专题05 平移、旋转、翻折与相似三角形（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（上海专用）

专题05 平移、旋转、翻折与相似三角形 考点一 图象的平移 ►考向一 平移的性质 1．（2020•上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是　　 A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 考点二 图形的旋转 ►考向一 旋转的性质 易混易错提醒 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 2．（2023•上海）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，联结，是的角平分线，则　 　． 3．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为 　 　． ►考向二 旋转对称图形 4．（2022•上海）有一个正边形旋转后与自身重合，则的值可能为　　 A．6 B．9 C．12 D．15 考点三 图形的翻折 ►考向一 翻折变换（折叠问题） 5．（2024•上海）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则　 　． 6．（2019•上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是　 　． 考点四 图形的相似 ►考向一 平行线分线段成比例 解题技巧总结 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 7．（2021•上海）如图所示，已知在梯形中，，，则　 　． ►考向二 相似三角形的判定与性质 解题方法总结 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 8．（2022•上海）如图，在中，，，为中点，在线段上，，则　 　． 9．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 10．（2023•上海）如图，在梯形中，点，分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 11．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，． 求证：（1）； （2）． 12．（2020•上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 13．（2019•上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是菱形． ►考向三 相似三角形的应用 解题方法总结 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 14．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　 　米． ►考向四 相似形综合题 15．（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点． （1）当点在上， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，，求的长． 16．（2019•上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，如果，且，求的值； （3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 一．选择题（共4小题） 1．（2024•杨浦区二模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，点、分别落在点、处，如果点、、在同一直线上，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•浦东新区校级三模）如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3． （2024•黄浦区二模）如图1，一个的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是　　 4． A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 4．（2024•青浦区三模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 二．填空题（共8小题） 5．（2024•浦东新区三模）如图，在正方形的边上取一点，联结，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，联结，若，则的面积是 　 　 6．（2024•上海模拟）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积　 　． 7．（2024•浦东新区模拟）如图，在矩形中，，，点在上，且，将沿对角线翻折到，连接．则　 　． 8．（2024•崇明区模拟）如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点是边上一动点．将沿翻折得到△，交于点，且点在下方，连接．当是直角三角形时，的周长为　 　． 9．（2024•静安区三模）折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题．下面是解决某个数学问题的折纸过程： （1）长方形纸片沿某直线折叠，使点与点重合，折痕交于点； （2）展开后，沿过点的直线折叠，使点落在边上点处．联结，用量角器测得，则长方形纸片中的值为 　 　． 10．（2024•青浦区三模）如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，，点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长为　 　；现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图，设边与相交于点，则当从到的变化过程中，点移动的路径长为　　．（结果保留根号） 11．（2024•宝山区二模）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 　 　． 12．（2024•静安区校级模拟）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则　 　． 三．解答题（共5小题） 13．（2024•浦东新区校级三模）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为 　 　； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； （3）如图③，在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．若、恰好分别是、的黄金分割点，请直接写出：的值． 14．（2024•静安区校级二模）如图，在△中，，，，分别为，，的中点，连接，． （1）如图1，求：的值． （2）如图2，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点，射线交于点时，连接并延长交射线于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 15．（2024•浦东新区校级三模）已知：为的直径，弦交于点，点为上一点，连接交于点，交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长． 16．（2024•静安区校级模拟）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点， 是的角平分线，且，， 　　． ，， ； （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； （4）【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，点刚好落在上的点，剪掉重叠部分（即四边形，再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形，直接写出剩余部分的面积为 　　． 17．（2024•虹口区三模）如图，已知是的直径，为圆上一点，是的中点，于，垂足为，连接交弦于，交于，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平移、旋转、翻折与相似三角形 考点一 图象的平移 ►考向一 平移的性质 1．（2020•上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是　　 A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 【答案】 【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可． 【解答】解：如图，平行四边形中，取，的中点，，连接． 四边形向右平移可以与四边形重合， 平行四边形是平移重合图形， 故选：． 【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点二 图形的旋转 ►考向一 旋转的性质 易混易错提醒 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 2．（2023•上海）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，联结，是的角平分线，则　 　． 【分析】由，及角平分线的定义得，根据三角形外角性质得，即有，由三角形的内角和定理求解即可． 【解答】解：如图， ，，是 的角平分线， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质 及三角形的内角和等知识，孰练掌握相关图形的性质是解题的关键． 3．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为 　 　． 【答案】． 【分析】由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，最大，过正方形的顶点时，最小，分别求出的值即可得出答案． 【解答】解：如图：设的中点是，过点时，点与边上所有点的连线中，最小，此时最大，过顶点时，点与边上所有点的连线中，最大，此时最小， 如图①：正方形边长为2，为正方形中心， ，，， ， ， ； 如图②：正方形边长为2，为正方形中心， ，，， ， ， ； 的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出最大、最小时点的位置是解题的关键． ►考向二 旋转对称图形 4．（2022•上海）有一个正边形旋转后与自身重合，则的值可能为　　 A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】 【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案． 【解答】解：．正六边形旋转后不能与自身重合，不合题意； ．正九边形旋转后不能与自身重合，不合题意； ．正十二边形旋转后能与自身重合，符合题意； ．正十五边形旋转后不能与自身重合，不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题的关键． 考点三 图形的翻折 ►考向一 翻折变换（折叠问题） 5．（2024•上海）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则　 　． 【答案】或． 【分析】分别考虑在之间时和在的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解． 【解答】解：当在之间时，如图， 根据，不妨设，，， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， ， ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，如图， 根据，不妨设，，， 同理知：， 过点作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 6．（2019•上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是　 　． 【分析】由折叠可得，，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到，进而得到． 【解答】解：如图所示，由折叠可得，， 正方形中，是的中点， ， ， ， 又是的外角， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 考点四 图形的相似 ►考向一 平行线分线段成比例 解题技巧总结 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 7．（2021•上海）如图所示，已知在梯形中，，，则　 　． 【答案】． 【分析】过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到． 【解答】解：过作于，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等底三角形面积比等于高之比，同（等高的三角形面积比等于底之比是解题的关键． ►考向二 相似三角形的判定与性质 解题方法总结 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 8．（2022•上海）如图，在中，，，为中点，在线段上，，则　 　． 【分析】利用平行线截线段成比例解答． 【解答】解：为中点， ． 当时，，则； 当与不平行时，， 在三角形中，，， ，． 是等边三角形，． ，． ． ． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 9．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定△△，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）矩形， ，，， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ； （2）连接，交于点， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 矩形， ， ， ， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 10．（2023•上海）如图，在梯形中，点，分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】（1）证明，即可解决问题； （2）证明，得，结合（1），即可解决问题． 【解答】证明：（1）， ，， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键． 11．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用全等三角形的性质，结合题意证明，，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】证明：（1）， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2020•上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【分析】（1）由菱形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论． （2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．（2019•上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是菱形． 【分析】（1）连接，根据，，即可得出垂直平分，根据线段垂直平分线性质求出即可； （2）根据相似三角形的性质和判定求出，求出，再根据菱形的判定推出即可． 【解答】证明：（1）如图1，连接，，， 、是的两条弦，且， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分， ； （2）如图2，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． ►考向三 相似三角形的应用 解题方法总结 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 14．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　 　米． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：，， ， ， ， ， （米， 故答案为：7． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． ►考向四 相似形综合题 15．（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点． （1）当点在上， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，，求的长． 【答案】（1）①证明过程见解析； ②； （2）的长为或． 【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，根据相似三角形的判定定理可得出结论； ②得出．过点作于点，设，则，则可得出答案； （2）①如图3，当点在上时，证明四边形是矩形．设，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案； ②如图4，当点在上时，设，则，设，由相似三角形的性质得出，证明，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案． 【解答】（1）①证明：如图1， ， ． ， ． 是斜边上的中线， ， ， ， ； ②解：如图2，若， 在中，， ． 过点作于点， 设，则， 在中，， ， ， ； （2）①如图3，当点在上时， ， ，， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 设， ， ， ， ， 在和中，，， ， 解得，或（舍去）． ． ②如图4，当点在上时，设，则， 设， ， ， ， ， ， ． 又，， ， ， ， ， ， 将代入， 整理得，， 解得，或（舍去）． ． 综合以上可得的长为或． 【点评】本题是相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（2019•上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，如果，且，求的值； （3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题． （2）延长交于点．证明，可得，，由，可得． （3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可． 【解答】（1）证明：如图1中， ， ，， 平分， ，同理， ，， ， ． （2）解：延长交于点． ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． （3）与相似，， 中必有一个内角为 是锐角， ． ①当时， ， ， ， ，此时． ②当时，， ， 与相似， ，此时． 综上所述，，．，． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 一．选择题（共4小题） 1．（2024•杨浦区二模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，点、分别落在点、处，如果点、、在同一直线上，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，则，，得出，进而得出是等边三角形，即可判断选项，，结论正确． 【解答】解：将绕点逆时针旋转，点、分别落在点、处， ， ，，得 ，故正确； 是等边三角形， ，故正确， ，， ， ，故正确； ，不一定平分， 不一定等于， 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的想知识解题关键． 2．（2024•浦东新区校级三模）如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据题意条件可证得，结合全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，则，故①正确；过点作，垂足为点，通过条件证得，，再通过条件证得，结合对应边相等可得到，从而说明②③正确；通过边长的等量关系能推出，最后说明，故能说明④错误． 【解答】解：由题可知，，， ，，，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， 是等腰直角三角形， 即，故①正确； 如图，过点作，垂足为点， 是等腰直角三角形， ， 点是边上的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，故②正确； ，故③正确； ，， ， ，， ， ， ， ，， 则，故④错误； 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3． （2024•黄浦区二模）如图1，一个的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是　　 4． A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【答案】 【分析】对所给四个型号，按要求依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 型号1是“田字”型， 当放入空白处时，要么右下角的小正方形无法被占据，要么会与左下角的阴影小正方形重叠． 故选项不符合题意． 如图所示，型号2中的图案若不旋转，则无法完全占据空白小正方形， 旋转后，也无法完全占据空白小正方形， ． 故选项不符合题意． 如图所示，型号3无法完全占据空白小正方形， ． 故选项不符合题意． 如图所示，型号4通过旋转可以完全占据空白小正方形，且与已有的正方形不重叠， ． 故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，良好的空间想象能力是解题的关键． 4．（2024•青浦区三模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【答案】 【分析】根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤． 【解答】解：在正方形中，，， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在正方形对角线上， 到，的距离相等， ， ， ，故③正确； 设正方形的边长为， ， 当是的中点时，． 由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当是的中点时，，故④正确， 当时，， ，， ， ， ， 中边上的高与中边上的高相等，， ， 设，则，， ， ， 当时，， ， ， ， ，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 二．填空题（共8小题） 5．（2024•浦东新区三模）如图，在正方形的边上取一点，联结，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，联结，若，则的面积是 　 　 【答案】． 【分析】由折叠可得，，且 可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【解答】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题． 6．（2024•上海模拟）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积　 　． 【答案】． 【分析】根据正方形边长为，可得，根据题意可得正方形的直角内角经过两次折叠后两边分别重合，所以，然后根据含30度角的直角三角形可得和的长，进而可得的面积． 【解答】解：正方形边长为， ， 正方形的直角内角经过两次折叠后两边分别重合， ， 在△中，，， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，三角形的面积，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 7．（2024•浦东新区模拟）如图，在矩形中，，，点在上，且，将沿对角线翻折到，连接．则　 　． 【分析】过作，根据，可得，即可得到，从而得到，根据折叠得到，，即可求出，，根据，得到，即可得到，从而得到，，即可得到答案． 【解答】解：过作， 四边形是矩形， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 沿对角线翻折到， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查矩形折叠，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据线段关系得到一些角度值，结合折叠得到等角转化，从而得到相应的线段的值． 8．（2024•崇明区模拟）如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点是边上一动点．将沿翻折得到△，交于点，且点在下方，连接．当是直角三角形时，的周长为　 　． 【答案】或6． 【分析】由矩形的性质可得，再根据翻折性质得，然后分两种情况：①当时；②当时，根据勾股定理可得答案． 【解答】解；在矩形中，． ． ． 没翻折得到△， ，，，． ，． ， ， ， ． ， 分两种情况： ①如图1，当时， ． ． 的周长为． ②如图2，当时，． ， ，， 由翻折得，， ． ． ， 在和中， ， ， ， ， ． ，即， ， ， ． 的周长为． 综上所述，的周长为或6． 故答案为：或6． 【点评】此题考查的是翻折变换、勾股定理及矩形的性质，分类讨论是解决此题的关键． 9．（2024•静安区三模）折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题．下面是解决某个数学问题的折纸过程： （1）长方形纸片沿某直线折叠，使点与点重合，折痕交于点； （2）展开后，沿过点的直线折叠，使点落在边上点处．联结，用量角器测得，则长方形纸片中的值为 　 　． 【答案】． 【分析】如图，过点作于点，设．想办法用表示出，，可得结论． 【解答】解：如图，过点作于点，设． 由作图可知， 是直角三角形， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查作图轴对称变换，矩形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 10．（2024•青浦区三模）如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，，点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长为　 　；现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图，设边与相交于点，则当从到的变化过程中，点移动的路径长为　　．（结果保留根号） 【分析】如图1中，过点作于．设，则．构建方程求出即可解决问题．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，点从点运动到与垂直时，与的交点处；在中，求出，即可求 【解答】解：如图1中，过点作于．设，则． 在中，，， 在中，，， ， ， ， ． 当从到的变化过程中，点从运动到（如图中）， ， ， ， 当时，点从点开始向方向运动， 当时，的移动到最大距离（如图中）， 此时， 在中，，， ， ； 当时，点开始离开向点方向运动， 当时，点停止运动； 在中，， ， 点返回运动的路径长为， 点移动的路径为， 故答案为，． 【点评】本题考查点的运动轨迹；能够通过三角形的旋转，结合图形，在和是确定点的运动轨迹是线段，后点开始向做返回运动是解题的关键． 11．（2024•宝山区二模）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 　 　． 【答案】． 【分析】设分别交、、于点、、，分别交、于点、，设，由，得，则，，由，得，则，求得，再证明，得，则，求得，即可由，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：设分别交、、于点、、，分别交、于点、，设， 正方形、正方形和正方形的一边在同一条直线上， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，设，求得，，，是解题的关键． 12．（2024•静安区校级模拟）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则　 　． 【答案】． 【分析】先求出，证得，，再证，利用三角形相似的性质可得得长；过点作于点，先求出，，，证，得，进而得，再证，利用相似三角形性质得，，进而得，最后在中，由勾股定理可求得． 【解答】解：四边形为正方形，且边长为， ，，， 点是的中点， ， 中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ， 过点作于点，如图： 在和中， ， ， ， ， 中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 即 ， ，， ， ， ， ， ，， ， 中，，， 由勾股定理得： 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 三．解答题（共5小题） 13．（2024•浦东新区校级三模）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为 　 　； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； （3）如图③，在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．若、恰好分别是、的黄金分割点，请直接写出：的值． 【答案】（1）； （2）证明见解答过程； （3）或时，、分别是、的黄金分割点． 【分析】（1）由根据黄金分割的定义直接求出的长即可； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明△△，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）先证明△△，得，由，得，再证明△△，得，所以，再分两种情况讨论，一是，可证明，所以，则、分别是、的黄金分割点；二是，先探究出当、分别是、的黄金分割点时，，再证明当时，则，，所以、分别是、的黄金分割点． 【解答】（1）解：，点是的黄金分割点， ， 故答案为：； （2）证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形，， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， △△， ， 点是的黄金分割点； （3）解：或时，、分别是、的黄金分割点， 理由：设交于点， 四边形是正方形， ，，， 于点， ， ， △△， ， ， ， ， △△， ， ， 若，如图③， 则， 当时，则， ， 、分别是、的黄金分割点； 若，如图④， 设，则， 由可知， ， 当时，由得， 整理得， 解关于的方程得，（不符合题意，舍去）， ，， 、分别是、的黄金分割点． 【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法与应用、黄金分割原理的应用等知识与方法，解题过程中还要注意数形结合与分类讨论数学思想的运用，求得所有符合题意的结论． 14．（2024•静安区校级二模）如图，在△中，，，，分别为，，的中点，连接，． （1）如图1，求：的值． （2）如图2，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点，射线交于点时，连接并延长交射线于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）． 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可求解； （2）证明△△，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明△△，可得，勾股定理求得，，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，连接， ，，，分别为，，的中点， ，， ， ． （2）， 理由如下： 连接，如图2， ，，，分别为，，的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， △△， ， ； （3）如图，连接，过点作于， ， ， ， ， ， △△， ， ， △中，， △中，， ， ， ， ， ， ， △△， ， ． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．（2024•浦东新区校级三模）已知：为的直径，弦交于点，点为上一点，连接交于点，交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）利用圆周角定理，三角形的外角的性质得到，则，利用垂径定理的推论解答即可得出结论； （2）利用圆周角定理与已知条件得到，利用圆周角定理和三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理得到，利用圆周角定理和勾股定理得到，利用三角形的面积公式求得，利用垂径定理得到，再利用角平分线的性质得到比例式，将数值代入运算即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ． ， ， ． 为的直径， ； （2）解：为的直径，， ， ， ． ， ． ，， ， ． ，，， ， ， ． 为的直径， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 16．（2024•静安区校级模拟）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点， 是的角平分线，且，， 　　． ，， ； （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； （4）【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，点刚好落在上的点，剪掉重叠部分（即四边形，再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形，直接写出剩余部分的面积为 　　． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）； （4）． 【分析】（1）根据角的平分线性质定理解答即可； （2）过点作于，过点作于．过点作于点．仿照第一问的解答求解即可； （3）利用（1）的结论，求得，设，则，利用勾股定理列式计算即可； （4）先算，后两次运用（1）的结论，依次计算即可． 【解答】（1）解：是的角平分线，且，， ， 故答案为：； （2）证明：过点作于，于．过点作于点． 是的角平分线， ． ，， ； （3）解：在中，，是的平分线，且交于， ， ，， ， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得（负值舍去）， ； （4）解：，，， ， 将先沿的平分线折叠， ，，，， ，由（1）可得， ，， ， 同理可求：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 17．（2024•虹口区三模）如图，已知是的直径，为圆上一点，是的中点，于，垂足为，连接交弦于，交于，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）由，可得，由此即可解决问题； 【解答】（1）证明：为圆的半径，是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又 ． （2）解：， ， ，， ，得， 解得， ． 【点评】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$