专题3.6 导数的综合应用（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题3.6 导数的综合应用 【新高考专用】 题型一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知符号函数，则函数零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东梅州·三模）已知函数，，为函数的导函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程在上有实根，求的取值范围. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点． (1)求实数a的取值范围． (2)证明：． 题型二 利用导数证明不等式 5．（2024·浙江温州·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·安徽·三模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)若，求证：当时，； (2)若是的极大值点，求的取值范围. 8．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 题型三 利用导数研究不等式恒成立问题 9．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 12．（2024·湖南衡阳·一模）已知函数 (1)若在处的切线方程为，求、的值； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围； 题型四 利用导数研究存在性问题 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是 ． 16．（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为 . 题型五 利用导数研究双变量问题 17．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 19．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 20．（2024·广东佛山·二模）已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 题型六 导数中的极值偏移问题 21．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．个 B．个 C．个 D．个 23．（2024·江西南昌·二模）已知函数，． (1)当时，恒成立，求a的取值范围． (2)若的两个相异零点为，，求证：． 24．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)若，讨论的单调性． (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 题型七 导数在实际问题中的应用 25．（2024·陕西安康·模拟预测）某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 27．（2024·广东茂名·二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 28．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，从边长为100米的等边三角形花园的点沿直线修一条路到边上的点，再从沿直线修一条路到边上的点，且，若路每米的造价是路每米造价的倍，则当 米时，修筑这两条路的总造价最低．    题型八 导数中的新定义问题 29．（2024·青海西宁·二模）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 32．（2024·湖南湘西·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足． 注：． 设函数在处的阶帕德近似为． (1)求的解析式； (2)证明：当时，； (3)设函数，若是的极大值点，求k的取值范围． 一、单选题 1．（2024·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏连云港·模拟预测）现有一个表面积为的实心球，若将其打磨成一个圆锥，则圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数．则抛物线上的各点处的曲率最大值为（    ） A． B．p C． D． 4．（2024·江西·模拟预测）已知有解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川南充·模拟预测）设，，且，则下列结论正确的个数为（   ） ①      ②        ③ A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024·江西·模拟预测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川南充·一模）已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③ A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（2024·新疆·二模）设函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上的最大值为 C．方程只有一个实根 D．，都有成立 11．（2024·广西来宾·模拟预测）下列关于函数的说法，正确的有（    ） A．是的极大值点 B．函数有两个零点 C．若方程有两根，则 D．若方程有两根，则 三、填空题 12．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是 . 13．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为 ． 14．（2024·四川德阳·一模）若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．    (1)试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数； (2)当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 17．（2024·青海·二模）已知函数，曲线在处的切线的斜率为. (1)求a的值： (2)证明：当时，. 18．（2024·四川德阳·二模）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，求的最小值. 19．（2024·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.6 导数的综合应用 【新高考专用】 题型一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知符号函数，则函数零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据零点的定义计算即可. 【解答过程】当，即时，， 在上恒成立， 所以在单调递减， 因为， 所以存在使得. 当，即时，， 因为，所以是的零点. 当，即时，，， 令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 此时在没有零点， 综上，的零点个数为2. 故选：C. 2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，再数形结合分析，分段函数分段讨论即可. 【解答过程】因为方程存在三个不相等的实根，所以函数有三个零点， 当时，，所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，， 又当时，；当时，，所以图象如图； 当时，， 所以，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，， 又当时，；当时，，所以图象如图， 所以当即时函数有三个零点， 即方程存在三个不相等的实根， 故选：C. 3．（2024·广东梅州·三模）已知函数，，为函数的导函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程在上有实根，求的取值范围. 【解题思路】（1）由题意得，令，则，分类讨论，，即可得出答案； （2）由（1）得，题意转化为方程在上有实根，令，则，分类讨论，，，即可得出答案． 【解答过程】（1），令，则 当时，，函数在上单调递增； 当时，，得，，得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，，方程在上有实根等价于方程在上有实根. 令，则 当时，，函数在上单调递增，，不合题意； 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，，不合题意； 当时，，得，，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以，所以 综上所述，的取值范围为. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点． (1)求实数a的取值范围． (2)证明：． 【解题思路】（1）利用导数求出函数的最小值，再分段讨论并构造函数，利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理推理即得. （2）由（1）的结论，结合函数零点的意义可得有两个相异的解，再构造函数，借助单调性确定的取值区间，再结合分析法推理证明即得. 【解答过程】（1）函数，求导得， 当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则． 当时，恒成立，至多有一个零点，不符合题意， 当时，，，即，使， ，令，求导得， 令，求导得，即在上单调递增，， 于是，函数在上单调递增，， 因此，使， 所以实数a的取值范围为． （2）由（1）知，有两个相异的解，即方程有两个相异的解， 令函数，求导得在上单调递增，且， 当时，，在单调递减，当时，，在单调递增， 不妨设，显然，， 要证，即证，即证． 又，则即证，令函数，， 则 ， 而，则， 因此函数在上单调递减，即，则， 所以． 题型二 利用导数证明不等式 5．（2024·浙江温州·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】构造函数，通过求导分析函数在上单调递减，在上单调递增，故由“”可得“”，举反例可说明由“”不能得到“”，以此可确定选项. 【解答过程】设，，则， 由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，，即成立. 当成立时，可能有，，此时. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2024·安徽·三模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出，构造函数，利用导数研究单调性，比较出，构造函数，比较出，即可求解. 【解答过程】依题意，则. 令，故， 故当时，在上单调递增， 故，则.令， 则，故当时，在上单调递增， 则，则. 综上所述：. 故选：A. 7．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)若，求证：当时，； (2)若是的极大值点，求的取值范围. 【解题思路】（1）令，再求导可得，即可得到在上恒成立，即可证明； （2）分类讨论可得的单调性，分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解； 【解答过程】（1）若，则，令， 则，当时，，即在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以， 即在上单调递增，所以. （2）由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则当时，， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，且， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，， 则当时，在上单调递增， 所以无极值点，不合题意； 当时，，且； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以是函数的极大值点，符合题意； 综上所述，的取值范围是. 8．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 【解题思路】（1）由题意得恒成立，参变分类求最值即可； （2）求导，确定其单调性得到，构造函数，求导确定其单调性得到，即可求证； （3）化简 ，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证. 【解答过程】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. （2）证明：若，，所以， 令，解得，所以当 时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 令，，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以. （3）证明：由题意可知， 因为有两个极值点，， 所以，是方程的两个不同的根， 则且 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 题型三 利用导数研究不等式恒成立问题 9．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】易知，原式可变形为，结合隐零点的解题思路，求出，由可得，结合函数的单调性解得，即可求出a的取值范围即可. 【解答过程】由题意知，，由，得. 原式可化为， 设，则， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 则当时，，当时，， 故存在使得，即，得，即， 且当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以， 即，设， 由函数在在单调递减， 知函数在在单调递减，且，所以， 所以，故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 10．（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可. 【解答过程】令，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 可得，解得， 若，令， 则， 则在上递增，可得， 即对任意恒成立， 则在上递增，可得， 综上所述：符合题意，即实数的取值范围为. 故选：A. 11．（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）构造函数由单调性得，再由根据单调性得，再由不等式性质即可得出结论； （2）利用不等式恒成立的一个必要条件是，构造函数可知，再由充分性即可求得结论，再证明必要性成立即可得，得出结果. 【解答过程】（1）当时，， 要证明，即证； 令，则，令，解得， 当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故； 令，则，令，解得； 即可得当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故； 因此, 故； （2）易知恒成立的一个必要条件是； 即，故； 令，则恒成立，即为上的增函数， 因此可得，可得； 下面证明充分性： 当时，， 令，则， 易知为单调递增函数，令，解得； 可知当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故当时，， 综上可知，实数的取值范围. 12．（2024·湖南衡阳·一模）已知函数 (1)若在处的切线方程为，求、的值； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围； 【解题思路】（1）由题意得直线的斜率，根据导数的几何意义，再结合点在切线上，即可求解； （2）由题意得，且在上，，所以即可求出，再利用导数的几何意义及零点存在定理结合对零点“设而不求”的方法证明即可. 【解答过程】（1）， 由题意得， 所以，即， ， 所以， 故，. （2）， 若上恒成立，即， 故是在上的极小值，所以， ，，解得， 下证时，， 令，， ①在上单调递减，，， 由零点存在定理，，使得， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， ，，， 由零点存在定理，使得， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以上，，，， ②在上，单调递增， ，单调递减，所以， 综上，只有当时，在上，所以. 题型四 利用导数研究存在性问题 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为“直线与函数的图象有交点”，然后利用导数分析的单调性以及取值，由此求解出的最大值. 【解答过程】存在，使得成立， 即在上有解，即在上有解， 所以直线与函数的图象有交点， 又，令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以要使直线与函数的图象有交点，只需， 所以的最大值是， 故选：A． 14．（2024·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得. 【解答过程】依题意， ， 令，即，由，得， 令，则原问题等价于存在，使得成立， 求导得，由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 而 ，又， 则当时，，若存在，使得成立， 只需且，解得且，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 15．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【解答过程】当时，由可得，则， 令，其中，则， 当时，令，可得，列表如下： 增 极大值 减 且，，，，如图所示：    要使得存在唯一的负整数，使得，即， 只需，即， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为 . 【解题思路】依题意存在使得，参变分离可得，令，，利用导数说明函数的单调性，求出，则，即可求出的最大整数. 【解答过程】依题意对任意，且有， 因为存在使得不等式成立， 所以存在使得，即， 令，， 则， 令，，则在上单调递增， 且，， 所以使得，即，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以， 所以， 依题意，又为整数，所以，所以的最大值为. 故答案为：. 题型五 利用导数研究双变量问题 17．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误. 【解答过程】，则，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在上，且，，，即. 综上，的图象如下：结合，，令， 如上图，若且，则，则不一定成立，A错误； 又，故，则不一定成立，B错误； 令， 则， 当时，，得，则； 当时，，得，则， 所以函数在R上单调递增，且， 所以在R上恒成立，得， 即，又，所以， 由，且函数在单调递减，得，即，D正确. 又，则，即，故，C错误. 故选：D. 18．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【解题思路】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D. 【解答过程】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 对A，则，且， 所以，解得，所以A正确； 对B，，且，，故，， 所以，所以B正确； 对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定， 所以C不正确； 对D，由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，所以D正确； 故选：C. 19．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 【解题思路】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）（i）根据极值点的概念可得是方程的两个正根，结合计算即可求解； （ii）由（i）得，化简计算可得 ，令，利用导数求出即可. 【解答过程】（1）当时，， 则，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）（i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 20．（2024·广东佛山·二模）已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 【解题思路】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性； （2）借助换元法，令，，，可得、是方程的两个正根，借助韦达定理可得，，即可用、表示，进而用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 【解答过程】（1）当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为、，单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 题型六 导数中的极值偏移问题 21．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据零点可将问题转化为，构造，求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数，结合函数的单调性即可求解B，根据可得，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D. 【解答过程】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误； 由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误； 由，两式相加整理可得， 所以，，可得，故C错误； 由图可知，则，又因为，所以，，故D正确. 故选：D. 22．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．个 B．个 C．个 D．个 【解题思路】由可得，设，其中，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数，其中，分析函数的单调性，可判断②③；分析出、，利用不等式的基本性质可判断④. 【解答过程】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，①对； 对于②，由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，②错； 对于③，由，两式相加整理可得， 所以，，可得，③对； 对于④，由图可知，则，又因为，所以，，④对. 故选；C. 23．（2024·江西南昌·二模）已知函数，． (1)当时，恒成立，求a的取值范围． (2)若的两个相异零点为，，求证：． 【解题思路】（1）运用导数研究的最小值不小于0即可. （2）消去参数a及比值代换法后得，运用导数研究在上最小值大于0即可. 【解答过程】（1）当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设， 所以，即， ， 设， 则， 所以，当时，，即在上单调递增， 所以， 所以当时，，即在上单调递增， 所以， 若恒成立，则． 所以时，恒成立，a的取值范围为. （2）由题意知，， 不妨设，由得， 则， 令， 则，即：． 要证， 只需证， 只需证， 即证， 即证（）， 令（）， 因为， 所以在上单调递增， 当时，， 所以成立， 故． 24．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)若，讨论的单调性． (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【解题思路】（1）求导后，根据的正负可确定的单调性； （2）（i）将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围； （ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论. 【解答过程】（1）当时，，则； 令，解得：或， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由得：， 恰有个正实数根，恰有个正实数根， 令，则与有两个不同交点， ，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于； 则图象如下图所示， 当时，与有两个不同交点， 实数的取值范围为； （ii）由（i）知：，， ，， ， 不妨设，则， 要证，只需证， ，，，则只需证， 令，则只需证当时，恒成立， 令， ， 在上单调递增，， 当时，恒成立，原不等式得证. 题型七 导数在实际问题中的应用 25．（2024·陕西安康·模拟预测）某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】写出圆柱的体积解析式，构造函数，利用导数求出圆柱体的最大体积 【解答过程】设圆锥的底面半径为，高为，圆柱的底面半径为，高为， 则，所以， 所以. 设，则. 令，得或（舍去）， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故选：C. 26．（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【解题思路】利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值. 【解答过程】依题意，得， 令，得， 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值. 故选：B. 27．（2024·广东茂名·二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【解题思路】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【解答过程】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 28．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，从边长为100米的等边三角形花园的点沿直线修一条路到边上的点，再从沿直线修一条路到边上的点，且，若路每米的造价是路每米造价的倍，则当 75 米时，修筑这两条路的总造价最低．    【解题思路】设米，由余弦定理可得，由等边三角形性质得，由此得到总造价函数解析式，利用导数求最值即可. 【解答过程】设米，路的造价为每米元， 在中，由余弦定理可知 ， 由，得是等边三角形，则， 所以总造价， 当时，均在上单调递减； 则在上单调递减； 当时， 则 ， 令，即，解得（舍）或， 且当时，在单调递减； 当时，在单调递增． 综上可知，在单调递减；在单调递增． 故当时，取最小值. 所以当米时，修筑这两条路的总造价最低． 故答案为：. 题型八 导数中的新定义问题 29．（2024·青海西宁·二模）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得的范围从而确定它们的大小． 【解答过程】由题意：， 所以分别为的根，即为函数 的零点， 可解得； 为单调递增函数， 且，所以， 令，解得，或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，由，，， ，所以， 所以. 故选：B. 30．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 31．（2024·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 【解题思路】（1）根据题意，求得，结合新定义，即可得到答案； （2）求得，得到，列出方程求得，得到，求得的单调性，进而求得函数的极值. 【解答过程】（1）解：由函数，可得， 由，得，又由，得，所以曲线没有拐点. （2）解：由函数， 可得， 因为为曲线的一个拐点，所以， 所以，解得，经检验，当时，， 所以. 当或时，，则的单调递增区间为； 当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为， 故当时，取得极大值，且极大值为； 当时，取得极小值，且极小值为. 32．（2024·湖南湘西·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足． 注：． 设函数在处的阶帕德近似为． (1)求的解析式； (2)证明：当时，； (3)设函数，若是的极大值点，求k的取值范围． 【解题思路】（1）由题意设，结合帕德近似的定义及导数运算求参数，即可得解析式； （2）构造且，利用导数研究其单调性并判断与1的大小关系，即可证结论； （3）利用定义求在处的阶帕德近似函数，并研究的极值确定为界点，再讨论、、并结合导数判断是否为的极大值，即可求范围. 【解答过程】（1）由题意，可设，且，则， 而，，且，则， 所以. （2）当时，恒有， 令，且，则， 当时，，即在上递增； 当时，，即在上递减； 所以，故，得证. （3）令在处的阶帕德近似为， 由，则，故， 由，，而，则， 所以，故， 由，而，则， 综上，，且， 令，则恒成立， 所以在R上递增，即， 故时，时， 所以时，时， 此时，时不是极值点； 以为界，讨论如下： 由连续函数， 当，则，而， 在上，递减，在上，递增，则， 所以，在两侧恒成立，是极小值点； 当，则，而， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 当，有， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 当，则，而， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 综上，. 一、单选题 1．（2024·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为，有恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则， 令，得，当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 则， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C． 2．（2024·江苏连云港·模拟预测）现有一个表面积为的实心球，若将其打磨成一个圆锥，则圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设球的半径为，根据题意，求得，再设打磨成的圆锥的高为，底面半径为，在直角中，得到，结合锥体的体积公式得到，设函数，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【解答过程】如图所示，设球的半径为，球心为， 因为球的表面积为，可得，可得， 设打磨成的圆锥的高为，底面半径为，底面圆心为，如下图示， 在直角中，可得，即，可得， 则圆锥的体积为， 设其中，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也时最大值，最大值为. 故选：C.    3．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数．则抛物线上的各点处的曲率最大值为（    ） A． B．p C． D． 【解题思路】先求出函数的导函数及导函数的导函数，再根据公式求出各点处的曲率，并解出最大值即可. 【解答过程】由题可知抛物线方程为：，则，， 则该抛物线在各点处的曲率， 当时，取最大值. 故选：C. 4．（2024·江西·模拟预测）已知有解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】将不等式变形为，设，由已知方程在）上有解，故，利用导数求函数的最小值可得实数a的取值范围. 【解答过程】不等式可化为 ， ， 令，则且， 由已知不等式在上有解， 所以在上有解. 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以 ，所以， 所以a的取值范围为， 故选：A. 5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导分析函数的单调性及极值，作出函数的图象，把方程有3个不同的实数根转化为方程有3个不同的实数根，数形结合即可求解. 【解答过程】因为当时，，所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以，且； 又因为当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减，且， 所以作出函数的大致图象如图：    由得， 所以或，则无解，所以只有方程有3个不同的实数根， 数形结合可知. 故选：B. 6．（2024·四川南充·模拟预测）设，，且，则下列结论正确的个数为（   ） ①      ②        ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】①②根据指数对数运算和基本不等式判断；③构造函数，然后根据函数单调性判断. 【解答过程】，当且仅当时等号成立，故①错； ，当且仅当时等号成立，故②正确； 由题意得，且， 令，，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，故③正确. 故选：C. 7．（2024·江西·模拟预测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项；先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而可知B选项错误；通过，得到，进而可得与的大小关系, 进而可知C选项错误；D与C选项同样的方法即可判断. 【解答过程】对于A，， ，令,则 ， 所以在单调递减，在上单调递增，且，故. 令 则，所以在上单调递减，且， ， ， ，    即 ,故选项A错误； 对于B， ，    令， 则，所以在单调递增，在上单调递减， 且，故. 令 所以在上单调递减，且， ，， ， ，，即，故选项B错误； 对于C，，，   ，又在单调递增，， ，故选项C错误； 对于D，由C可知，， 又在单调递减 ， ，故选项D正确. 故选：D. 8．（2024·四川南充·一模）已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】令，判断的单调性结合得到，，进而有，，两式作差可判断①；根据得到可判断②；将得到的两式相加，再利用换元法可判断③. 【解答过程】 （）有两个不同的零点，，且， 即，是方程的两个不同的根， 令，，易知， ， 在单调递增， 时，， 时，， ，， ，， 对于①，两式作差得，， 整理得， ， ，即，故①正确； 对于②， ，且， ， ，即， ，故②正确； 对于③， ，， 两式相加得，， 整理得， ，即， ， 即， 令，则， 整理得，即， 时，， 时，， ，即，故③正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较. 【解答过程】设，则，在单调递增， 所以，即，即，A正确； 令，，则，而，所以，B不正确； 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 则在时取得最小值，即，C正确； 设，则，所以在上是增函数， 所以由得，即，D正确. 故选：ACD. 10．（2024·新疆·二模）设函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上的最大值为 C．方程只有一个实根 D．，都有成立 【解题思路】利用导数研究函数的单调性和最值即可判断A，B；数形结合即可判断C； 令，利用导数分析函数的单调性即可判断D. 【解答过程】由题可得，令，则， 当时，，所以，在上单调递减． 又，所以当时，，即，当 时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上，． 当时，， 所以在上的最大值为，故A错误，B正确； ，即， 由图象知，与的图象只有一个交点，故C正确；    令，则， 当时，，单调递增， 当时，，当时，， 所以在上先增后减， 又，，所以成立，故D正确． 故选：BCD． 11．（2024·广西来宾·模拟预测）下列关于函数的说法，正确的有（    ） A．是的极大值点 B．函数有两个零点 C．若方程有两根，则 D．若方程有两根，则 【解题思路】对于AB，利用导数求出函数的单调性和的解即可判断AB；对于CD，不妨设， 由得，进而由得，接着利用放缩不等式即可得解. 【解答过程】因为，所以，， 所以当时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 令（舍）或， 对于A，由上可知是的极大值点，故A正确； 对于B，由上可知函数只有1个零点，故B错误； 对于CD，方程有两根，则， 不妨设， 则由上可知， 则，所以， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以时即， 所以，故，故C错误，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是 . 【解题思路】将构造成，运用导数研究单调性进而转化为（）恒成立，令，运用导数可求得的最大值即可. 【解答过程】由，即，得. 因为，所以 . 设，则. 因为，所以，所以在上单调递增. 因为，所以，所以，所以，所以. 设，则. 由，得，则在上单调递减； 由，得，则在上单调递增. 故，即. 故答案为：. 13．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为 ． 【解题思路】根据已知条件设 、 ，由此可得 ，对函数求导，根据导数判断函数的单调性，求得最值即可. 【解答过程】由题意设 ，因为面积为，所以 ， 根据题意有： ， 所以 ， 则长方体的体积为 ， ，令，有， 所以时，，函数在上单调递增， 时，，函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：. 14．（2024·四川德阳·一模）若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为 ． 【解题思路】分类讨论，当时，方程即有且仅有两个实根，利用导函数画出的大致图象，转化为交点问题，当时，令，利用导函数求的单调性，转化为最值问题. 【解答过程】定义域为， 当时，方程即有且仅有两个实根， 令，则，， 令解得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，可得函数的大致图象如图所示， 所以有且仅有两个实根时，； 当时，令， 则有且仅有两个实根， 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以要使有且仅有两个实根，则，解得， 综上实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按分类求出单调区间. （2）将不等式恒成立作等价变形，在时分离参数，构造函数，利用导数求出最小值，再对讨论即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递减区间是，递增区间是. （2）不等式， 当时，不等式恒成立，即； 依题意，当时，恒成立，令， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 则当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，于是， 所以实数a的取值范围是. 16．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．    (1)试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数； (2)当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 【解题思路】（1）根据长方体的体积公式即可得解； （2）求导，再利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案. 【解答过程】（1）由题意，长方体的高为，底面是正方形，正方形的边长为， 则，所以， 则； （2）由（1）得， 则， 当时，，当时， ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，容积最大，最大值为. 17．（2024·青海·二模）已知函数，曲线在处的切线的斜率为. (1)求a的值： (2)证明：当时，. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义直接计算即可； （2）将问题转化为，分别利用导数研究不等式左右两侧函数的最值即可证明. 【解答过程】（1）由已知得：， 则，解得； （2）结合（1）可得，即证. 设函数，. 当时，，在上单调递增， 所以； 设函数，. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， . 所以，即得证. 18．（2024·四川德阳·二模）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，求的最小值. 【解题思路】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与两种情况即可得解； （2）利用（1）中结论，利用韦达定理得到，，，利用消元法将表示成关于的函数，再利用换元法和导数求得所得函数的最小值，从而得解. 【解答过程】（1）因为， 所以, 令，则， 因为， 当时，，则，即， 此时在上单调递增， 当时，，由，得，且， 当或时，，即； 当时，，即， 所以在,上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增， 当时，在,上单调递增，在上单调递减， 其中. （2）由（1）可知，为的两个极值点，且， 所以，且是方程的两不等正根， 此时，，， 所以，，且有，， 则 令，则，令， 则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 所以的最小值为. 19．（2024·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【解题思路】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）①法一：令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域，即可得出答案；法二：对求导，求出的单调性和值域，使得，即可得出答案. ②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明. 【解答过程】（1）解：由题意得. 因为曲线在处的切线的斜率为3， 所以，得. （2）①法一：解：令，得.令，则. 当时，单调递增； 当时，单调递减.故. 当趋近正无穷时，趋近，又， 所以，即的取值范围为. 法二：由题意得. 若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点. 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得. 当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；. 故的取值范围为. ②证明：由①可得，则 两式相加得. 由，得. 要证，只需证. 设，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增，则，即. 因为，所以，即. 又，所以，所以， 从而得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$