专题02 方程与不等式（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（上海专用）

专题02 方程与不等式 考点一 方程 ►考向一 二元一次方程组 1．（2024•上海）解方程组：． 2．（2019•上海）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 　 　斛米．（注斛是古代一种容量单位） ►考向二 一元二次方程根的判别式 解题技巧总结 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 3．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 4．（2023•上海）已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是　 　． 5．（2022•上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　 　． 6．（2021•上海）若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 　 　． 7．（2020•上海）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　 　． ►考向三 一元二次方程的应用 规律方法总结 列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 8．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　 　． 9．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． ►考向四 高次方程与无理方程 解题技巧总结 高次方程的解法思想 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 10．（2022•上海）解方程组：的结果为 　 　． 11．（2021•上海）解方程组：． 12．（2023•上海）已知关于的方程，则　 　． ►考向五 换元法解分式方程 13．（2023•上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 14．（2020•上海）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　 A． B． C． D． 考点二 不等式 ►考向一 不等式的性质 15．（2024•上海）如果，那么下列正确的是　　 A． B． C． D． ►考向二 解一元一次不等式 解题规律总结 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 16．（2021•上海）不等式的解集是 　 　． ►考向三 解一元一次不等式组 解题规律总结 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 17．（2023•上海）解不等式组：． 一．选择题（共3小题） 1．（2024•虹口区三模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为 ） A． B． C． D． 2．（2024•静安区三模）关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．取一切实数 D． 3．（2024•青浦区三模）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 二．填空题（共9小题） 4．（2024•宝山区二模）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 　 　尺． 5．（2024•闵行区二模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金两，1只羊值金两，那么可列方程组为 　 　． 6．（2024•静安区二模）方程的根为 　 　． 7．（2024•上海模拟）在　 　的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根． 8．（2024•宝山区校级二模）已知，是一元二次方程的两实数根，且满足，实数的值为　 　． 9．（2024•静安区校级三模）数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称15，12，10为一组调和数，现有三个数：6，4，，若要组成调和数，则的值为 　 　． 10．（2024•崇明区模拟）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 　 　． 11．（2024•崇明区模拟）杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有 　 　种购买方案． 12．（2024•上海模拟）若不等式组的解集是，则　 　． 三．解答题（共4小题） 13．（2024•闵行区三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 14．（2024•金山区二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元和销售量（千克）的关系如射线所示． （1）当销售量为 　 　千克时，销售额和成本相等； （2）每千克草莓的销售价格是 　　元； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 15．（2024•静安区校级二模）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校，充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数 　 　，6月份借阅图书的学生人数 　 　． （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出：国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 16．（2024•嘉定区二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数 1 2 3 利润数（万元） 96 ？ 100 （1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； （2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 其符合题意的值，即可得出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式 考点一 方程 ►考向一 二元一次方程组 1．（2024•上海）解方程组：． 【分析】由①得出，求出或，求出或，把代入②得出，求出，求出，再把代入②得出，再求出即可． 【解答】解：， 由①，得， 或， 或， 把代入②，得， 解得：， 即； 把代入②，得， 解得：， 即， 所以方程组的解是，． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，能根据求出或是解此题的关键． 2．（2019•上海）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 　 　斛米．（注斛是古代一种容量单位） 【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案． 【解答】解：设1个大桶可以盛米斛，1个小桶可以盛米斛， 则， 故， 则． 答：1大桶加1小桶共盛斛米． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． ►考向二 一元二次方程根的判别式 解题技巧总结 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 3．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 【分析】求出的根为或，的根为或，可知，不符合题意；由得△，知不符合题意；由知△，知符合题意． 【解答】解：的根为或， 有两个不等实数根，故不符合题意； 的根为或， 有两个不等实数根，故不符合题意； 由知△， 有两个不等实数根，故不符合题意； 由知△， 有两个相等实数根，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足△． 4．（2023•上海）已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是　 　． 【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根， △，即， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键． 5．（2022•上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　 　． 【分析】由根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式是解题的关键． 6．（2021•上海）若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 　 　． 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后求出的取值范围． 【解答】解：一元二次方程无实数根， △， 解得， 的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 7．（2020•上海）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　 　． 【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△，即可求值． 【解答】解：依题意， 方程有两个相等的实数根， △，解得， 故答案为：4． 【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△时，方程有两个相等的实根，当△时，方程有两个不相等的实根，当△时，方程无实数根． ►考向三 一元二次方程的应用 规律方法总结 列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 8．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　 　． 【分析】设平均每月的增长率为，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答． 【解答】解：设平均每月的增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 所以平均每月的增长率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 9．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额前六天的总营业额第七天的营业额，即可求出结论； （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）（万元）． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ►考向四 高次方程与无理方程 解题技巧总结 高次方程的解法思想 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 10．（2022•上海）解方程组：的结果为 　 　． 【分析】由可知，再根据计算出，然后与联立计算即可． 【解答】解：，且， ， 可得方程组， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了高次方程组的解法，根据题干寻找解题方向及熟练掌握常见公式如平方差公式等是解题的关键． 11．（2021•上海）解方程组：． 【分析】解方程组的中心思想是消元，在本题中，只能用代入消元法解题． 【解答】解：， 由①得：， 把代入②，得：， 化简得：， 解得：，． 把，依次代入得： ，， 原方程组的解为． 【点评】本题以解高次方程组为背景，旨在考查学生对消元法的灵活应用能力． 12．（2023•上海）已知关于的方程，则　 　． 【分析】方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边平方得：， 解得：， 经检验是原方程的解． 故答案为：18． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． ►考向五 换元法解分式方程 13．（2023•上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，原方程可变为：，再去分母得，即可得出结论． 【解答】解：设，则， 分式方程可变为：， 去分母得：， 整理得：， 故选：． 【点评】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 14．（2020•上海）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设，则原方程化为，再转化为整式方程即可求解． 【解答】解：把代入原方程得：，转化为整式方程为，即． 故选：． 【点评】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 考点二 不等式 ►考向一 不等式的性质 15．（2024•上海）如果，那么下列正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：如果，两边同时加上5得，则不符合题意； 如果，两边同时减去5得，则不符合题意； 如果，两边同时乘5得，则符合题意； 如果，两边同时乘得，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． ►考向二 解一元一次不等式 解题规律总结 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 16．（2021•上海）不等式的解集是 　 　． 【分析】不等式移项，把系数化为1，即可求出解集． 【解答】解：移项，得：， 系数化为1，得：， 故答案为． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． ►考向三 解一元一次不等式组 解题规律总结 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 17．（2023•上海）解不等式组：． 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键，同大取大，同小取小，大大小小取不了，小大大小取中间． 18．（2022•上海）解关于的不等式组：． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：， 由①得，， ， 解得， 由②得，， ， ， 解得， 所以不等式组的解集为：． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 一．选择题（共3小题） 1．（2024•虹口区三模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为 ） A． B． C． D． 【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺， ； 将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ． 所列方程组为． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024•静安区三模）关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．取一切实数 D． 【分析】分为两种情况：①当，②，根据已知得出△，求出即可． 【解答】解：分为两种情况：①当时，， 解得：； ②当时，关于的方程有实数根， △， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式的应用，能得出关于的不等式是解此题的关键， 3．（2024•青浦区三模）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【分析】保留解方程，得到的解，再利用解为负数列不等式且分母不为零，求出的取值范围即可． 【解答】解：， 两边同乘得： ， ， ， ， 得， 检验得分母不为零， 且， 得且， 即且， 综上且， 故选：． 【点评】本题考查已知分式方程解的范围求分式方程中参数的取值范围，注意计算时保留参数须将参数看成常数，且分式方程的解需要检验确保分母不为零． 二．填空题（共9小题） 4．（2024•宝山区二模）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 　 　尺． 【分析】设木长尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【解答】解：设木长为尺， 根据题意得：， 解得， 答：木长6.5尺． 故答案为：6.5． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键． 5．（2024•闵行区二模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金两，1只羊值金两，那么可列方程组为 　 　． 【分析】根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解答】解：由题意可得，， 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 6．（2024•静安区二模）方程的根为 　 　． 【分析】依据题意，，从而，可得，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意得，， ． ． ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了无理方程的意义，解题时要能根据二次根式的意义得出的范围是关键． 7．（2024•上海模拟）在　 　的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根． 【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可． 【解答】解： 要使方程有两个相等的实数根，则△ 得 故一次项为 故答案为 【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式△可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△ 时，方程有两个相等的实数根；③当△ 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立． 8．（2024•宝山区校级二模）已知，是一元二次方程的两实数根，且满足，实数的值为　 　． 【分析】利用根与系数的关系可用表示出和的值，代入已知等式，可求得的值，再由根的判别式可求得的取值范围，再进行取舍即可． 【解答】解： ，是一元二次方程的两实数根， ，， ， ，即，解得或， 一元二次方程的有两实数根， △，即，解得，故不合题意，舍去， ， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，利用根与系数的关系用表示出题目中所给等式是解题的关键． 9．（2024•静安区校级三模）数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称15，12，10为一组调和数，现有三个数：6，4，，若要组成调和数，则的值为 　 　． 【分析】根据题中的新定义分三种情况考虑，根据的范围判断出满足题意的值即可． 【解答】解：根据题中的新定义分两种种情况考虑： （1）根据题意得：， 去分母得：， 解得：，经检验是分式方程的解且符合题意； （2）根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解且符合题意， 则的值为12或． 故答案为：12或． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 10．（2024•崇明区模拟）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 　 　． 【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：， 化为整式方程得：， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键． 11．（2024•崇明区模拟）杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有 　 　种购买方案． 【分析】设购买篮球个，则购买足球个，利用总价单价数量，结合“篮球购买的数量不少于40个，且总价不超过10260元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有3种购买方案． 【解答】解：设购买篮球个，则购买足球个， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为40，41，42， 共有3种购买方案． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 12．（2024•上海模拟）若不等式组的解集是，则　 　． 【分析】解出不等式组的解集， 与已知解集比较， 可以求出、的值， 然后相加求出 2009 次方， 可得最终答案 ． 【解答】解： 由不等式得，， ， ， ，， ． 【点评】本题是已知不等式组的解集， 求不等式中另一未知数的问题 ． 可以先将另一未知数当作已知处理， 求出解集与已知解集比较， 进而求得零一个未知数 ． 三．解答题（共4小题） 13．（2024•闵行区三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 【分析】设该学生接温水的时间为 ，则接温水 ，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【解答】解：设该学生接温水的时间为 ， 根据题意可得：， 解得， ， ， ， 该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键． 14．（2024•金山区二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元和销售量（千克）的关系如射线所示． （1）当销售量为 　 　千克时，销售额和成本相等； （2）每千克草莓的销售价格是 　　元； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 【分析】（1）由图直接可得答案； （2）由20千克草莓销售额为400元列式计算即可； （3）求出，，再根据销售利润为2000元列方程计算即可． 【解答】解：（1）由图可知，当销售量为20千克时，销售额和成本相等； 故答案为：20； （2）（元千克）， 每千克草莓的销售价格是20元； 故答案为：20； （3）设，， 根据图象可知，，， 解得，， ，， 销售利润为2000元， ， 解得， 如果销售利润为2000元，那么销售量为多220千克． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 15．（2024•静安区校级二模）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校，充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数 　 　，6月份借阅图书的学生人数 　 　． （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出：国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 【分析】（1）由题意分别列式计算即可； （2）设从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为，根据在4月份有1000名学生借阅了图书，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据比国庆节的总利润多1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）5月份借阅图书的学生人数是：（人， 6月份借阅图书的学生人数为：（人， 故答案为：1100人，1440人； （2）设从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， 答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为； （3）由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2024•嘉定区二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数 1 2 3 利润数（万元） 96 ？ 100 （1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； （2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【分析】（1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由1，3月份的利润数，利用待定系数法，即可求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将，代入得：， 解得：． 这个企业在2022年1至3月的利润数关于与月份数的函数关系式为， 当时，． 答：2月份的利润为98万元； （2）设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$