5 页） （19）（本小题13分） 已知函数 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x k x= − + + .请从条件 ①、条件 ②这两个条件 中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件 ①： ( ) ( ) 0f x f x+ − = ； 条件 ②： ( ) ( ) 0f x f x− − = . 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． （Ⅰ）求实数 k 的值； （Ⅱ）设函数 ( ) (1 )(1 )= − + kF x x x ，判断函数 ( )F x 在区间 (0,1) 上的单调性， 并给出证明； （Ⅲ）设函数 ( ) ( ) 2= + + kg x f x x k ，指出函数 ( )g x 在区间 ( 1, 0)− 上的零点个 数，并说明理由. （20）（本小题 10 分） 已 知 十 个 数 排 成 一 列 ， 记 为 1 2 10a a a， ， ， 满足 ： ： 对 任 意 的 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i j， ，若 i j ，则 i ja a ，且 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}ia  ， 设集合 1 2{ | 1,2,3,4,5,6,7,8}i i iA a a a i+ += + + = 满，集合 A 满中素最最小值记为 ( )m A ，集合 A中素最最大值记为 ( )n A . （Ⅰ）对于一列数：10 6 1 2 7 8 3 9 5 4，，，，，，，，， ，写出集合 A 及 ( ) ( )m A n A， ； （Ⅱ）求证： ( )m A 不可能为 18； （Ⅲ）求 ( )m A 的最大值以及 ( )n A 的最小值．