湖北省武汉市第十四中学2024-2025学年高三上学期数学周测2

2025届高三综合测试（2） 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ B   ） 2、已知，，则（ ） 【答案】D 详解】设则 ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 3、直线与曲线（，为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（ B ） 4、已知单位向量满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（ C ） 5、令为的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为（ ） 【答案】D 【详解】 二项式的通项公式为：，令， 所以，， 因此数列的前n项和为：， 6、设双曲线，的左焦点为，直线过点且与双曲线在第二象限的交点为，,其中为原点，则双曲线的离心率为（ ） 【答案】： 【解析】：利用平面几何知识得到这个三角形是直角三角形。最后还要利用直线的斜率得到直线的倾斜角 7、已知.设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）条件 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】依题意，， 对于甲：，即， 设， 所以在上单调递增，故. 对于乙：，两边取以为底的对数得， 由于，所以，则， 设， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以由，即，若或，则， 若不在的同一单调区间，则， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A 8、已知是函数的两个极值点，且，，则直线 与椭圆的位置关系为(　　) 相切 相交 相离 不确定 【解析】：选方法一：　依题意得，显然，故或，又是方程的两根，所以，，故，则直线的方程为，即，即，显然直线过定点，又点在椭圆内，故直线与椭圆相交． 方法二：前面和解法一一样，，后面直线上的一个点的坐标可以算的中点，即为，得到，显然直线过定点。 方法三：满足，得到，，在椭圆上，得到和，联立得到和，则直线为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9、下列选项正确的是 （ ABD ） 若随机变量，则且 若随机变量，则且 若随机变量服从分布，且， 则 若随机变量满足，， 则 10、 已知函数，则（ ） 有两个极值点 点是曲线的对称中心 有一个零点 直线是曲线的切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】A：， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以时取得极值，故A正确； B：因为，，， 所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确； C：令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； D：令，可得，又， 当切点为时，切线方程为， 当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：ABC. 11、《九章算术》是我国古代数学名著 ， 它在几何学中的研究比西方早千多年．例如:堑堵指底面为直角三角形 ， 且侧棱垂直于底面的三棱柱 ， 阳马指底面为矩形 ，侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图 ，在堑堵中 ，,下面说法正确的是： （ ） 和平面所成的角为 四面体不是鳖臑 堑堵的外接球的表面积为定值 四棱锥 体积最大时，堑堵 的体积为 答案：　,, 解析: 和平面所成的角为.所以是对的； 四面体 为鳖 臑 ， 四个面的直角分别是，，，，所以是错的； 因为，所以堑堵的外接球的半径是，外接球的表面积是定值，所以是对的； 的体积: 当且仅当 时 ，，此时 堑堵 的体积，所以是对的. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、曲线在处的切线的倾斜角为，则 ． 答案： 13、春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．我们相信随着年春天的到来，池塘中的荷花定会枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了 天.（参考数据） 答案：17 14、如图，直三棱柱中，，，，，为线段上动点，的最小值为______， 当最大时，______. 【答案】          由已知条件知， 以为轴，将四边形旋转到与四边形同在一个平面内， 连接交于点，此时、、三点共线距离最小，点满足使最小， 易得， 设，则， 在中，， 在中，， 所以， ， 令，则， 令 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、已知的三个内角所对的边分别为,边长且 ，，求周长的取值范围. 解析: 因为 所以 ………………(分) 又,所以，则. ………………(分) 由正弦定理： ，得到 则的周长 , ………………(分) 因为,所以， ， 周长的取值范围是. 16、已知直线，圆,直线被圆截得的弦长与双曲线的实轴长相等, 双曲线的离心率 (Ⅰ) 求双曲线的方程； （Ⅱ）设为双曲线上任意一点、直线分别与直线和直线相交于两点，求的面积。 解：（Ⅰ）圆心到直线的距离为， 直线被圆截得的弦长为，…………（分） 由题意得，，故，则， 所以双曲线的方程为…………………（分） （Ⅱ）由和得点的坐标为 由和得点的坐标为 记直线与轴的交点为…………………（分） 则的面积 …………………（分） 又∵为轨迹上任意一点 ∴ ∴的面积 17、如图所示，⊥平面，点在以为直径的⊙上，，，点为线段的中点. 点在上且点关于对称， (Ⅰ)求证：平面∥平面. （Ⅱ）设二面角的大小为，求的值.. 解析：(Ⅰ) （1） 因为点为线段的中点，点为线段的中点，所以∥. 因为平面，平面， 所以∥平面. …………（分） 因为点在以为直径的⊙上，， 则，为边长为的等边三角形；点关于对称，,为边长为的等边三角形；故四边形为棱形， 所以∥，平面，平面，所以∥平面. …………（分） 因为平面，平面，，所以平面∥平面. …………（分） （Ⅱ）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.因为，，所以. ，设 所以. 设平面的一个法向量为. 因为 所以即 令，则.所以. …………（分） 设平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为，所以.…………（分） ，所以. （本题也直接用空间向量或者传统方法做） 18、已知，， ，直线与函数，的图像都相切，且与函数 的图像的切点的横坐标为。 （Ⅰ）求直线的方程及的值； (Ⅱ)设,当时,不等式恒成立,求的最大值． 解 ：（Ⅰ） ，，因为直线的斜率为， 且与函数的图像的切点坐标为，所以直线的方程为 …………（分） 又因为直线与函数的图象相切，故方程组有一解。 由上述方程消去，并整理得…………① …………（分） 依题意，方程①有两个相等的实数根，解之， 得或，又，故 …………（分） （Ⅱ）不等式化为 所以对任意恒成立． …………（分） 令，则， 令,，则， 所以函数在上单调递增． …………（分） 因为,， 所以方程在上存在唯一实根，且满足．当时，，即，当时，，即，，所以函数在上单调递减，在上单调递增． …………（分） 所以． 所以．故整数的最大值是． 19、某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是，棋盘上标有第站，第站，第站，……，第站. 一枚棋子开始在第站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为或，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第站或第站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第站的概率为. (Ⅰ)当游戏开始时，若抛掷均匀骰子次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望； （Ⅱ）证明：，； （III）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平. 解（1）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，6， ， ， 所以，随机变量X的分布列为： . （2）由题意知，当时，棋子要到第站，有两种情况： ①由第n站跳1站得到，其概率为； ②由第站跳2站得到，其概率为 ，， ， （3）由（2）知，当棋子落到第99站游戏结束的概率为， 当棋子落到第100站游戏结束的概率为， ，最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率， 游戏不公平. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三综合测试（2） 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） 2、已知，，则（ ） 3、直线与曲线（，为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（ ） 4、已知单位向量满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（ ） 5、令为的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为（ ） 6、设双曲线，的左焦点为，直线过点且与双曲线在第二象限的交点为，,其中为原点，则双曲线的离心率为（ ） 7、已知.设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）条件 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 8、已知是函数的两个极值点，且，，则直线 与椭圆的位置关系为(　　) 相切 相交 相离 不确定 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9、下列选项正确的是 （ ） 若随机变量，则且 若随机变量，则且 若随机变量服从分布，且， 则 若随机变量满足，， 则 10、 已知函数，则（ ） 有两个极值点 点是曲线的对称中心 有一个零点 直线是曲线的切线 11、《九章算术》是我国古代数学名著 ， 它在几何学中的研究比西方早千多年．例如:堑堵指底面为直角三角形 ， 且侧棱垂直于底面的三棱柱 ， 阳马指底面为矩形 ，侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图 ，在堑堵中 ，,下面说法正确的是： （ ） 和平面所成的角为 四面体不是鳖臑 堑堵的外接球的表面积为定值 四棱锥 体积最大时，堑堵 的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、曲线在处的切线的倾斜角为，则 ． 13、春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．我们相信随着年春天的到来，池塘中的荷花定会枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了 天.（参考数据） 14、如图，直三棱柱中，，，，，为线段上动点，的最小值为______， 当最大时，______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、已知的三个内角所对的边分别为,边长且 ，，求周长的取值范围. 16、已知直线，圆,直线被圆截得的弦长与双曲线的实轴长相等, 双曲线的离心率 (Ⅰ) 求双曲线的方程； （Ⅱ）设为双曲线上任意一点、直线分别与直线和直线相交于两点，求的面积。 17、如图所示，⊥平面，点在以为直径的⊙上，，，点为线段的中点. 点在上且点关于对称， (Ⅰ)求证：平面∥平面. （Ⅱ）设二面角的大小为，求的值.. 18、已知，， ，直线与函数，的图像都相切，且与函数 的图像的切点的横坐标为。 （Ⅰ）求直线的方程及的值； (Ⅱ)设,当时,不等式恒成立,求的最大值． 19、某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是，棋盘上标有第站，第站，第站，……，第站. 一枚棋子开始在第站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为或，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第站或第站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第站的概率为. (Ⅰ)当游戏开始时，若抛掷均匀骰子次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望； （Ⅱ）证明：，； （III）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平. 学科网（北京）股份有限公司 $$