湖北省武汉市第十四中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

数学月考试卷 2024.5. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1、若 2{( , ) }x y yM x ∣ ，则下列选项正确的是（ ） A、0 M B、 0 M C、 M D、 0 M 2、复数 2 2( 2 ) ( 2)z a a a a i     , ( )a R 对应的点在虚轴上，则( ) A、 2a  或 1a  B、 2a  且 1a  C、 0a  D、 0a  或 2a  3、“a b ”是“ 2 2ac bc ”的（ ）条件 A、 充分不必要 B、 必要不充分 C、 充要 D、既不充分也不必要 4、已知一组数据 1 2 10, , ,x x x 是公差为 1 的等差数列，若去掉首末两项 1x ， 10x 后，则( ) A、平均数变大 B、 中位数没变 C、方差变大 D、极差没变 5、利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为 0 00 90 之间角的三角函数值，而这个范 围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则 0tan160 的值为(小数点后保留 2 位有效数字)  010 020 030 040 050 060 070 080 sin 0.17 0.34 0.50 0.64 0.76 0.87 0.94 0.98 A、 0.42 B、 0.36 C、0.36 D、0.42 6、直线 : 1l mx ny  与曲线 2 2: 1C mx ny  （ ,m n为非零实数）在同一平面直角坐标系中 的示意图可以是（ ） A、 B、 C、 D、 ） 7、有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ A、如果四名男生必须连排在一起，那么有720 种不同排法 B、如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C、如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D、如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720 种不同排法 8、如图，在等腰梯形 ABCD中，AB // CD，且 AB  2AD . 设 DA B  ， (0, ) 2    ，以 A， B 为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C ， D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为 2e ，则（ ） A、随着角度 的增大， 1e 增大， 1 2e e 为定值 B、随着角度 的增大， 1e 减小， 1 2e e 为定值 C、随着角度 的增大， 1e 增大， 1 2e e 也增大 D、随着角度 的增大， 1e 减小， 1 2e e 也减小 A B D C  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9、下列命题正确的是（ ） A、若 a b c, , 成等差数列，则 2 22a b c, , 一定成等差数列 na 的前 n 项和为 nS （nN），若 24nB、数列 S n  n2 ，则 na 是等差数列. C、如果数列 na 是等比数列，那么数列2an 也是等比数列； D、数列 na 的通项公式为 20 4n a  ，前n n 项和为 nS ，则 nS 中最大的是 4S 或 5S 10、下面命题正确的有： （ ） A、 2(sin 40 cos40 )  4sin 40 cos40 B、若a  b  c 1，则 log logba cc C、 34  12 (0, ) 2  2 2 1 4 sin cosx x D、 x ，  10 11、如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 AB ,( A为塔顶，B 为塔底)的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C 与 D ,( B ，C ，D 不在同一直线上)，测得CD  s .测绘兴趣小组 利用测角仪可测得的角有：ACB ,ACD ,BCD ,ADB ,ADC ,BDC，则根据下列各 组中的测量数据可计算出塔 AB 的高度的是（ ） A、s ,ACB ,BCD ,BDC B、s ,ACB ,BCD ,ACD C、s ,ACB ,ACD ,ADC D、s ,ACB ,BCD ,ADC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。 12、 5(2 )x x 的展开式中, 3x 的系数是 .（用数字填写答案） 13、已知 1 32a  ， 2 31 2 b        ，则  2log ab  . 14、如图，扇形 AOB是一个观光区的平面示意图，其中 AOB 的大小为 3 2 ，半径OA为1km . 为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A到出口B 的观光道路，道路由弧 AC 、 线段CD及线段 BD组成，其中D在线段OB 上，且 / /CD AO .设 AOC = . (1)用表示CD的长度，并写出 的取值范围； (2)当为何值时，观光道路最长？ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（13分）是否存在一个三角形同时具有以下两个性质： （I）三边成公差为2的等差数列； （Ⅱ）最大角是最小角的2倍。 若存在请求出三边长度，若不存在，请说明理由。 16、（15分）已知三棱锥P ABC （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD为 边长等于 2 的正方形， ABE 和 BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC 中： （I）证明：平面 PAC 平面 ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC 的体积； （III）若点M 是 PA的中点，求二面角P BC M  的余弦值. 图一 图二 17、（15分）已知直线 : 2 0l x y   ，圆 2 2: 3O x y  ,直线 l 被圆O截得的弦长与双 曲线E 2 2 2 2 1 x y a b   的实轴长相等, 双曲线 E 的离心率 2e  (Ⅰ) 求双曲线E 的方程； （Ⅱ）设 ),( 00 yxM 为双曲线 E 上任意一点、直线 33 00  yyxx 分别与直线 03  yx 和直线 03  yx 相交于 BA、 两点，求 OAB 的面积。 18、（17 分）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的 两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现甲，乙 双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为 2 3 ，假设每场比赛的结果相互独立. （I）求甲以3:1获胜的概率； （II）设比赛场数为 .试求 的分布列及数学期望E  ； （III）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 19、（17 分）函数 ( ) ln( )f x x x a   ．（a 是常数） （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ） 当 ( )y f x 在 1x  处取得极值时，若关于 x 的方程 2( ) 2f x x x b   在 1 ,2 2       上 恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）求证:当n  2,nN时 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 3 4 e n      ． 数学月考试卷 2024.5. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1、若 2{( , ) }x y yM x ∣ ，则下列选项正确的是（ ） A、0 M B、 0 M C、 M D、 0 M 答案： A、 2、复数 2 2( 2 ) ( 2)z a a a a i     , ( )a R 对应的点在虚轴上，则( ) A、 2a  或 1a  B、 2a  且 1a  C、 0a  D、 0a  或 2a  解析： 2 2 0a a  ,得到 0a  或 2a  .故选D、 3、“a b ”是“ 2 2ac bc ”的（ ）条件 A、 充分不必要 B、 必要不充分 C、 充要 D、既不充分也不必要 答案： B 解析:因为 2 2ac bc ，说明 0c  ，即 2 0c  ，所以a b ；但是当 0c  时，a b 推不出 2 2ac bc ，所以“a b ”是“ 2 2ac bc ”的必要不充分条件. 4、已知一组数据 1 2 10, , ,x x x 是公差为 1 的等差数列，若去掉首末两项 1x ， 10x 后，则( B、 ) A、平均数变大 B、 中位数没变 C、方差变大 D、极差没变 5、利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为 0 00 90 之间角的三角函数值，而这个范 围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则 0tan160 的值为(小数点后保留 2 位有效数字)  010 020 030 040 050 060 070 080 sin 0.17 0.34 0.50 0.64 0.76 0.87 0.94 0.98 A、 0.42 B、 0.36 C、0.36 D、0.42 【详解】解： sin20 tan1600 tan(4 360 160 tan160 tan20 cos2 ) 0              0 0 sin 20 0.34 0.36 sin70 0,94       故选：B、 6、直线 : 1l mx ny  与曲线 2 2: 1C mx ny  （ ,m n为非零实数）在同一平面直角坐标系中 的示意图可以是（ B、 ） A、 B、 C、 D、 7、有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ） A、如果四名男生必须连排在一起，那么有720 种不同排法 B、如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C、如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D、如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720 种不同排法 【答案】C、 【解析】A、中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时， 共有 4 4 2 4 4 24 576A A   种不同的排法， A、选项错误； B、中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有 3 5 3 5 6 120 720A A    种不同的排法种数，B、选项错误； C、中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有 2 5 4 5 12 120 1440A A    种不同的排法种数，C、选项正确； D、中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此 时，共有 4 3 4 5 24 60 1440A A    种不同的排法种数，D、选项错误； 故选：C、. 8、如图，在等腰梯形 ABCD中， //AB CD，且 2AB AD . 设 DAB   ， (0, ) 2    ，以 A， B为焦点且过点D的双曲线的离心率为 1e ，以C ，D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为 2e ，则（ B、 ） A、随着角度 的增大， 1e 增大， 1 2e e 为定值 B、随着角度 的增大， 1e 减小， 1 2e e 为定值 C、随着角度 的增大， 1e 增大， 1 2e e 也增大 D、随着角度 的增大， 1e 减小， 1 2e e 也减小 A B D C  点评：建系后，观察易知：随着角度 的增大， 1e 减小。 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9、下列命题正确的是（ B、 D、 ） A、若 , ,a b c成等差数列，则 2 2 2, ,a b c 一定成等差数列 B、数列 na 的前 n 项和为 nS （ Nn ），若 24 2nS n n  ，则 na 是等差数列. C、如果数列 na 是等比数列，那么数列 2 na 也是等比数列； D、数列 na 的通项公式为 20 4na n  ，前n 项和为 nS ，则 nS 中最大的是 4S 或 5S 10、下面命题正确的有： （ ） A、 2(sin 40 cos40 ) 4sin 40 cos40  B、若 1a b c   ，则 log loga bc c C、 34 12 D、 (0, ) 2 x   ， 2 2 1 4 10 sin cosx x   答案： B ,C 解析: 因为 2(sin40 cos40 )=2(sin40 cos45 cos40 sin45 ) 2sin85   ， 又 4sin 40 cos 40 2sin80 ，而2sin85 2sin80 ，所以 A是错的； 因为 1a b c   ，所以 log log 0c ca b  ，即 1 1 log logc ca b  ，故 log loga bc c ，所以B 正确； 函数 ( ) lnx f x x  ，( 0)x  ，因为 2 1 ln ( ) x f x x    ， (0, )x e 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0, )e 上单调递增，同理 ( )f x 在 ( )e  ， 上单调递减，又4 12 e  ，则 ln 12 ln 4 412  ，变形得 34 12 ，所以C 是对的； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 cos 4sin (sin cos )( ) 5 sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x        5 4 9   当且仅当 2 2cos 2sinx x ， (0, ) 2 x   即 2 tan 2 x  时取等号。所以D 是错的. 11、如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 AB ,( A为塔顶，B 为塔底)的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C 与D ,(B ，C ，D 不在同一直线上)，测得CD s .测绘兴趣小组 利用测角仪可测得的角有： ACB , ACD , BCD , ADB , ADC , BDC ，则根据下列各 组中的测量数据可计算出塔 AB 的高度的是（ ） A、s , ACB , BCD , BDC B、s , ACB , BCD , ACD C、s , ACB , ACD , ADC D、s , ACB , BCD , ADC 【答案】ACD 【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. A. 在 CBD中，已知 , ,s BCD BDC  ，可以解这个三角形得到BC ，再利用 ACB 、BC 解 直角 ABC得到 AB 的值； B. 在 CBD中，已知 , ,s BCD 无法解出此三角形，在 CAD中，已知 , ,s ACD 无法解出此 三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔 AB 的高度； C. 在 ACD△ 中，已知 , ,s ACD ADC  ，可以解 ACD△ 得到 AC ,再利用 ACB 、AC 解直 角 ABC得到 AB 的值； D. 如图，过点 B 作BE CD ,连接 AE . 由于cos ,cos ,cos CB CE CE ACB BCD ACE AC BC AC       , 所以cos cos cosACE ACB BCD    ，所以可以求出 ACD 的大小， 在 ACD△ 中，已知 , ,ACD ADC s  可以求出 ,AC 再利用 ACB 、 AC 解直角 ABC得到 AB 的值. 故选：ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。 12、 5(2 )x x 的展开式中, 3x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10 13、已知 1 32a  ， 2 31 2 b        ，则  2log ab  . 1 3  14、如图，扇形 AOB是一个观光区的平面示意图，其中 AOB 的大小为 3 2 ，半径OA为1km . 为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A到出口B 的观光道路，道路由弧 AC 、 线段CD及线段BD组成，其中D在线段OB 上，且 / /CD AO .设 AOC = . (1)用表示CD的长度，并写出 的取值范围； (2)当为何值时，观光道路最长？ 解析： (1)在 OCD 中，由正弦定理，得 CDO CO DCO OD COD CD      sinsinsin ， 所 以 2 ( ) 3 2 1 3 3 CD sin cos sin       ， 2 sin , 3 OD  因为OD OB ，即 2 1 3 sin  ，所以 3 2 sin  ，所以0 3    ， 所以 1 3 CD cos sin   ， 的取值范围为（0， 3  ）. (2)设观光道路长度为 ( )L  ，则 ( )L BD CD CA   弧 的长 2 1 1 3 3 sin cos sin        1 cos sin 1 3       0, 3         , 1  sin co( s 3 ) 1L      ， 由 0( )L   ，得 3 sin( ) 6 2     ，又 0 3   （ ，），所以 6    . 当变化时， ( ) ( )L L  ， 的变化情况如下表： 所以，当 6    时， ( )L  达到最大值，即当 6    时，观光道路最长. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（13分）是否存在一个三角形同时具有以下两个性质： （I）三边成公差为2的等差数列； （Ⅱ）最大角是最小角的2倍。 若存在请求出三边长度，若不存在，请说明理由。 解析：设三边长依次为： 2, , 2a x b x c x     ，由大边对大角知 2C A , sin sin 2 2sin cosC A A A  ， ① 由正弦定理 sin sin a c A C  可以把①式变为 sin 2 cos 2sin 2 2 4 C c x A A a x      ② 由余弦定理 2 2 2 2 2 2( 2) ( 2) cos 2 2 ( 2) b c a x x x A bc x x          ③ 联立②和③： 2 2 2( 2) ( 2) 2 2 ( 2) 2 4 x x x x x x x         得到 2 2( 2) ( 2)( 8 )x x x x x    ，因为 0x  ，所以 10x  所以这样的三角形存在，三边长依次为：8,10,12 16、（15分）已知三棱锥P ABC （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD为 边长等于 2 的正方形， ABE 和 BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC 中： （I）证明：平面PAC 平面 ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC 的体积； （III）若点M 是 PA的中点，求二面角P BC M  的余弦值. 图一 图二 【解析】（Ⅰ）设 AC 的中点为O，连接BO，PO . 由题意，得 2PA PB PC   ， 1PO  ， 1AO BO CO   . 因为在 PAC 中，PA PC ，O为 AC 的中点， 所以PO AC ， 因为在 POB 中， 1PO  ， 1OB  ， 2PB  ， 2 2 2PO OB PB  ，所以PO OB . 因为 AC OB O  ， ,AC OB 平面 ABC ，所以PO 平面 ABC ， 因为PO平面PAC ，所以平面PAC 平面 ABC . （Ⅱ）因为PO 平面 ABC ， ABC 是边长为 2 的等腰直角三角形， 故三棱锥P ABC 的体积为： 1 1 1 1 ( 2 2) 3 2 3      ； （III）由PO 平面 ABC ，OB AC ，所以PO OB ，PO OC ，于是以 OC ，OB ，OD所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图示空间直角坐标系， 则  0,0,0O ，  1,0,0C ，  0,1,0B ，  1,0,0A  ，  0,0,1P ， 1 1 ,0, 2 2 M       ，  1, 1,0BC   ，  1,0, 1PC   ， 3 1 ,0, 2 2 MC        . 设平面MBC 的法向量为  1 1 1, ,m x y z ，则由 0 0 m BC m MC       得： 1 1 1 1 0 3 0 x y x z      . 令 1 1x  ，得 1 1y  ， 1 3z  ，即  1,1,3m  . 设平面PBC 的法向量为  2 2 2, ,n x y z ，由 0 0 n BC n PC       得： 2 2 2 2 0 0 x y x z      ， 令 1x  ，得 1y  ， 1z  ，即  1,1,1n  . 5 5 33 cos , 3333 m n n m m n      . 由图可知，二面角P BC M  的余弦值为 5 33 33 . 17、（15分）已知直线 : 2 0l x y   ，圆 2 2: 3O x y  ,直线 l 被圆O截得的弦长与双 曲线E 2 2 2 2 1 x y a b   的实轴长相等, 双曲线 E的离心率 2e  (Ⅰ) 求双曲线E的方程； （Ⅱ）设 ),( 00 yxM 为双曲线 E 上任意一点、直线 33 00  yyxx 分别与直线 03  yx 和直线 03  yx 相交于 BA、 两点，求 OAB 的面积。 解：（Ⅰ）圆心 (0,0)O 到直线 : 1l y x  的距离为 2 2 2 d   ， 直线 l 被圆O截得的弦长为 2 22 ( 3) ( 2) 2  ，…………（3分） 由题意得2 2a  ， 2 c e a   ，故 2c  ，则 2 2 2 4 1 3b c a     ， 所以双曲线E的方程为 2 2 1 3 y x   …………………（6 分） （Ⅱ）由 33 00  yyxx 和 03  yx 得点 A的坐标为 ) 3 3 , 3 3 ( 0000 yxyx    由 33 00  yyxx 和 03  yx 得点B的坐标为 ) 3 3 , 3 3 ( 0000 yxyx  记直线 33 00  yyxx 与 x 轴的交点为 )0, 1 ( 0x G …………………（10分） 则 OAB 的面积 0 0 0 0 1 3 3 | || | 2 3 3 S OG x y x y     0 2 2 0 0 0 6 31 1 | || | 2 3 x x x y   2 2 0 0 3 3 3x y   …………………（14分） 又∵ ),( 00 yxM 为轨迹E 上任意一点 ∴ 33 2 0 2 0  yx ∴ OAB 的面积 3S …………………（15分） 18、（17 分）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的 两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现甲，乙 双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为 2 3 ，假设每场比赛的结果相互独立. （I）求甲以3:1获胜的概率； （II）设比赛场数为 .试求 的分布列及数学期望  E  ； （III）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 解析：（I）若甲以3:1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2 :1，所以 2 2 3 2 1 2 24 3 3 3 81 P C                     . ………………（5分） （II）易知 取值为3, 4,5.   3 3 1 2 9 1 3 ( ) ( ) 3 3 27 3 P      ，   2 2 2 23 3 2 1 2 1 2 1 10 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 27 P C C        ，[来源:学科网]   2 2 24 2 1 8 5 ( ) ( ) 3 3 27 P C   ， 故 的概率分布列为：  3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 所以 的数学期望为：   1 10 8 107 3 4 5 3 27 27 27 E         . ………………（10分） （III）采用“五局三胜制”甲会以3: 0、3:1、3: 2获胜，所以甲采用“五局三胜制” 获胜的概率： 3 2 2 2 2 2 3 4 2 2 1 2 2 1 2 64 3 3 3 3 3 3 3 81 P C C                                                采用“三局两胜制”甲会以2: 0、2 :1获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 2 1 2 2 2 1 2 20 60 3 3 3 3 27 81 P C                          因为 64 60 81 81  ，所以甲应该采用“五局三胜制” . ………………（17 分） 19、（17 分）函数 ( ) ln( )f x x x a   ．（a 是常数） （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ） 当 ( )y f x 在 1x  处取得极值时，若关于 x 的方程 2( ) 2f x x x b   在 1 ,2 2       上 恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）求证:当 2,n n N  时 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 3 4 e n      ． 【解析】（Ⅰ） 由已知由函数 ( )f x 的定义域为 x a  ， 1 1 ( ) 1 x a f x x a x a         ， 1a a    ，由 ( ) 0f x  得 1x a   ，由 ( ) 0f x  得 1a x a     ，所以函数 ( )f x 的减区间为 ( , 1)a a   ，增区间为 ( 1, )a   ． （Ⅱ）由题意，得 (1) 0f   ， 0a  ．由（Ⅰ）知 ( ) lnf x x x  ，  2( ) 2f x x x b   ，即 2ln 2x x x x b    ， 2 3 ln 0x x x b    ， 设 2( ) 3 ln ,( 0)g x x x x b x     ，则 21 2 3 1 (2 1)( 1) ( ) 2 3 x x x x g x x x x x           , 当 1 ,2 2 x       变化时， ( )g x ， ( )g x 的变化情况如下表： x 1 2 1 ( ,1) 2 1 (1,2) 2 ( )g x 0 － 0 ＋ ( )g x 5 ln 2 4 b  ↘ 2b ↗ 2 ln 2b  ∵方程 2( ) 2f x x x b   在 1 ,2 2       上恰有两个不相等的实数根,  1 ( ) 0 2 (1) 0 (2) 0 g g g         ,  5 ln 2 0 4 2 0 2 ln 2 0 b b b               5 ln 2 2 4 b   ，即 5 ln 2,2 4 b        ． （Ⅲ）由（Ⅰ） 和（Ⅱ）可知当 1 0, 2 a x  时, ( ) (1)f x f ,即 ln 1x x  , 当 1x  时, ln 1x x  ． 令 2 1 1 ,x n   （ 2,n n N  ）, 则 2 2 1 1 ln(1 ) n n   ． 所以当 2,n n N  时, 222222 1 ...... 3 1 2 11 1ln....... 3 1 1ln 2 1 1ln nn                      1 1 1 1 1 ...... 32 1 21 1        nnn , 即 2 2 2 2 1 1 1 1 ln (1 )(1 )(1 ) (1 ) 1 2 3 4 n           ,  2 2 2 2 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 3 4 e n      ．