专题03 函数（10类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（上海专用）

专题03 函数 考点一 函数的相关概念 ►考向一 函数自变量的取值范围 1．（2024•上海）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得，解得的取值范围即可． 【解答】解：由题意得， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． ►考向二 函数值 易混易错提醒 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 2．（2022•上海）已知，则（1）　 　． 【答案】3． 【分析】把代入函数关系式即可求得． 【解答】解：因为， 所以（1）， 故答案为：3． 【点评】本题考查了函数的关系式，解题的关键是对函数关系式进行正确的理解． 3．（2021•上海）已知，那么　 　． 【答案】． 【分析】将代入函数表达式，化简即可． 【解答】解：由题意将代入函数表达式， 则有：． 故答案为：． 【点评】本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式． 4．（2020•上海）已知，那么（3）的值是　 　． 【分析】根据，可以求得（3）的值，本题得以解决． 【解答】解：， （3）， 故答案为：1． 【点评】本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答． 考点二 一次函数 ►考向一 一次函数的图象和性质 解题技巧总结 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 5．（2022•上海）已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：　 　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据一次函数的性质，写出符合条件的函数关系式即可． 【解答】解：直线过第一象限且函数值随着的增大而减小， ，， 符合条件的函数关系式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象过第一、二、四象限，随自变量的值增大而减小是解答此题的关键． 6．（2020•上海）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　 　．（填“增大”或“减小” 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可． 【解答】解：函数的图象经过第二、四象限，那么的值随的值增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且的值随的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且的值随的值增大而减小． 7．（2024•上海）若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而 　 　（选填“增大”或“减小” 【答案】减小． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，由，利用正比例函数的性质，可得出的值随的增大而减小． 【解答】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：． ， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 8．（2021•上海）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 　 　． 【分析】根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征即可求解． 【解答】解：函数经过二、四象限， ． 若函数经过，则，即， 故函数经过二、四象限，且函数不经过时，且， 函数解析式为， 故答案为． 【点评】考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． ►考向二 一次函数的应用 9．（2024•上海）某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售额为 　 　万元． 【答案】4500． 【分析】设，根据当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，可得，令得． 【解答】解：设， 当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元， ， 解得， ， 当时，， 故答案为：4500． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式． 10．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 　 　元． 【答案】． 【分析】根据图象求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解． 【解答】解：设卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式为， ， 解得：， ， 时，， 现以8元卖出，挣得， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了函数图象，能够得出卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式是解题关键． 11．（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 　 　米． 【分析】当时，设，将、代入求得，求出时的值，从而得出答案． 【解答】解：当时，设， 将、代入，得： ， 解得：， ； 当时，， （米 当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 12．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【答案】（1）900； （2）； （3）1.00． 【分析】（1）根据打九折列出算式，计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低0.30元知：； （3）当，可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【解答】解：（1）由题意知，（元， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）由题意知，， 整理得， 关于的函数解析式为； （3）当时，， ， 优惠后油的单价比原价便宜1.00元． 【点评】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析 式． 考点三 反比例函数 ►考向一 反比例函数的图象和性质 解题技巧总结 1．反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 2．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 13．（2023•上海）下列函数中，函数值随的增大而减小的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可． 【解答】解：选项，的函数值随着增大而增大， 故不符合题意； 选项，的函数值随着增大而减小， 故符合题意； 选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而减小， 故不符合题意； 选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而增大， 故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 14．（2022•上海）已知反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【解答】解：因为反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大， 所以， ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限，随的增大而增大． 15．（2023•上海）函数的定义域为 　 　． 【答案】． 【分析】根据函数有意义的条件求解即可． 【解答】解：函数有意义，则， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数有意义的条件是解题的关键． 16．（2022•上海）一个一次函数的截距为，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点，在某个反比例函数上，点横坐标为6，将点向上平移2个单位得到点，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）理解截距得概念，再利用待定系数法求解； （2）数形结合，求两个点之间得距离，再利用三角函数得定义求解． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：， ， 解得：， 一次函数的解析式为：． （2）点，在某个反比例函数上，点横坐标为6， ， ， 是直角三角形，且，， 根据勾股定理得：， ． 【点评】本题考查了待定系数法的应用，结合三角函数的定义求解是解题的关键． ►考向二 待定系数法求反比例函数解析式 17．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式，再将点的坐标代入求出待定系数的值，从而得出答案． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 所以这个反比例函数解析式为， 故选：． 【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． ►考向三 反比例函数与一次函数的交点问题 解题技巧总结 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 18．（2024•上海）在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点． （1）求与的值； （2）过点作直线轴与直线交于点，求的值． 【答案】（1），．（2）． 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式求出，再将点坐标代入反比例函数解析式求出值，最后将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）求出点坐标，根据正弦函数定义直接写出结果即可． 【解答】解：（1）点在直线图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ． ． （2）在函数中，当时，， ， ， ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 考点四 二次函数 ►考向一 二次函数的图象和性质 解题技巧总结 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 19．（2024•上海）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为 　4　． 【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线 “开口大小”． 【解答】解：抛物线， ， 解得， 抛物线 “开口大小”为， 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 20．（2021•上海）将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是　　 A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．随的变化情况不变 D．与轴的交点不变 【答案】 【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，不变，抛物线的增减性不变． 【解答】解：、将函数的图象向下平移两个单位，不变，开口方向不变，故不符合题意． 、将函数的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意． 、将函数的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则随的变化情况不变，故不符合题意． 、将函数的图象向下平移两个单位，与轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变． 21．（2020•上海）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　． 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解． 【解答】解：抛物线向上平移3个单位得到． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 22．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入，可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案； ②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明△，可得，设，则，，，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入， 可得：，解得：， 新抛物线为； （2）①如图，设，则， ， 小于3， ， ， ， ； ②， 平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， 轴， ， ， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则，过作于， ， △， ， 设，则，，， ， 解得：或3（不符合题意舍去）； 综上：． 【点评】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 23．（2023•上海）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点，点不与点重合． （1）求点，的坐标； （2）求，的值； （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，联结，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 【答案】（1）； （2），； （3）抛物线的函数解析式为：或 ． 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线 即可求得； （2）设 ，得到抛物线的顶点式为 ，将代入可求得 ，进而可得到抛物线解析式为 ，即可求得，； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，列式求得，，然后得到抛物线解析式为：，将代入可得 ，即可得到答案． 【解答】解：（1）在 中，令得：， ， 令得：， ； （2）设，设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点， 将代入得：， ， ，即 ， 将 代入， 整理得：， ，； （3）如图： 轴，点在轴上， 设，， 点，分别平移至点，， 点，点向下平移的距离相同， ， 解得：， 由（2）知 ， ， 抛物线的函数解析式为：， 将代入可得：， 抛物线的函数解析式为：或 ． 【点评】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图象性质等，解题的关键是根据的平移性质求出和的值． ►考向二 待定系数法求二次函数解析式 24．（2023•上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 　 　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）． 【解答】解：由题意得：，，， 这个二次函数的解析式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． ►考向三 二次函数的综合 25．（2022•上海）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后的顶点为，． ⅰ．如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围； ⅱ．点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）．； ． 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线，开口向上，由二次函数的性质可得出答案； ．，证出，由等腰三角形的性质求出，由直角三角形的性质可求出答案． 【解答】解：（1）将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）．， 抛物线的顶点坐标为， 即点是原抛物线的顶点， 平移后的抛物线顶点为， 抛物线平移了个单位， ， ， ， 即平移后的抛物线的对称轴为直线， 在的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为轴，开口向上， ； ．把代入， ， ， 由题意得，新抛物线的解析式为， ， ， ，，， ， 如图，过点作轴于，则， ，， ，， ， 或（舍， ， 点的坐标为，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 26．（2021•上海）已知抛物线经过点、． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形． ①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离； ②若在抛物线上，求的坐标． 【答案】（1）； （2）①1；②． 【分析】（1）、代入即可得抛物线的解析式为； （2）①过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或（与重合，舍去），即可求出． 【解答】解：（1）、代入得： ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）①过作于，交轴于，如图： 当与重合时，，， 是等腰直角三角形， 和也是等腰直角三角形， ， ， 而抛物线的对称轴是轴， 到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，如图： 设直线解析式为，将、代入得： ，解得， 直线为， 设，则， ， 当，时，， 将代入得： ， 解得或（与重合，舍去）， ，，， 当，时，， ，由可知， 此时、、重合，舍去， 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标． 27．（2020•上海）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）．抛物线经过点． （1）求线段的长； （2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围． 【分析】（1）先求出，坐标，即可得出结论； （2）设点，则，进而求出点，最后将点，代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点坐标代入抛物线解析式中得出，代入抛物线解析式中得出顶点坐标为，即可得出结论． 【解答】解：（1）针对于直线， 令，， ， 令，则， ， ， ； （2）设点， ， ， ， ， ， 点在线段上， ， ， 将点，代入抛物线中，得， ， 抛物线； （3）点在抛物线中，得， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 将代入中，得， 顶点位于内， ， ； 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点的坐标是解本题的关键． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•浦东新区模拟）如图1，已知点，，，是矩形各边的中点，，．动点从点出发，沿匀速运动，到点停止，设点运动的路程为，点到四边形的某一个顶点的距离为，如果表示关于的函数关系的图象如图2所示，那么四边形的这个顶点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】利用分类讨论的方法可以判断四个选项是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 从到的过程中，点到点的距离由1.2减小到0，再从0增加到1.2，不符合题意，故选项错误； 从到的过程中，点到点的距离由大变小，由到的过程中，点到的距离由1.7减小到0，再从0增加到1.7，与图象不符，故选项错误； 从到的过程中，点到点的距离由大变小，然后由小变大，由到的过程中，点到的距离一直变小，从到的过程中，点到的距离由1.2减小到0，再由0增加到1.2，从到的过程中，点到的距离一直变大，故选项正确； 从到的过程中，点到点的距离一直变大，不符合函数图象，故选项错误； 故选：． 【点评】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2024•静安区校级模拟）如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分段求出函数关系式，再观察图象可得答案． 【解答】解：当在上，即时，，当时，； 当在上，即时，， 当在上，即时，； 观察4个选项，符合题意的为； 故选：． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式． 3．（2024•崇明区模拟）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数图象的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【解答】解：设，， 由图象知，，，，，，，， ，，， ，， 函数的图象开口向上，对称轴也在轴的右侧，开口比函数、的开口都小，与轴的交点在轴的负半轴上， 只有选项符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 4．（2024•奉贤区三模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， ， 直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系． 5．（2024•静安区三模）下列函数中，当时，随增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，一次函数及二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、函数中，， 函数图象的两个分支分别位于二四象限，当时，随增大而增大，符合题意； 、函数中，， 当时，随增大而减小，不符合题意； 、二次函数中，，对称轴， 函数图象开口向上，当时，随增大而增大，不符合题意； 、直线不是函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，一次函数及二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 6．（2024•上海模拟）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【解答】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 反比例函数表达式为， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．（2024•青浦区三模）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤当时，有． 其中正确结论的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断． 【解答】解：抛物线的顶点坐标， 抛物线的对称轴为直线， ，所以①正确； 抛物线开口向下， ， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以②错误； 抛物线的顶点坐标， 时，二次函数有最大值， 方程有两个相等的实数根，所以③正确； 抛物线与轴的一个交点为 而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为，所以④错误； 抛物线与直线交于，点 当时，，所以⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 8．（2024•浦东新区模拟）抛物线与轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点，下列式子正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】因为抛物线开口向下，所以抛物线向下平移，对称轴不变，与轴的两交点距离变短解答即可． 【解答】解：抛物线与轴相交于、两点， 抛物线的对称轴为直线， 将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线上下平移对称轴不变， ，即， 抛物线开口向下， 将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变短， ， 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．（2023•宝山区校级模拟）试着画函数的大致图象，可知其图象有最 　 　点（填“高”或“低” ，该点的坐标为 　　． 【答案】高；． 【分析】根据函数的图象的性质即可求解． 【解答】解： 由函数可知， 随着的增大而减小， 因为， 当时，有最大值为1， 所以函数图象有最高点且该点的坐标为． 故答案为：高；． 【点评】本题主要考查函数的图象，找到隐含条件是解题的关键． 10．（2024•杨浦区四模）某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为140千米小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米小时的省道和200千米限速120千米小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少 　 　升． 【答案】24.6． 【分析】取代入线段的表达式可得点的纵坐标，根据线段的图象可得速度越大，耗油量越小．那么取代入的解析式可得在省道上的最低百千米的耗油量；由线段的图象可得时速为100千米时，百千米的耗油量最小，所以这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油量在省道上的最低耗油量在高速上的最低耗油量，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：（1）当时，． 点的坐标为． 当时，． 由图象可得，当时，每行驶100千米的耗油量最少，为9升． （升． 【点评】本题考查一次函数的应用．判断出省道和高速上的百千米最低耗油量是解决本题的关键． 11．（2024•浦东新区三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 　 　分． 【答案】12或． 【分析】小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【解答】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是分． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是12或分． 故答案为：12或． 【点评】本题考查了一次函数的应用，正确求出段解析式是解答本题的关键． 12．（2024•浦东新区模拟）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 　 　． 【答案】或． 【分析】由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【解答】解：， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数的性质及图象的平移，熟练掌握二次函数性质是关键． 13．（2022•徐汇区校级模拟）对于正数，规定，例如：（4），，则（2）（1）　 　． 【分析】根据可得出，将其相加即可得出，由此即可得出原式（1），代入即可得出结论． 【解答】解：，， ． （2）（1）（1）（1）． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数值以及规律性中数的变化类，根据函数关系式找出是解题的关键． 14．（2024•静安区校级模拟）关于的二次函数的结论 ①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等． ②若图象过点，，点，，点，则当时，． ③若，对应的的整数值有4个，则或． ④当且时，，则． 其中错误的序号为 　 　． 【答案】①③． 【分析】先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，随的增大而增大，得出，，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出随的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出的值，即可判断④． 【解答】解：①二次函数， 该函数的对称轴为直线， ，， ，即，和，关于直线对称， 对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意； ②把代入得：， 解得：， 二次函数表达式为， ，该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ，， ，故②不正确，不符合题意； ③， 当时，，当时，， 当时， ， 随的增大而增大， ，对应的的整数值有4个， 四个整数解为：，，，， ，解得：， 当时， ， 随的增大而减小， ，对应的的整数值有4个， 四个整数解为：，，，， ，解得：， 综上：或，故③正确，符合题意； ④当且时，随的增大而减小， ， 当时，，解得：， ， 当时，， 解得：，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故答案为：①③． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 15．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线，（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为，且抛物与轴相交于、两点，点关于轴的对称点为，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 　 　． 【分析】易得的解析式，可判断出的顶点坐标，进而可得点的坐标．根据四边形是正方形，可得对角线互相平分且相等，那么可得点的坐标，代入的解析式可得的值，代入即可得到所求的函数解析式． 【解答】解：抛物线的“关联抛物线”为， 的解析式为：． 对称轴为：． 顶点坐标为． 点关于轴的对称点为， 点坐标为：． 四边形是正方形，抛物与轴相交于、两点， ，与互相平分，的中点坐标为． 设点在点的右边． 点的横坐标为：． 点的坐标为． ． 解得：． 抛物线的表达式为：． 【点评】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数中只有一个未知系数，一般会判断出二次函数的对称轴；正方形的对角线互相垂直平分且相等． 16．（2024•奉贤区三模）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为．，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】当且时，为的覆盖特征点，当直线过点时，求出是的临界值；则可求的取值范围为． 【解答】解：由题意得：当且时，点为的覆盖的特征点． 又点在一次函数的图象上， 当直线过点时，解得：， 结合函数图象可知， 故答案为：． 【点评】本题考查新定义，理解题意，根据所给条件，确定是的覆盖特征点的特征是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 17．（2024•杨浦区三模）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点与点重合时，求平移的距离； （3）联结，如果与互补，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）3； （3）． 【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题； （2）设平移的距离为，对称轴直线交轴于点，则抛物线的表达式为，由，得，即，即可求得； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于，由平移可证得四边形是平行四边形，可得，即，推出，进而求得，在中，，则，再结合与互补，得出，证得，得出，即可求得答案． 【解答】解：（1）抛物线经过点和点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）， 抛物线的对称轴直线，顶点为， 由题意，把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合时，设平移的距离为，对称轴直线交轴于点，如图， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点为，， ，， 当时，， ， ，， ，， ， ，即， 解得：， 当点与点重合时，平移的距离为3； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于，如图， ，，，对称轴为直线， ，，，，四边形是矩形， ，，， ，即， 抛物线与轴交于点和点， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， 把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴交于点， ， 抛物线的对称轴与轴平行，即， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 轴， 轴， ，， ， 与互补，即， ， ， ， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键． 18．（2024•青浦区二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点的坐标； （2）如图，过点作轴，交该抛物线于点，当时，求△的面积； （3）点为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为：，点； （2）； （3）点． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则直线和关于对称，即可求解； （3）利用，求出，利用，得到，进而求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：， 则， 则， 故抛物线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，点； （2）设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得：直线的表达式为：， 当时， 则直线和关于对称， 故， 解得：， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交于点，则点，， 则， 则△的面积； （3）由点、、的坐标得，， 过点作于点，设交于点， 而， 即， 则， ，即， 则， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点，， 由点、的坐标得，的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 考点一 函数的相关概念 ►考向一 函数自变量的取值范围 1．（2024•上海）函数的定义域是　　 A． B． C． D． ►考向二 函数值 易混易错提醒 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 2．（2022•上海）已知，则（1）　 　． 3．（2021•上海）已知，那么　 　． 4． （2020•上海）已知，那么（3）的值是　 　． 考点二 一次函数 ►考向一 一次函数的图象和性质 解题技巧总结 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 5．（2022•上海）已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：　 　． 6．（2020•上海）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　 　．（填“增大”或“减小” 7．（2024•上海）若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而 　 　（选填“增大”或“减小” 8．（2021•上海）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 　 　． ►考向二 一次函数的应用 9．（2024•上海）某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售额为 　 　万元． 10．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 　 　元． 11．（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 　 　米． 12．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 考点三 反比例函数 ►考向一 反比例函数的图象和性质 解题技巧总结 1．反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 2．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 13．（2023•上海）下列函数中，函数值随的增大而减小的是　　 A． B． C． D． 14．（2022•上海）已知反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为　　 A． B． C． D． 15．（2023•上海）函数的定义域为 　 　． 16．（2022•上海）一个一次函数的截距为，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点，在某个反比例函数上，点横坐标为6，将点向上平移2个单位得到点，求的值． ►考向二 待定系数法求反比例函数解析式 17．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是　　 A． B． C． D． ►考向三 反比例函数与一次函数的交点问题 解题技巧总结 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 18．（2024•上海）在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点． （1）求与的值； （2）过点作直线轴与直线交于点，求的值． 考点四 二次函数 ►考向一 二次函数的图象和性质 解题技巧总结 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 19．（2024•上海）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为 　4　． 20．（2021•上海）将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是　　 A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．随的变化情况不变 D．与轴的交点不变 21．（2020•上海）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　． 22．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 23．（2023•上海）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点，点不与点重合． （1）求点，的坐标； （2）求，的值； （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，联结，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． ►考向二 待定系数法求二次函数解析式 24．（2023•上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 　 　． ►考向三 二次函数的综合 25．（2022•上海）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后的顶点为，． ⅰ．如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围； ⅱ．点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标． 26．（2021•上海）已知抛物线经过点、． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形． ①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离； ②若在抛物线上，求的坐标． 27．（2020•上海）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）．抛物线经过点． （1）求线段的长； （2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•浦东新区模拟）如图1，已知点，，，是矩形各边的中点，，．动点从点出发，沿匀速运动，到点停止，设点运动的路程为，点到四边形的某一个顶点的距离为，如果表示关于的函数关系的图象如图2所示，那么四边形的这个顶点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2024•静安区校级模拟）如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•崇明区模拟）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 4．（2024•奉贤区三模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是　　 A． B． C． D． 5．（2024•静安区三模）下列函数中，当时，随增大而增大的是　　 A． B． C． D． 6．（2024•上海模拟）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为　　 A． B． C． D． 7．（2024•青浦区三模）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤当时，有． 其中正确结论的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 8．（2024•浦东新区模拟）抛物线与轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点，下列式子正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 二．填空题（共8小题） 9．（2023•宝山区校级模拟）试着画函数的大致图象，可知其图象有最 　 　点（填“高”或“低” ，该点的坐标为 　　． 10．（2024•杨浦区四模）某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为140千米小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米小时的省道和200千米限速120千米小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少 　 　升． 11．（2024•浦东新区三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 　 　分． 12．（2024•浦东新区模拟）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 　 　． 13．（2022•徐汇区校级模拟）对于正数，规定，例如：（4），，则（2）（1）　 　． 14．（2024•静安区校级模拟）关于的二次函数的结论 ①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等． ②若图象过点，，点，，点，则当时，． ③若，对应的的整数值有4个，则或． ④当且时，，则． 其中错误的序号为 　 　． 15．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线，（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为，且抛物与轴相交于、两点，点关于轴的对称点为，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 　 　． 16．（2024•奉贤区三模）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为．，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则的取值范围是 　 　． 三．解答题（共2小题） 17．（2024•杨浦区三模）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点与点重合时，求平移的距离； （3）联结，如果与互补，求点的坐标． 18．（2024•青浦区二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点的坐标； （2）如图，过点作轴，交该抛物线于点，当时，求△的面积； （3）点为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$