精品解析： 2024年湖北省宜昌市五峰土家族自治县中考一模数学试题

2024年春九年级模拟考试数学试题一 考生注意：闭卷考试，试题共24小题满分：120分考试时间：120分钟 请将解答填写在答题卡上指定的位置，否则答案无效． 一、选择题（下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项的字母代号涂填在答题卡上指定的位置．本大题共10小题，每小题3分，计30分）． 1. 我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献．刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”．例，如果把收入10元记作元，那么支出15元应记作（ ） A. 元 B. 0元 C. 元 D. 15元 2. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件 C. 甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定 D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 6. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在双曲线上，，，过作轴，垂足为．的垂直平分线交于，则的周长为（ ） A. B. 5 C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每小题3分，计15分．） 11. ___________． 12. 使代数式有意义的x的取值范围是______________． 13. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为________． 14. 如图，是大半圆的直径，点在上，大半圆的弦与小半圆相切于点，且，，则阴影部分的面积为__________． 15. 如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是______． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分．） 16. 先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 17. 如图，分别以点B和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线；连接； （1）是什么三角形？说明理由； （2）在中，是平分线，是平分线．求证：． 18. 桑梯一登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，a的调整范围是．（参考数据：，精确到0.1米） （1）当时，若人站在的中点E处，求此人离地面（）的高度． （2）在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面的距离范围． 19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 20. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． （1）绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　． x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 …… y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 …… ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； （2）探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：　 　； （3）运用函数图象及性质 ①写出方程-|x|＝5的解　 　； ②写出不等式-|x|≤1的解集　 　． 21. 已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F． （1）直接判断与的位置关系； （2）求证：； （3）若，，求阴影部分的面积． 22. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x（元） … 25 30 35 … 日销售量y（千克） … 110 100 90 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）证明：； 【探索发现】 （2）延长交直线于点，请将图1补充完整，猜想此时线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，若，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请求线段的长． 24. 综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． （1）求直的函数表达式； （2）是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春九年级模拟考试数学试题一 考生注意：闭卷考试，试题共24小题满分：120分考试时间：120分钟 请将解答填写在答题卡上指定的位置，否则答案无效． 一、选择题（下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项的字母代号涂填在答题卡上指定的位置．本大题共10小题，每小题3分，计30分）． 1. 我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献．刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”．例，如果把收入10元记作元，那么支出15元应记作（ ） A. 元 B. 0元 C. 元 D. 15元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据把收入10元记作元，即可得出支出15元应记作元，即可作答． 【详解】解：∵收入10元记作元， ∴支出15元应记作元， 故选：A． 2. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误． 故选C． 【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图定义，从物体正面看到的图形，直接选出正确答案即可． 【详解】解：根据三视图要求，主视图从正面看，看到的图形如下图， 故选：C． 【点睛】本题考查了判断简单组合体的三视图，掌握三视图的判断方法是解题关键． 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根．根据算术平方根及立方根进行求解即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件 C. 甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定 D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用抽样调查以及三角形内角和定理、方差、中心对称图形的定义、抽取样本要具有代表性分别分析得出答案． 【详解】解：A、了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，故此选项不符合题意； B、“任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件，正确，故此选项符合题意； C、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，故此选项不符合题意； D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，样本容量太小，不具有代表性，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了抽样调查以及事件分类、方差、抽取样本容量要具有代表性，正确把握相关定义是解题关键． 6. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 7. 若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程解的意义．根据一元二次方程解的意义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是一元二次方程的实数根， ， ， 又、是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 9. 如图，点在双曲线上，，，过作轴，垂足为．的垂直平分线交于，则的周长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得，从而得到的周长，由反比例函数的性质和勾股定理可得，运用完全平方公式进行计算可得，从而得到答案． 【详解】解：的垂直平分线交于， ， 的周长， 点的坐标为，轴， ，， 点在双曲线上，，， ， ， ，（不符合题意，舍去）， 的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、反比例函数的性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握以上知识点，得到的周长是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③正确； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每小题3分，计15分．） 11. ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了乘方，化简绝对值，算术平方根，先运算乘方，算术平方根以及化简绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 使代数式有意义的x的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义，即被开方数为非负数，分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：且． 13. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为________． 【答案】7天 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 两边同时乘以 得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：7天． 14. 如图，是大半圆的直径，点在上，大半圆的弦与小半圆相切于点，且，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，连接O1F，，则是大圆半径，由垂径定理可得出AE的长，根据勾股定理可得，最后由阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积即可求解． 【详解】解：作于，连接O1F，，则是大圆半径， ∵AB与小半圆相切于点，∴O1F⊥AB， ，∴=O1F， 由垂径定理知，点是的中点，∴AE=AB=3． 在Rt△AOE中，由勾股定理知，， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 15. 如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，根据题意证明出 即可得到，设，则，表示出，过点作，证明出四边形是正方形，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，则，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴设，则， ∵， ∴，， ∴， 如图所示，过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分．） 16. 先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式＝ ； a＝-，b＝+， ∴原式 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键． 17. 如图，分别以点B和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线；连接； （1）是什么三角形？说明理由； （2）在中，是平分线，是平分线．求证：． 【答案】（1） 是等腰角形， 理由如下： 根据作图，是的垂直平分线， ∴． ∴是等腰三角形； （2） 证明：∵是等腰三角形，， ∴， 又∵是平分线，是平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）由作图知是的垂直平分线，据此可证明是等腰三角形； （2）证明，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 桑梯一登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，a的调整范围是．（参考数据：，精确到0.1米） （1）当时，若人站在的中点E处，求此人离地面（）的高度． （2）在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面的距离范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． （1）过E作于点H，由题意易得，然后问题可求解； （2）过点D作于点D，，然后分当时和当时，进而分类求解即可． 【小问1详解】 解：过E作于点H， ∵，， ∴， ∵点E为的中点，米， ∴， ∴， 在中， ， ∴； 【小问2详解】 解：过点D作于点D， 当时， ∵， ∴， ∴， 即； 当时，； ∴， 即； ∴D与地面的距离范围为． 19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1） 补全统计图如图所示， （2）；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为． 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． （1）绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　． x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 …… y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 …… ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； （2）探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：　 　； （3）运用函数图象及性质 ①写出方程-|x|＝5的解　 　； ②写出不等式-|x|≤1的解集　 　． 【答案】（1）①1； ②描点，③连线如下： （2）的图象关于轴对称轴（答案不唯一） （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案． 【小问1详解】 ①列表：当x=2时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： 【小问2详解】 观察函数图象可得：的图象关于y轴对称， 故答案为：的图象关于y轴对称； 【小问3详解】 ①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1， 的解是x=1或x=-1， 故答案为：x=1或x=-1， ②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1， ∴的解集是x≤-2或x≥2， 故答案为：x≤-2或x≥2． 【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． 21. 已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F． （1）直接判断与的位置关系； （2）求证：； （3）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵，所在的圆与是等圆， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角的性质和垂径定理，解题关键是根据旋转得出所在的圆与是等圆，再根据圆的相关性质推理即可． （1）根据弧相等所对的弦也相等得出，进而得出点B是中点，得出； （2）根据圆周角相等，得出，，再根据垂直可证； （3）由（2）可证弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，利用，求解即可． 【小问1详解】 解： 将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，所以所在的圆与是等圆，连接 ∴， ∴点B是中点， ∵是的直径， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得，，所在的圆与是等圆， 所以弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 所以三角形的面积=， 阴影面积为： 22. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x（元） … 25 30 35 … 日销售量y（千克） … 110 100 90 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）30元 （3）40元；1600元 【解析】 【分析】（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）销售利润=销售量每千克所获得的利润，得，解出方程； （3）构造，利用二次函数的最大值问题解决． 【详解】解：（1）设一次函数表达式为， 将代入，得 解得 ． （2）根据题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元． （3）方法1： 设日销售利润为w元． ． ， 抛物线开口向下， 又， 当时，w随x的增大而增大． 当时，w有最大值，（元）． 答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元． 方法2： 设日销售利润为w元． ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当时，w随着x的增大而增大， 当时，w有最大值，（元）． 答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元． 【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程、二次函数的综合运用，是应用题中的典型，也是中考必考题型． 23. 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）证明：； 【探索发现】 （2）延长交直线于点，请将图1补充完整，猜想此时线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，若，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请求线段的长． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ． 由旋转得：， ∴； （2）解：图1补充完整 猜想． 理由如下：过点作交于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质证明，再结合旋转即可证明； （2）过点作交于点，先根据正方形的性质证明，从而得到，再根据可证，即可证明； （3）取的中点，连接，根据题意表示出的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，，，三点共线，再根据条件证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2，取的中点，连接， ， 点是的中点， ， 的周长， 当的周长最小时，最小，此时，，，三点共线， 四边形是正方形， ，，， 在中，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键． 24. 综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． （1）求直的函数表达式； （2）是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）点作轴交于点，过点作于点，设，则，可得是等腰直角三角形，表示出，则，那么，再转化为二次函数求最值即可； （3）可求，结合条件得到将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，则新抛物线，求出交点．设．，，，由于以为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况讨论，即和，建立方程求出，再根据对角线互相平分的性质求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线，令，则； 令，则． 解得． ∴． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如答图，过点作轴交于点，过点作于点． 设，则． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵轴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， 将代入得：， ∴． ∴， ∵， ∴面积的最大值为，此时． ∴． ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 相当于平移了的长度，而点的水平距离为1，铅锤距离为3， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度． ∵抛物线， ∴新抛物线． ∴新抛物线的对称轴为直线． 联立． 解得． ∴． 设． ∴， ， ． ∵以为顶点的四边形是以为边的菱形， ①当时，即． 解得． ∴． 设点的坐标为． ∴， 即． 解得． ∴点的坐标为； ②当时，即． 解得． ∴或． 同理可得点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，两点之间距离公式，函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $