精品解析：山西省吕梁市孝义市2024-—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024～2025学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1、本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3、考试结束后，只收回答题卡． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A. 中，当时不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B. 是一元二次方程，故选项B符合题意； C. 不是整式方程，则不是一元二次方程，故选项C不符合题意； D. 中含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：B． 2. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3. 已知抛物线与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题，转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 令得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可． 【详解】解：令， ∴， ∵抛物线 与轴有两个公共点， ∴， 即， 解得 故选：C ． 4. 如图，与关于点成中心对称，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据中心对称图形的性质对各选项分析判断后，利用排除法求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，与不一定相等， 故选项A、B、D结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意， 故选：C． 5. 用配方法解一元二次方程时，其中有一步将写成的形式，其依据的数学知识是（ ） A. 等式的性质 B. 平方根的意义 C. 平方差公式 D. 完全平方公式 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将写成的形式的依据是完全平方公式． 【详解】解：用配方法解一元二次方程时，其中有一步将写成的形式，其依据的数学知识是完全平方公式， 故选：D． 6. 在某次足球联赛中，参赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛56场．若本次联赛共有个队参加比赛，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 共有x个队参加比赛，则每队参加场比赛，参赛的每两队之间都进行两场比赛，根据共要比赛56场，列方程即可． 【详解】解：共有x个队参赛，根据题意，可列方程为： ， 故选：C． 7. 如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．旗面为红色、象征革命胜利；左上角图案由黄色五角星和黄色圆圈组成、象征中国青年一代紧密团结在中国共产党周围．如果将左上角图案绕某点旋转角后所得到的图形与原图形重合，则旋转角的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形，熟知正多边形的对称性是解题的关键． 根据五角星的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题知，若将五角星的五个外面的顶点连接起来，将得到一个正五边形． ∵， ∴当五角星绕其中心旋转整数倍的度数后，会与原图形重合． ，， ∴旋转角的值不可能是． 故选：A． 8. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，分别求出、和时的函数值即可判断． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ 故选：B． 9. 抛物线的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的一元二次方程的实数根为， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴，与轴的交点等知识进行分别判定即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，则， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵二次函数图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为，二次函数图象与轴的一个交点为， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， ∴当时，，故C选项正确，符合题意； ∴关于的一元二次方程 的实数根为，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 10. 如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 利用黄金分割的定义列出比例式即可求出的长． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 或（舍去）， 故答案为：C． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（3，-4） 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标为：（3，-4）． 故答案为：（3，-4）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 12. 已知二次函数的部分，的对应值如下表： 根据表格可知一元二次方程的一个实数根所在的范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据函数与x轴交点的纵坐标为零求解即可． 【详解】解：∵时，；时，； ∴一元二次方程的一个实数根所在的范围是， 故答案为：． 13. 某校生物兴趣小组在一次研究植物生长结构的实践活动中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物共有_________个小分支． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可． 【详解】设这种植物每个支干长出x个小分支，则 即 解得：（舍去） 这种植物共有个小分支． 故答案为： 14. 如图，某小区计划用总长为的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚（墙足够长），为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为，则与之间的函数关系式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，先求出的长，由矩形的面积公式可求y与x之间的函数关系式． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中， ，将绕点A顺时针旋转得到，点B与点D对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理，连接，则，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，，进而求出结论． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，如图，连接， ∴， ∴，， ∵C，D，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共76分．解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解方程是解题的关键． （1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后因式分解，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【16题详解】 解：， ， ， ， ， ； 【17题详解】 解：， ， ， 或， ． 17. 已知二次函数． （1）请用配方法将这个二次函数化成的形式； （2）当为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？ （3）抛物线可以由抛物线经过怎样的平移得到？ 【答案】（1）； （2）当时，二次函数有最大值，最大值是3； （3）向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，以及一般式和顶点式的转化、平移的性质， （1）根据配方法即可得到顶点式； （2）根据二次函数的性质即可求得答案； （3）根据顶点式和平移的方法即可求得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 当时，二次函数有最大值，最大值是3； 【小问3详解】 解：抛物线可以由抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到． 18. 已知关于的一元二次方程，试说明：不论为何值，此方程总有实数根． 【答案】 解：由题意，得． 不论为何值，此方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，进而结论得证． 【详解】略 19. 操作与思考： 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． 实践操作： （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到，画出；（注：点A与，B与，C与分别是对应点） （2）以点O为旋转中心，将顺时针旋转，画出旋转后的，并写出，，的坐标： ， ，， ；（注：点与，与，与分别是对应点） 观察思考： （3）能否由旋转得到？若能，请写出旋转中心的坐标、旋转方向及旋转角的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求，；；； （3）能，旋转中心的坐标为，旋转方向为逆时针方向，旋转角的度数为 【解析】 【分析】本题考查了平移作图和旋转作图，确定对应点是解题的关键． （1）根据平移的性质画出平移后的即可； （2）根据旋转的性质画出，再写出，，的坐标即可； （3）根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）能由旋转得到． 连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P， 则绕点P逆时针旋转得到， 即旋转中心的坐标为，旋转方向为逆时针方向，旋转角的度数为． 20. 金秋时节，我市兑镇镇新民村柿子喜获丰收．因为一掰分四瓣，形状似牛心，这里的柿子被当地人称为“牛心柿子”．据了解，新民村2022年到2024年每年种植柿子1000亩，2022年柿子的平均亩产量为150千克，由于2023年到2024年引进先进的种植技术，2024年柿子的平均亩产量为294千克． （1）若2022年到2024年柿子的平均亩产量的年增长率相同，求柿子平均亩产量的年增长率； （2）为做大做强柿子产业，柿农将采摘的部分柿子进行深加工，经过清洗、去皮、晾晒等多道工序后制成软糯香甜的柿饼进行出售．现已知柿饼的成本价是25元/盒，柿农以40元/盒的价格出售时，每天可售出100盒．为了回馈顾客，柿农决定采取降价销售．根据市场调查发现，柿饼的销售单价每降低1元，每天可多售出20盒．求如何定价才能使每天的销售利润最大？ 【答案】（1） （2）当柿饼的定价为35元/盒时，每天的销售利润最大． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，求二次函数最值，解题的关键是根据题意列出函数解析式． （1）设2022年到2024年柿子平均亩产量的年增长率为，根据2022年柿子的平均亩产量为150千克，2024年柿子的平均亩产量为294千克，列出方程，解方程即可； （2）设柿饼的定价为元/盒，每天的销售利润为元，根据题意列出函数解析式，然后求出最值即可． 【小问1详解】 解：设2022年到2024年柿子平均亩产量的年增长率为， 根据题意，得：， 解方程，得，（不合题意，舍去） 答：2022年到2024年柿子平均亩产量的年增长率为； 【小问2详解】 解：设柿饼的定价为元/盒，每天的销售利润为元，根据题意，得： ， ， 当时，有最大值． 答：当柿饼的定价为35元/盒时，每天的销售利润最大． 21. 阅读与思考：阅读下面材料，并完成相应学习任务： 图形的变化是基本的图形运动方式，利用图形的变化往往可以起到转化线段或角的作用，使得分散的条件转化为集中，从而有利于问题的解决． 数学问题：如图1，在中，点，，分别在边，，上，其中为的中点，．求证：． 证法1：如图2，作出关于对称的，连接． 与关于对称， ，，． 为的中点，，． ， ，． ．（依据1） 又．． ． 在中，．（依据2） ． 证法2：如图3，将绕点旋转得到．（点旋转后与点重合），连接． … 学习任务： （1）材料中的“依据1”“依据2”分别指的是：依据1：_________；依据2：_________； （2）根据材料中“证法2”的辅助线做法，写出证法2的完整过程； （3）在图1中，若，其它条件不变，则，，满足的等量关系是 ； （4）除材料中提到的“轴对称”“旋转”外，我们还学习过的一种图形的变化是：_________． 【答案】（1）等角的余角相等；三角形的两边之和大于第三边； （2）证法2：如图3，为的中点，即， ∴将绕点旋转得到．（点旋转后与点重合），连接． 由旋转可知：， ，，，， 又∵， ∴是垂直平分线， ， 在中，． ． （3）； （4）平移． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形三边的关系、勾股定理．解题关键是通过旋转构造全等三角形转化线段关系． （1）根据证明过程可得出依据； （2）由旋转旋转可得，根据得出是垂直平分线，进而可得，再根据三角形三边关系得出结论， （3）同理（2）将，，转移到同一个三角形中，再根据三角形三边关系得出结论， （4）根据图形变化方式即可得出结论． 【小问1详解】 解：由，，，可得，故“依据1”是等角的余角相等； 在中，．依据2是三角形的两边之和大于第三边； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 结论：， 证明：如图，将绕点旋转得到．（点旋转后与点重合），连接． 同理（2）可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 平移是最常见的一种图形的变化， 答案为：平移． 22. 综合与实践 问题背景： 某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面所在直线为轴，上下桥拱最高点，所在直线为轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案． 设计方案： ①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； ②上、下桥拱最高点，之间的距离为10； ③桥拱在桥面上的距离的长度为25． 解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题： （1）求下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式； （2）“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．其中点，（点在点的左侧）均在直线上，点，在上桥拱上（点P，Q关于轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形，并求出点，的坐标． 【答案】（1） （2） 矩形如图所示． 点的坐标为，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．得到二次函数中几个关键点的坐标并选择合适的函数解析式代入计算是解决本题的关键． （1）由得A、B、E的坐标，从而得出点F、点C、点D的坐标，设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为，再运用待定系数法求解即可； （2）先画出图形，设点的坐标为，得点的坐标为．点的坐标为，可得，，由矩形的周长为57.5可得方程，解方程求出m的值可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，得，． ，， ． 当时，， 解方程，得，， ，， ， 又， ， ，． 设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为， 由图象经过点，可得，解方程，得． 下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； 【小问2详解】 解：，（点在点的左侧）均在直线上， 设点的坐标为，则点的坐标为． 由矩形，得轴， 点的坐标为， ，， 由矩形的周长为57.5，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 点的坐标为，点的坐标为． 23. 综合与探究 问题情境： 在中，，为的中点．将以点为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点，，与的交点为．猜想证明： （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究 （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】 （1）（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ∴， 根据旋转性质得，， ∴， ∵，为的中点． ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）①解：，理由如下： 连接， ∵，为的中点． ∴，，， ∵以点为中心逆时针方向旋转，点恰好落在边上， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据，得到，根据旋转性质得，，继而得到，根据等腰三角形的性质得到，，得到得证，根据菱形的判定证明即可． （2）①连接，先证明，再证明即可．②过点D作于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：过点D作于点M， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1、本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3、考试结束后，只收回答题卡． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与关于点成中心对称，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，其中有一步将写成的形式，其依据的数学知识是（ ） A. 等式的性质 B. 平方根的意义 C. 平方差公式 D. 完全平方公式 6. 在某次足球联赛中，参赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛56场．若本次联赛共有个队参加比赛，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．旗面为红色、象征革命胜利；左上角图案由黄色五角星和黄色圆圈组成、象征中国青年一代紧密团结在中国共产党周围．如果将左上角图案绕某点旋转角后所得到的图形与原图形重合，则旋转角的值不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的一元二次方程的实数根为， 10. 如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 已知二次函数的部分，的对应值如下表： 根据表格可知一元二次方程的一个实数根所在的范围是_______． 13. 某校生物兴趣小组在一次研究植物生长结构的实践活动中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物共有_________个小分支． 14. 如图，某小区计划用总长为的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚（墙足够长），为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为，则与之间的函数关系式是_____． 15. 如图，在中， ，将绕点A顺时针旋转得到，点B与点D对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共76分．解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）请用配方法将这个二次函数化成的形式； （2）当为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？ （3）抛物线可以由抛物线经过怎样的平移得到？ 18. 已知关于的一元二次方程，试说明：不论为何值，此方程总有实数根． 19. 操作与思考： 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． 实践操作： （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到，画出；（注：点A与，B与，C与分别是对应点） （2）以点O为旋转中心，将顺时针旋转，画出旋转后的，并写出，，的坐标： ， ，， ；（注：点与，与，与分别是对应点） 观察思考： （3）能否由旋转得到？若能，请写出旋转中心的坐标、旋转方向及旋转角的度数；若不能，请说明理由． 20. 金秋时节，我市兑镇镇新民村柿子喜获丰收．因为一掰分四瓣，形状似牛心，这里的柿子被当地人称为“牛心柿子”．据了解，新民村2022年到2024年每年种植柿子1000亩，2022年柿子的平均亩产量为150千克，由于2023年到2024年引进先进的种植技术，2024年柿子的平均亩产量为294千克． （1）若2022年到2024年柿子的平均亩产量的年增长率相同，求柿子平均亩产量的年增长率； （2）为做大做强柿子产业，柿农将采摘的部分柿子进行深加工，经过清洗、去皮、晾晒等多道工序后制成软糯香甜的柿饼进行出售．现已知柿饼的成本价是25元/盒，柿农以40元/盒的价格出售时，每天可售出100盒．为了回馈顾客，柿农决定采取降价销售．根据市场调查发现，柿饼的销售单价每降低1元，每天可多售出20盒．求如何定价才能使每天的销售利润最大？ 21. 阅读与思考：阅读下面材料，并完成相应学习任务： 图形的变化是基本的图形运动方式，利用图形的变化往往可以起到转化线段或角的作用，使得分散的条件转化为集中，从而有利于问题的解决． 数学问题：如图1，在中，点，，分别在边，，上，其中为的中点，．求证：． 证法1：如图2，作出关于对称的，连接． 与关于对称， ，，． 为的中点，，． ， ，． ．（依据1） 又．． ． 在中，．（依据2） ． 证法2：如图3，将绕点旋转得到．（点旋转后与点重合），连接． … 学习任务： （1）材料中的“依据1”“依据2”分别指的是：依据1：_________；依据2：_________； （2）根据材料中“证法2”的辅助线做法，写出证法2的完整过程； （3）在图1中，若，其它条件不变，则，，满足的等量关系是 ； （4）除材料中提到的“轴对称”“旋转”外，我们还学习过的一种图形的变化是：_________． 22. 综合与实践 问题背景： 某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面所在直线为轴，上下桥拱最高点，所在直线为轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案． 设计方案： ①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； ②上、下桥拱最高点，之间的距离为10； ③桥拱在桥面上的距离的长度为25． 解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题： （1）求下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式； （2）“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．其中点，（点在点的左侧）均在直线上，点，在上桥拱上（点P，Q关于轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形，并求出点，的坐标． 23. 综合与探究 问题情境： 在中，，为的中点．将以点为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点，，与的交点为．猜想证明： （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究 （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $