精品解析：陕西省西安市西大附中浐灞中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

第二次课堂观测 考试时间：100分钟；考试总分：120分 一、单选题（共30分） 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线，向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的高，若，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米 A. 20 B. 15 C. 12 D. 10. 二次函数（a，b，c，为常数，）图象如图所示，下列结论： ①；②；③若点、在该二次函数的图象上，则；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共18分） 11. 如果，则______． 12. 若点是抛物线上的两个点，则_____ 13. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的值是__________ 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 的顶点O与原点重合， 顶点B在x轴上，与反比例函数 的图象交于点D，且，过点D作x轴的垂线交x轴于点 C．若，则k的值为______． 16. 如图，四边形的两条对角线和所成的锐角，则的最大值为_________． 三、解答题（共72分） 17. 计算或解方程 （1） （2） （3） （4） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19. 如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹） 20. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组． （1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 21. “唐妞”是陕西省历史博物馆的形象代言人，她高髻峨眉，面如满月，体态丰满，身穿宽袖长裙，以崭新的卡通形象示人．某文创产品店销售唐妞团扇，团扇的成本为8元/把．据市场分析，销售单价定为10元/把时，每天能售出200把；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20把．针对这种团扇的销售情况，该店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元/把？ 22. 小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：40，小明每分钟至少应录入多少个字？ 23. 报本寺塔坐落在陕西省武功镇，东临漆水，西辅香山，依寺建塔，风景秀丽，为陕西名塔之一，小红想利用所学知识来测量报本寺塔（图1）的高度，测量方案如下：如图2，小红通过调整测角仪的位置，在塔周围的点C处用测角仪测得塔顶部A的仰角为53°（测角仪的高度忽略不计）．接着，在阳光下，小红沿着BC方向向前走30米（即米），到达塔在太阳光下的影子末端D处，在D处竖立一2米长的标杆DE，此时标杆DE在太阳光下的影长DF为3米．已知B、C、D、F四点在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，请结合以上数据求该塔的高度AB．（参考数据：，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）． （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围． （2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 25. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点D为上一点，且，过点D作于点E，若，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，点D是边上一点，连接，过点D作交于点E，过点B作于点F，交于点G，试判断与是否相似，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是一块菜园平面示意图，，，是边上的中线，于点F，交于点G，交于点E，经测量，米，现欲沿修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二次课堂观测 考试时间：100分钟；考试总分：120分 一、单选题（共30分） 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A、中，是无理数，故不符合要求； B、中，是有理数，故符合要求； C、中，是无理数，故不符合要求； D、中，是无理数，故不符合要求； 故选：B． 2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 3. 将抛物线，向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：C． 4. 如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的面积之比等于相似比的平方，列式计算即可． 本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，掌握相似三角形和位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴， ∴， ∴， ∴四边形与四边形的面积比为， 故选：D． 5. 如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，由题意得四边形是矩形，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积 故选：C 6. 如图，是的高，若，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵， ∴， ∵直角中，， ∴， ∴直角中，由勾股定理可得，． 故选D． 【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键． 7. 反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式得到其函数图象一定y轴的正半轴交于点，排除选项C，再根据中的k与的一次项系数互为相反数，结合图象解答即可． 本题考查了函数图象的分布，正确理解图像分布与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵解析式， ∴的图象一定y轴的正半轴交于点， ∴C错误； 当时，反比例函数的图象分布在一三象限，此时，， ∴的图象分布在二、一、四象限， ∴A正确，B错误； 当时，反比例函数的图象分布在二、四象限，此时，， ∴的图象分布在二、一、三象限， ∴D错误； 故选：A． 8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米 A. 20 B. 15 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 10. 二次函数（a，b，c，为常数，）图象如图所示，下列结论： ①；②；③若点、在该二次函数的图象上，则；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的最值，增减性，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ∵当时，， 结合抛物线的图象，得， ∵对称轴为 ∴， 代入得， 故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为， ∴点距离对称越远，函数值越小， 点、在该二次函数的图象上， 且 ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为，， 根据题意，得， ∵， ∴， 解得， ∴不在抛物线上， ∴ 故④错误． 故选：C． 二、填空题（共18分） 11. 如果，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据比例的等比性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 若点是抛物线上的两个点，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，求出抛物线的对称轴是解题的关键．根据二次函数的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求出b的值． 【详解】解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，作于，则，，再根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， 由图可得：，， ∴， 故答案为：． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 的顶点O与原点重合， 顶点B在x轴上，与反比例函数 的图象交于点D，且，过点D作x轴的垂线交x轴于点 C．若，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质和判定的应用．根据，可得，从而得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数位于第二象限内， ∴． 故答案为： 16. 如图，四边形的两条对角线和所成的锐角，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，关键是通过作辅助线，推出四边形的面积． 作于于，推出四边形的面积，令，得到四边形，即可求出的最大值是． 【详解】解：作于于， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 同理：的面积， ∴四边形的面积的面积的面积， 令，则， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算或解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）0 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据，代入计算即可． （2）根据，代入计算即可． （3）利用因式分解法解方程即可． （4）利用因式分解法解方程即可． 本题考查了特殊角的三角函数计算，因式分解法解方程，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活选择解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． ． 【小问3详解】 解： ∴， 解得． 【小问4详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 19. 如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点P即为所求作的点． 【解析】 【详解】【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键． 20. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组． （1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率；能用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）用列举法列出结果，用概率计算公式，即可求解； （2）画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解； 【小问1详解】 解：共有种结果：A．搭豇豆架、B．斩草除根C．趣挖番薯、D．开垦播种， 甲选择“趣挖番薯”小组的概率为； 故答案为； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有种， 甲、乙两人选择同一个小组的概率为， 答：甲、乙两人选择同一个小组的概率为． 21. “唐妞”是陕西省历史博物馆的形象代言人，她高髻峨眉，面如满月，体态丰满，身穿宽袖长裙，以崭新的卡通形象示人．某文创产品店销售唐妞团扇，团扇的成本为8元/把．据市场分析，销售单价定为10元/把时，每天能售出200把；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20把．针对这种团扇的销售情况，该店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元/把？ 【答案】销售单价应定为12元/把 【解析】 【分析】由利润=每件利润×销售数量建立方程求出其解即可． 【详解】解：设销售单价应定为元，所以每把团扇盈利元， 由题意可得，， 解得：，， 因为要让顾客得到实惠，所以取， ∴销售单价应定为12元/把． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求利润的公式列出方程． 22. 小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：40，小明每分钟至少应录入多少个字？ 【答案】（1）y＝ （2）小明每分钟至少应录入75个字 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式， （1）利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）先求出录入时间不超过20分钟，再代入函数解析式即可求出每分钟至少应录入多少个字． 【小问1详解】 解：（1）设， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 在19：20开始录入，录入到19：40，共20分钟， 当时，， 解得， 答：小明每分钟至少应录入75个字． 23. 报本寺塔坐落在陕西省武功镇，东临漆水，西辅香山，依寺建塔，风景秀丽，为陕西名塔之一，小红想利用所学知识来测量报本寺塔（图1）的高度，测量方案如下：如图2，小红通过调整测角仪的位置，在塔周围的点C处用测角仪测得塔顶部A的仰角为53°（测角仪的高度忽略不计）．接着，在阳光下，小红沿着BC方向向前走30米（即米），到达塔在太阳光下的影子末端D处，在D处竖立一2米长的标杆DE，此时标杆DE在太阳光下的影长DF为3米．已知B、C、D、F四点在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，请结合以上数据求该塔的高度AB．（参考数据：，，） 【答案】该塔的高度AB为40米 【解析】 【分析】设该塔的高度AB为x米，因为，利用锐角三角函数得到BC，根据垂直，得到，利用太阳光线是平行光线，得到，即可证明△EDF∽△ABD，再利用相似三角形对应线段成比例，列出方程，求解即可． 【详解】解：设该塔的高度AB为x米． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∴△EDF∽△ABD， ∴， ∴， 解得：． 答：该塔的高度AB为40米． 【点睛】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质．解题的关键在于证明三角形相似得到对应线段成比例，利用方程的思想求解． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）． （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围． （2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5 【解析】 【分析】（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为当y＞0时x的取值范围； （2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴A（2，1）， ∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称， ∴C（3，0）， ∴当y＞0时，1＜x＜3； （2）∵D（0，﹣3），A（2，1）， ∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位， ∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键． 25. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点D为上一点，且，过点D作于点E，若，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，点D是边上一点，连接，过点D作交于点E，过点B作于点F，交于点G，试判断与是否相似，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是一块菜园平面示意图，，，是边上的中线，于点F，交于点G，交于点E，经测量，米，现欲沿修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠的长度． 【答案】（1）2；（2）与相似，理由如下： 与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）米 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即，得出； （2）证明，，得出； （3）过点E作于点H，证明为等腰直角三角形，得出（米），证明，得出米，根据，得出米，求出米，根据勾股定理得出米，即可求出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 故答案为：2． （2）略； （3）过点E作于点H，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴（米）． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $