专题01 数与式（10类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（上海专用）

专题01 数与式 考点一 有理数 ►考向一 相反数 规律方法总结 求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 1．（2022•上海）8的相反数是　　 A．8 B． C． D． ►考向二 科学记数法 规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 2．（2024•上海）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　 　倍．（用科学记数法表示） 考点二 无理数与实数 ►考向一 算术平方根 易混易错提醒 非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3．（2024•上海）已知，则　 　． 4．（2021•上海）已知，则　 　． ►考向二 实数的运算 5．（2023•上海）计算：． 6．（2021•上海）计算：． ►考向三 分数指数幂 7．（2024•上海）计算：． 8．（2022•上海）计算：． 考点三 代数式与整式 ►考向一 合并同类项 解题规律总结 合并同类项时要注意以下三点 ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 9．（2021•上海）下列单项式中，的同类项是　　 A． B． C． D． 10．（2022•上海）计算：　 　． ►考向二 整式的运算 11．（2024•上海）计算：　 　． 12．（2021•上海）计算：　 　． 13．（2022•上海）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2024•上海）计算：　 　． ►考向三 因式分解 15．（2023•上海）分解因式：　 　． 考点四 分式与根式 ►考向一 分式的加减法 解题规律总结 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 16．（2023•上海）化简：的结果为 　 　． ►考向二 二次根式 解题规律总结 （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 17．（2023•上海）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 18．（2021•上海）下列实数中，有理数是　　 A． B． C． D． 一．选择题（共6小题） 1．（2024•浦东新区校级三模）下列实数中，其倒数比本身大的是　　 A． B． C． D．2023 2．（2024•普陀区校级三模）某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是　　 A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百位，有3个有效数字 C．精确到百分位，有5个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字 3．（2024•浦东新区三模）下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•徐汇区三模）某公司三月份的产值为万元，比二月份增长了，那么二月份的产值为　　万元 A． B． C． D． 5．（2024•徐汇区三模）下列各数中，与相等的是　　 A． B． C．2 D．4 6．（2024•黄浦区二模）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘多项式”所对应的互逆因式分解方法是　　 A．提取公因式法 B．公式法 C．十字相乘法 D．分组分解法 二．填空题（共12小题） 7．（2024•静安区校级三模）计算：　 　． 8．（2024•静安区校级模拟）实数中绝对值最小的数是 　 　． 9．（2024•静安区校级模拟）若，则　 　． 10．（2024•宝山区校级二模）若，，那么代数式的值为 　 　． 11．（2024•上海模拟）毛主席在《七律长征》中写道“更喜岷山千里雪，三军过后尽开颜．”《七律长征》写于1935年9月下旬，10月定稿．1934年10月，中国工农红军从江西瑞金出发，他们跋山涉水，翻过连绵起伏的五岭，突破了乌江天险，四渡赤水，越过乌蒙山，巧渡金沙江，飞夺泸定桥，爬雪山，过草地，最后翻过岷山，历经十一个省，于1936年10月到达陕北，是人类史上一个伟大的事件．岷山，自中国甘肃省南部延伸至四川省西北部的一褶皱山脉，全长约一千里．某幅地图上，测量得长征的路线全长近似于岷山全长的25倍，由此估计长征的路线全长大约为 　 　里． 12．（2024•徐汇区校级三模）对于三个数，，，我们规定用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，，2，，如果，，，，，那么　 　． 13．（2024•浦东新区模拟）若式子有意义，则实数的取值范围是 　 　． 14．（2024•虹口区三模）最小合数的倒数是 　 　． 15．（2024•青浦区三模）已知是多项式的因式，则　 　． 16．（2024•青浦区三模）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为，则的值为 　 　． 17．（2024•徐汇区三模）当时，　 　． 18．（2024•普陀区校级三模）在实数范围内分解因式　 　． 三．解答题（共2小题） 19．（2024•青浦区三模）先化简，再求值：，其中． 20．（2024•奉贤区三模）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数． ( 1 ) ( )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式 考点一 有理数 ►考向一 相反数 规律方法总结 求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 1．（2022•上海）8的相反数是　　 A．8 B． C． D． 【答案】 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号． 【解答】解：8的相反数为：． 故选：． 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． ►考向二 科学记数法 规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 2．（2024•上海）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　　倍．（用科学记数法表示） 【答案】． 【分析】利用科学记数法的定义列式计算即可． 【解答】解：， 则， 即蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 考点二 无理数与实数 ►考向一 算术平方根 易混易错提醒 非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3．（2024•上海）已知，则　1　． 【分析】根据算术平方根的定义，进行计算． 【解答】解：， ， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了算术平方根的定义，利用两边平方进行解题即可． 4．（2021•上海）已知，则　5　． 【答案】5． 【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为 进行解答即可． 【解答】解：， ． 故答案为：5． 【点评】此题考查的是算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键． ►考向二 实数的运算 5．（2023•上海）计算：． 【答案】． 【分析】根据立方根定义，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 6．（2021•上海）计算：． 【答案】2． 【分析】直接利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． ►考向三 分数指数幂 7．（2024•上海）计算：． 【分析】先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键． 8．（2022•上海）计算：． 【答案】． 【分析】先根据绝对值的性质，负整数指数幂的法则，分母有理化的法则，二次根式的性质进行化简，然后计算加减． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键掌握分数指数幂的运算法则，将分数指数幂转化为二次根式形式． 考点三 代数式与整式 ►考向一 合并同类项 解题规律总结 合并同类项时要注意以下三点 ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 9．（2021•上海）下列单项式中，的同类项是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，据此判断即可． 【解答】解：、字母、的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； 、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意； 、字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； 、相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 10．（2022•上海）计算：　　． 【分析】根据同类项与合并同类项法则计算． 【解答】解：． 【点评】本题考查合并同类项、代数式的化简．同类项相加减，只把系数相加减，字母及字母的指数不变． ►考向二 整式的运算 11．（2024•上海）计算：　　． 【答案】． 【分析】幂的乘方，底数不变指数相乘． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 12．（2021•上海）计算：　　． 【答案】． 【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相除，底数不变指数相减是解题的关键． 13．（2022•上海）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断． 【解答】解：、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用以及合并同类项法则，积的乘方的运算法则，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用． 14．（2024•上海）计算：　　． 【答案】． 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． ►考向三 因式分解 15．（2023•上海）分解因式：　　． 【答案】． 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键． 考点四 分式与根式 ►考向一 分式的加减法 解题规律总结 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 16．（2023•上海）化简：的结果为 　2　． 【答案】2． 【分析】根据分式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：2． 【点评】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． ►考向二 二次根式 解题规律总结 （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 17．（2023•上海）下列运算正确的是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（2021•上海）下列实数中，有理数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：，不是有理数，不合题意； ，不是有理数，不合题意； ，是有理数，符合题意； ，不是有理数，不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 一．选择题（共6小题） 1．（2024•浦东新区校级三模）下列实数中，其倒数比本身大的是　　 A． B． C． D．2023 【答案】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数分别求出对应数的倒数，再比较大小即可得到答案． 【解答】解：、的倒数为，，符合题意； 、的倒数为，，不符合题意； 、的倒数为，，不符合题意； 、2023的倒数为，，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了求一个数的倒数，实数比较大小，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． 2．（2024•普陀区校级三模）某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是　　 A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百位，有3个有效数字 C．精确到百分位，有5个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字 【答案】 【分析】运用科学记数法、近似值和有效数字的定义进行求解． 【解答】解：， 精确到百位，有3个有效数字， 故选：． 【点评】此题考查了科学记数法、近似值和有效数字定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 3．（2024•浦东新区三模）下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义判断即可． 【解答】解：．因为，4的指数不是1，故本选项不符合题意； ．被开方数的指数为1，故本选项符合题意； ．的指数为2，故本选项不符合题意； ．的指数为5，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键． 4．（2024•徐汇区三模）某公司三月份的产值为万元，比二月份增长了，那么二月份的产值为　　万元 A． B． C． D． 【分析】由题意可知：三月份的产值是二月份的，进而用除法求得单位“1”的量，即二月份的产值． 【解答】解：二月份的产值为万元． 故选：． 【点评】此题考查列代数式，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 5．（2024•徐汇区三模）下列各数中，与相等的是　　 A． B． C．2 D．4 【答案】 【分析】根据分数指数幂的性质计算即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了分数指数幂的性质，熟记分数指数幂的性质是解题的关键． 6．（2024•黄浦区二模）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘多项式”所对应的互逆因式分解方法是　　 A．提取公因式法 B．公式法 C．十字相乘法 D．分组分解法 【答案】 【分析】根据整式的乘法与因式分解的关系解答即可． 【解答】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，属于基础题． 二．填空题（共12小题） 7．（2024•静安区校级三模）计算：　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质与化简方法进行计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简方法将原式化为是正确解答的关键． 8．（2024•静安区校级模拟）实数中绝对值最小的数是 　0　． 【答案】0． 【分析】根据绝对值的定义，绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，距离是非负数进行解答． 【解答】解：实数中绝对值最小的数是0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了实数的性质，绝对值的概念，正确理解实数的性质及绝对值的概念是解题的关键． 9．（2024•静安区校级模拟）若，则　1　． 【答案】1． 【分析】先计算的值，得到，再根据完全平方公式将化为，最后将代入，即得答案． 【解答】解：， ， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查了零指数幂的运算，利用完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 10．（2024•宝山区校级二模）若，，那么代数式的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据，，可得，，，再将其代入原式计算即可． 【解答】解：，， ，即， ， ， ，， ， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 11．（2024•上海模拟）毛主席在《七律长征》中写道“更喜岷山千里雪，三军过后尽开颜．”《七律长征》写于1935年9月下旬，10月定稿．1934年10月，中国工农红军从江西瑞金出发，他们跋山涉水，翻过连绵起伏的五岭，突破了乌江天险，四渡赤水，越过乌蒙山，巧渡金沙江，飞夺泸定桥，爬雪山，过草地，最后翻过岷山，历经十一个省，于1936年10月到达陕北，是人类史上一个伟大的事件．岷山，自中国甘肃省南部延伸至四川省西北部的一褶皱山脉，全长约一千里．某幅地图上，测量得长征的路线全长近似于岷山全长的25倍，由此估计长征的路线全长大约为 　　里． 【答案】． 【分析】依据题意，由岷山全长1000里，从而可得长征的路线全长约为：（里，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，岷山全长1000里， 长征的路线全长约为：（里． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法及科学记数法，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 12．（2024•徐汇区校级三模）对于三个数，，，我们规定用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，，2，，如果，，，，，那么　或1　． 【答案】或1． 【分析】根据新定义，先算出，，，再根据，，表示这三个数中最小的数分类讨论，即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 当，即时，， 解得：； 当，即时，， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，， 解得：； 终上所述，或1． 故答案为：或1． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理解定义新运算的规程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 13．（2024•浦东新区模拟）若式子有意义，则实数的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】要使代数式有意义，令被开方数，分母，得，，即可得答案． 【解答】解：由题意知：，， 解得：且， 故答案为：且． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是令被开方数，分母． 14．（2024•虹口区三模）最小合数的倒数是 　　． 【答案】． 【分析】根据合数及倒数的定义即可求得答案． 【解答】解：最小合数是4，其倒数为， 故答案为：． 【点评】本题考查合数及倒数，熟练掌握相关定义是解题的关键． 15．（2024•青浦区三模）已知是多项式的因式，则　　． 【答案】． 【分析】根据题意可设，通过化简比较可得，，，，据此可求解，，进而求解，的值，再代入计算可求解． 【解答】解：是多项式的因式， 设， ， ， ，，，， 即：，， 解得， ，， ． 故答案为． 解法二：设原式为整式）， 分别令，，可得：， 解得， ． 【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 16．（2024•青浦区三模）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为，则的值为 　66　． 【答案】66． 【分析】根据定义，可求出及的值，将其代入中，可求出结论． 【解答】解：，， ， 故答案为：66． 【点评】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算，解答本题的关键是理解“三决数”的定义． 17．（2024•徐汇区三模）当时，　　． 【答案】． 【分析】利用二次根式的性质解答即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握的性质是解题的关键． 18．（2024•普陀区校级三模）在实数范围内分解因式　　． 【分析】先提取公因式，再把3写成的形式，然后利用平方差公式继续分解因式． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，注意把3写成的形式继续分解因式，分解因式一定要彻底． 三．解答题（共2小题） 19．（2024•青浦区三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再根据特殊角的三角函数值求得，最后代入计算即可． 【解答】解： ． 当时， 原式． 【点评】本题主要考查了分式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用分式混合运算法则化简分式是解答本题的关键． 20．（2024•奉贤区三模）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数． 【答案】，． 【分析】先通分计算分式的加减，再将除法变为乘法计算并化为最简，最后选择适合的数值代入计算即可． 【解答】解：原式， ． 根据题意可知，0，， 将代入，原式． 【点评】本题主要考查了分式的运算，化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的法则． ( 1 ) ( )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$