专题06 解直角三角形与统计概率（11类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（上海专用）

专题06 解直角三角形与统计概率 考点一 解直角三角形 ►考向一 解直角三角形 规律方法总结 解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1．（2021•上海）如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）6；（2）． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识 【分析】（1）解锐角三角函数可得解； （2）解法一：连接，过作的垂线，垂足为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，由勾股定理可得，，即可求． 解法二：直接用三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：（1），，， ， 在中，由勾股定理得， ， 即的长为6； （2）如图， 连接，过点作的垂线，垂足， 为边上的中线， 即为的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， 三角形为等腰三角形，， ， 在中，， ． 解法二：为边上的中线， 是中点， ，， ， 是△的中位线， ，， 在△中，． 【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点． 2．（2020•上海）如图，在中，，，，点在边上，，连接．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　 　． 【专题】558：平移、旋转与对称；69：应用意识 【分析】如图，过点作于．首先证明是等边三角形，解直角三角形求出即可． 【解答】解：如图，过点作于． ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 到直线的距离为， 故答案为． 【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． ►考向二 解直角三角形的应用 解题方法总结 解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 3．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米． （1）求点到的距离； （2）求、两点的距离． 【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用 【分析】（1）过点作，垂足为点，交于点，利用旋转的性质可得出厘米，，利用矩形的性质可得出，在△中，通过解直角三角形可求出的长，结合及可求出点到的距离； （2）连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离． 【解答】解：（1）过点作，垂足为点，交于点，如图3所示． 由题意，得：厘米，． 四边形是矩形， ， ． 在△中，厘米． 又厘米，厘米， 厘米， 厘米． 答：点到的距离为厘米． （2）连接，，，如图4所示． 由题意，得：，， 是等边三角形， ． 四边形是矩形， ． 在中，厘米，厘米， 厘米， 厘米． 答：、两点的距离是厘米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出的长度；（2）利用勾股定理求出的长度． 4．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． （1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度．（用含，，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度． 【答案】（1）米； （2）3.8米． 【专题】运算能力；解直角三角形及其应用；图形的相似 【分析】（1）根据题意可得米，米，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答； （2）根据题意得：米，米，，然后证明字模型相似三角形，从而可得，再证明字模型相似三角形，从而可得，进而可得，最后求出的长，从而求出的长． 【解答】解：（1）如图： 由题意得： 米，米，，， 在中，（米， 米， 灯杆的高度为米； （2）由题意得： 米，米，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 米， ， 米， 灯杆的高度为3.8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，数学常识，中心投影，列代数式，平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 考点二 数据收集与处理 ►考向一 用样本估计总体 5．（2020•上海）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 　 　． 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案． 【解答】解：$8400\times \frac{150}{400}=3150$． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150． 故答案为：3150． 【点评】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键． ►考向二 频数（率）分布直方图 易混易错提醒 ①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 6．（2021•上海）商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适　　 A．包 B．包 C．包 D．包 【答案】 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可． 【解答】解：由图知这组数据的众数为，取其组中值， 故选：． 【点评】本题主要考查频数（率分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念． 7．（2022•上海）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）小时4人，小时10人，小时14人，小时16人，小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 　 　． 【答案】88人． 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念 【分析】用200乘样本中阅读时间不低于3小时的学生所占比例即可． 【解答】解：（人， 故该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是88人． 故答案为：88人． 【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． ►考向三 频数（率）分布折线图 易混易错提醒 注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势． 8．（2020•上海）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是　　 A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 【答案】 【专题】统计的应用；模型思想 【分析】根据统计图的特点判定即可． 【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选：． 【点评】本题考查了统计图，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键． ►考向四 条形统计图 9．（2024•上海）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要增强讲解的人数约有 　 　人． 【答案】2000． 【专题】运算能力；统计的应用 【分析】用总人数乘以需要增强讲解的人数所占的百分比即可． 【解答】解：在总共2万人的参观中，需要增强讲解的人数约有（人． 故答案为：2000． 【点评】本题考查了条形统计图，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． ►考向五 扇形统计图 10．（2023•上海）垃圾分类，是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为 　 　． 【答案】1500吨． 【专题】统计的应用；应用意识 【分析】先用60除以可回收垃圾所占百分比，得到该市试点区域的垃圾总量，乘以10得到全市垃圾总量，然后乘以干垃圾所占的百分比即可． 【解答】解：该市试点区域的垃圾总量为（吨， 估计全市可收集的干垃圾总量为（吨． 故答案为：1500吨． 【点评】本题考查的是扇形统计图，利用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 11．（2021•上海）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如图． （1）求三月份生产了多少部手机？ （2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度． 【答案】（1）三月份生产了36万部手机；（2）手机的下载速度是每秒． 【专题】分式方程及应用；数据的收集与整理；应用意识 【分析】（1）先根据扇形统计图求出三月份所占百分比，即可利用总数乘以三月份所占百分比求解； （2）设手机的下载速度是每秒．则手机的下载速度是每秒．根据“下载一部的电影，比要快190秒”，列方程求解即可． 【解答】解：（1）（万部）， 答：三月份生产了36万部手机； （2）设手机的下载速度是每秒．则手机的下载速度是每秒． ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， 答：手机的下载速度是每秒． 【点评】此题主要考查的是如何观察扇形统计图并且从统计图中获取信息，分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键． ►考向六 折线统计图 12．（2023•上海）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是　　 A．小车的车流量比公车的车流量稳定 B．小车的车流量的平均数较大 C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值 D．小车与公车车流量的变化趋势相同 【答案】 【专题】函数及其图象；应用意识 【分析】观察图象，再逐项判断各选项即可． 【解答】解：观察小车与公车的车流量图可知，小车的车流量在每个时段都大于公车的车流量， 小车的车流量的平均数较大，选项正确； 而选项，，都与图象不相符合， 故选：． 【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是能从图象中获取有用的信息． 考点三 数据分析 ►考向一 方差 解题技巧总结 计算公式： s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 13．（2024•上海）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是　　 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 【答案】 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】先找出平均数小的种类，再根据方差的意义即可得出答案． 【解答】解：甲种类和乙种类开花时间最短， 从甲种类和乙种类进行选， 甲的方差大于乙的方差， 开花时间最短的并且最平稳的是乙种类． 故选：． 【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 14．（2022•上海）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，小明和小红分别计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是　　 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】根据方差的意义求解即可． 【解答】解：因为计算了点单的总额和不计算外卖费的总额， 所以两种情况计算出的数据一样的是方差， 故选：． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义． 15．（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）如图所示，下列判断正确的是　　 A．甲的成绩比乙稳定 B．甲的最好成绩比乙高 C．甲的成绩的平均数比乙大 D．甲的成绩的中位数比乙大 【答案】 【专题】统计的应用 【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案． 【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9， 则其中位数为8，平均数为8，方差为； 乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10， 则其中位数为8，平均数为8，方差为， 甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低， 故选：． 【点评】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数． 考点四 概率 ►考向一 概率公式 16．（2024•上海）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 　 　个绿球． 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】直接由概率公式即可得出结论． 【解答】解：一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是， 袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 【点评】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 17．（2023•上海）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 　 　． 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果， 所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 18．（2021•上海）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 　 　． 【答案】． 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】用偶数的个数除以数的总数即可求得答案． 【解答】解：共有9个数据，其中偶数有3个， 从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 19．（2020•上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　 　． 【专题】543：概率及其应用；65：数据分析观念 【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10， 取到的数恰好是5的倍数的概率是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率公式，概率所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键． ►考向二 列表法与树状图法 20．（2022•上海）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为 　 　． 【答案】． 【专题】推理能力；概率及其应用 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有2种， 分到甲和乙的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答． 【解答】解：，，， ，， 由题意得： ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键． 2．（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案． 【解答】解：， 在中，， ， 在中， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 3．（2024•静安区校级模拟）从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数下列说法中错误的数量为　　 （1）中位数是5 （2）众数是5 （3）平均数是5.2 （4）方差是2 （5）极差是7 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差、极差定义逐个计算即可． 【解答】解：根据条形统计图可得， 从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，故（1）说法正确，不符合题意； 投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，故（2）说法正确，不符合题意； 平均数，故（3）说法正确，不符合题意； 方差，故（4）说法错误，符合题意； 极差为，故（5）说法错误，符合题意； 错误的数量为2， 故选：． 【点评】本题考查了中位数、众数、平均数、方差和条形统计图及极差的知识，解答本题的关键在于读懂题意，从图表中筛选出可用的数据，然后整合数据进行求解即可． 4．（2024•虹口区三模）在一次“长征知识竞赛”中，参赛选手成绩的方差计算公式为，用折线统计图描述参赛选手的成绩，则正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据方差的计算公式中各数据的具体意义逐一分析求解即可． 【解答】解：由参赛选手成绩的方差计算公式为，可知成绩为85分的人数为2人，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式． 5．（2024•青浦区二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：161，165，169，163，167．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是　　 A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变 【答案】 【分析】依据算术平均数和方差的定义分别计算即可得出答案． 【解答】解：原数据的平均数为，方差为， 新数据的平均数为，方差为， 所以平均数不变，方差变小， 故选：． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义． 6．（2024•浦东新区三模）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：平均数和标准差分别为，，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，，则下列结论一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平均数的概念、标准差的性质判断即可． 【解答】解：货架上原有鸡蛋的质量的平均数和该顾客选购的鸡蛋的质量平均数的大小无法比较， 而货架上原有鸡蛋的质量的方差大于该顾客选购的鸡蛋的质量的方差， 货架上原有鸡蛋的质量的标准差大于该顾客选购的鸡蛋的质量的标准差， ， 故选：． 【点评】本题考查的是平均数、标准差，标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7．（2024•徐汇区二模）如表，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差． 甲 乙 丙 丁 平均数 185 180 180 185 方差 3.6 3.6 8.1 7.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】 【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：因为队员甲和乙的方差最小，但队员乙平均数小， 所以甲的成绩好，所以队员甲成绩好又发挥稳定． 故选：． 【点评】本题考查方差与算术平方根，解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 8．（2024•奉贤区二模）运动会200米赛跑，5位运动员成绩如表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是　　 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒 32 34 36 33 33 A．30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，2 【答案】 【分析】先根据算术平均数的定义求出运动员的成绩，再依据标准差的定义列式计算即可． 【解答】解：运动员的成绩为， 所以标准差为， 故选：． 【点评】本题主要考查标准差，解题的关键是掌握算术平均数和标准差的定义． 二．填空题（共8小题） 9．（2024•浦东新区校级三模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点，正方体横截面上的点，点，，，在一条直线上．若木棒与水平面的夹角，切点恰好为的中点，则石头的半径为 　 　．（结果保留根号） 【答案】． 【分析】过点作于点，作于点，可证是的中位线，得，而四边形是矩形，知，由（1）知，得是等腰直角三角形，故，，设石头的半径为 ，得，从而可解得石头的半径为． 【解答】解：如图，过点作于点，作于点， ，， ， 点为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是矩形， ， 由（1）知， 是等腰直角三角形， ，， 设石头的半径为 ，则， ， ， 解得， 石头的半径为． 故答案为： 【点评】本题考查解直角三角形的应用，涉及圆的切线性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是读懂题意，作辅助线构造直角三角形解决问题． 10．（2024•静安区校级三模）如图，已知与相交于、两点，圆心、在公共弦的两侧，，，那么的长是　 　． 【答案】． 【分析】过点作于，由锐角三角函数和勾股定理可求，可求，即可求解． 【解答】解：如图，过点作于， 与相交于、两点， 垂直平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相交两圆的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 11．（2024•静安区校级二模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图和赤道式日晷（图．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 　 　． 【答案】． 【分析】根据此时为正午12点方向，得出垂直于晷针，再根据平行投影得出，得出结论即可 【解答】解：由题意知，垂直于晷针， 投影为平行投影， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行投影的知识，熟练掌握平行投影的知识是解题的关键． 12．（2024•宝山区校级模拟）如图，随机闭合3个开关，，中的一个开关，能使小灯泡发光的概率是 　 　． 【答案】． 【分析】写出所有等可能的结果数和能让小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：随机闭合3个开关，，中的一个开关，能使小灯泡发光的情况只有， 概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查求等可能事件的概率，解答时涉及简单的物理知识，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 13．（2024•浦东新区校级三模）如图，小华为了添加老师微信，想估算出二维码黑色部分的面积，已知边长为的正方形二维码，在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分，则黑色部分的面积为 　 　． 【答案】． 【分析】用正方形的面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【解答】解：在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分， 黑色部分占这个区域的， 黑色部分的面积为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14．（2024•青浦区三模）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 　 　． 【答案】． 【分析】用涂色部分的面积除以图形总面积即可得到答案． 【解答】解：涂色部分的面积为， 飞镖落在涂色部分的概率． 故答案为： 【点评】本题考查了几何概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 15．（2024•奉贤区三模）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为 　 　． 【答案】． 【分析】根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6种， 经过这三个点能够画出圆的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、确定圆的条件，熟练掌握列表法与树状图法、确定圆的条件是解答本题的关键． 16．（2024•浦东新区模拟）小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是 　 　． 【答案】8． 【分析】由计算方差的算式得出这组数据为7、7、8、8、8、9，再根据众数的定义求解即可． 【解答】解：由题意知，这组数据为7、7、8、8、8、9， 所以这组数据的众数为8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据． 三．解答题（共5小题） 17．（2024•虹口区二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为6.5米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 【分析】任务一：根据勾股定理可得的值，进而根据坡比等于坡角的正切值计算后整理成的形式即可； 任务二：作于点，延长交于点，作于点．根据任务一中得到坡角所在的三角形的三边关系，分别求出，，，，即可求得的值．易得，那么，根据四边形是矩形，可得． 【解答】解：任务一． 由题意得：． ． 米，米， （米． 斜坡的坡比． 答：斜坡的坡比为； 任务二．作于点，延长交于点，作于点． ． 由题意得：， ． 由任务一得：． 由题意得：， ． ． ． ． ． 解得：． 同理：． ． 解得：． ， ． 由题意得：， ． ． ． ． ． 解得：． ，． 由题意得：，四边形是矩形， ， ，． ． ， ． ． ． ． ． 答：小张距大巴车尾的距离为． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．合理利用坡角所在的三角形的三边关系是解决本题的关键．用到的知识点为：坡度等于坡角的正切值，一般写成的形式． 18．（2024•长宁区三模）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长组员：，， 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内．点，，在同一条直线上，点在上 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 ，之间的距离 任务一：两次测量，，之间的距离的平均值是 　 　． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，， 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？ 【答案】任务一：5.5； 任务二：14.7； 任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到． 【分析】任务一：根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案； 任务二：设 ，解直角三角形即可得到结论； 任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）． 【解答】解：任务一：两次测量，，之间的距离的平均值是． 故答案为：5.5； 任务二：设 ， 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． ，， ， ， （米， 即旗杆的高度约为14.7米． 任务三：原因可能是没有太阳光，或旗杆底部不可能达到． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．（2024•市中区一模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，．结果精确到． 【答案】（1）此时点到地面的距离约为； （2）一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口，理由见解答． 【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）当，且时，设交于点，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，比较即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ，， ， ， 此时点到地面的距离约为； （2）一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口， 理由：如图：当，且时，设交于点， 由题意得：，， ， 在中，， ， ， 入口宽度为， ， ， 一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2024•静安区校级二模）如图，一个五角星，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，且，，现测得． （1）求的长（精确到． （2）作直线，求点到的距离（精确到． （参考数据：，，， 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，过点作于点，在中，利用锐角三角函数先求出，再求； （2）连接，过点作于点，在中，利用锐角三角函数求出． 【解答】解：（1）连接，过点作于点． ，， ． ． ． （2）连接，过点作于点， 则． ． 在中，． 点到地面的距离为． 【点评】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角间关系和等腰三角形的三线合一是解决本题的关键． 21．（2024•徐汇区校级三模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点在的中垂线上，且，，如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， （1）当点落在上时，，此时，，三点共线，求：的长． （2）将绕点逆时针旋转至，当时，测得点与到的距离之比，则求：的长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，，过点作于．首先证明，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理可得； （2）设，，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出即可． 【解答】解：（1）连接，，过点作于． 则， ， ，， ， ，， ， ， △△， ，即， ， ； （2）， 设，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ，即， ， ， 解得， ． 【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解直角三角形与统计概率 考点一 解直角三角形 ►考向一 解直角三角形 规律方法总结 解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1．（2021•上海）如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 2．（2020•上海）如图，在中，，，，点在边上，，连接．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　 　． ►考向二 解直角三角形的应用 解题方法总结 解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 3．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米． （1）求点到的距离； （2）求、两点的距离． 4．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． （1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度．（用含，，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度． 考点二 数据收集与处理 ►考向一 用样本估计总体 5．（2020•上海）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 　 　． ►考向二 频数（率）分布直方图 易混易错提醒 ①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 6．（2021•上海）商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适　　 A．包 B．包 C．包 D．包 7．（2022•上海）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）小时4人，小时10人，小时14人，小时16人，小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 　 　． ►考向三 频数（率）分布折线图 易混易错提醒 注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势． 8．（2020•上海）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是　　 A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 ►考向四 条形统计图 9．（2024•上海）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要增强讲解的人数约有 　 　人． ►考向五 扇形统计图 10．（2023•上海）垃圾分类，是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为 　 　． 11．（2021•上海）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如图． （1）求三月份生产了多少部手机？ （2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度． ►考向六 折线统计图 12．（2023•上海）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是　　 A．小车的车流量比公车的车流量稳定 B．小车的车流量的平均数较大 C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值 D．小车与公车车流量的变化趋势相同 考点三 数据分析 ►考向一 方差 解题技巧总结 计算公式： s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 13．（2024•上海）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是　　 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 14．（2022•上海）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，小明和小红分别计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是　　 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 15．（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）如图所示，下列判断正确的是　　 A．甲的成绩比乙稳定 B．甲的最好成绩比乙高 C．甲的成绩的平均数比乙大 D．甲的成绩的中位数比乙大 考点四 概率 ►考向一 概率公式 16．（2024•上海）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 　 　个绿球． 17．（2023•上海）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 　 　． 18．（2021•上海）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 　 　． 19．（2020•上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　 　． ►考向二 列表法与树状图法 20．（2022•上海）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为 　 　． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 2．（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为　　 A． B． C． D． 3．（2024•静安区校级模拟）从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数下列说法中错误的数量为　　 （1）中位数是5 （2）众数是5 （3）平均数是5.2 （4）方差是2 （5）极差是7 A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024•虹口区三模）在一次“长征知识竞赛”中，参赛选手成绩的方差计算公式为，用折线统计图描述参赛选手的成绩，则正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•青浦区二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：161，165，169，163，167．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是　　 A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变 6．（2024•浦东新区三模）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：平均数和标准差分别为，，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，，则下列结论一定成立的是　　 A． B． C． D． 7．（2024•徐汇区二模）如表，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差． 甲 乙 丙 丁 平均数 185 180 180 185 方差 3.6 3.6 8.1 7.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（2024•奉贤区二模）运动会200米赛跑，5位运动员成绩如表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是　　 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒 32 34 36 33 33 A．30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，2 二．填空题（共8小题） 9．（2024•浦东新区校级三模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点，正方体横截面上的点，点，，，在一条直线上．若木棒与水平面的夹角，切点恰好为的中点，则石头的半径为 　 　．（结果保留根号） 10．（2024•静安区校级三模）如图，已知与相交于、两点，圆心、在公共弦的两侧，，，那么的长是　 　． 11．（2024•静安区校级二模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图和赤道式日晷（图．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 　 　． 12．（2024•宝山区校级模拟）如图，随机闭合3个开关，，中的一个开关，能使小灯泡发光的概率是 　 　． 13．（2024•浦东新区校级三模）如图，小华为了添加老师微信，想估算出二维码黑色部分的面积，已知边长为的正方形二维码，在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分，则黑色部分的面积为 　 　． 14．（2024•青浦区三模）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 　 　． 15．（2024•奉贤区三模）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为 　 　． 16．（2024•浦东新区模拟）小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是 　 　． 三．解答题（共5小题） 17．（2024•虹口区二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为6.5米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 18．（2024•长宁区三模）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长组员：，， 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内．点，，在同一条直线上，点在上 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 ，之间的距离 任务一：两次测量，，之间的距离的平均值是 　 　． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，， 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？ 19．（2024•市中区一模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，．结果精确到． 20．（2024•静安区校级二模）如图，一个五角星，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，且，，现测得． （1）求的长（精确到． （2）作直线，求点到的距离（精确到． （参考数据：，，， 21．（2024•徐汇区校级三模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点在的中垂线上，且，，如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， （1）当点落在上时，，此时，，三点共线，求：的长． （2）将绕点逆时针旋转至，当时，测得点与到的距离之比，则求：的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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