新题特训02 中考热搜难点考点60题-备战2025年中考数学真题题源解密（上海专用）

新题特训02 中考热搜难点考点60题 一．反比例函数综合题（共3小题） 1．（2024•绵阳）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点，边在轴上，，，点在反比例函数的图象上． （1）求点，，的坐标及反比例函数的解析式； （2）将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点，求点到轴的距离． 2．（2024•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点．当时，求点的坐标． 3．（2024•眉山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 二．二次函数综合题（共9小题） 4．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是，求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 5．（2024•济宁）已知二次函数的图象经过，两点，其中，，为常数，且． （1）求，的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点，的坐标； ②如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，，．是否存在点，使若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024•广安）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 7．（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 8．（2024•山西）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出△区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 9．（2024•河北）如图，抛物线过点，顶点为．抛物线（其中为常数，且，顶点为． （1）直接写出的值和点的坐标． （2）嘉嘉说：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当时， ①求直线的解析式； ②作直线，当与的交点到轴的距离恰为6时，求与轴交点的横坐标． （4）设与的交点，的横坐标分别为，，且，点在上，横坐标为．点在上，横坐标为，若点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，直接用含和的式子表示． 10．（2024•南充）已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值． （3）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 11．（2024•连云港）在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，．（1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、，连接、．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 12．（2024•甘孜州）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则　　，　　． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②若抛物线与轴有两个不同的交点，，，，请直接写出的取值范围． 三．三角形综合题（共4小题） 13．（2024•新疆）【探究】 （1）已知△和△都是等边三角形． ①如图1，当点在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由．【运用】 （2） 如图3，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当△为直角三角形时，请直接写出的长． 14．（2024•重庆）如图，在中，，，点为上一点，过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 15．（2024•宁夏）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论　　； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是 　　． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 16．（2024•吉林）如图，在△中，，，，是△的角平分线．动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．过点作，交于点，以为边作等边三角形，且点，在同侧．设点的运动时间为，△与△重合部分图形的面积为． （1）当点在线段上运动时，判断△的形状（不必证明），并直接写出的长（用含的代数式表示）． （2）当点与点重合时，求的值． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 四．正方形的性质（共1小题） 17．（2024•南通）如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 　　． 五．四边形综合题（共13小题） 18．（2024•兰州）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当△为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△中，，，连接，，请直接写出的最小值． 19．（2024•长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 　　度，线段长度的最小值为 　　． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为 　　米． 20．（2024•泰安）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结．与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和．将纸片展平，连结，，．同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 21．（2024•山东）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 22．（2024•吉林）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点．若，，则　　． （2）如图②，在菱形中，，，则　　． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点． 若，，则　　； 若，，猜想与，的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 如图④，在中，，，，点为边上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图； （ⅰ）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，； （ⅱ）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，在同侧； （ⅳ）过点画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 23．（2024•盐城）如图1，、、、分别是各边的中点，连接、交于点，连接、交于点，将四边形称为的“中顶点四边形”． （1）求证：中顶点四边形为平行四边形； （2）①如图2，连接、交于点，可得、两点都在上，当满足 　　时，中顶点四边形是菱形； ②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（2024•日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是 　　； （2）求证：； （3）若，，，求△的面积． 25．（2024•青岛）如图①，△中，，，，△中，，，边与重合，且顶点与边上的定点重合．如图②，△从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．与交于点，连接，．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）如图③，过点作，交于点，△与△关于直线对称，连接．是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 26．（2024•甘孜州）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 27．（2024•通辽）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点． 问题1 和的数量关系是 　　，位置关系是 　　． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 28．（2024•扬州）如图，点、、、、依次在直线上，点、固定不动，且，分别以、为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． （1）如图1，若，，求点与点之间的距离； （2）如图1，若，当点在点、之间运动时，求的最大值； （3）如图2，若，当点在点、之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接、，则的最小值为 　　． 29．（2024•青海）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，、、、分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：、、、分别是、、、的中点， 、分别是△和△的中位线， ，①_____）． ． 同理可得：． 中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①　　． 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ② （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②　　． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③ ④ 结论：原四边形对角线③　　时，中点四边形是④　　． 30．（2024•包头）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，，且． （1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与，相交于点，． ①求证：是的中点； ②求； （2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接，的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 六．切线的判定与性质（共1小题） 31．（2024•淮安）如图，在△中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的值． 七．三角形的内切圆与内心（共1小题） 32．（2024•绵阳）如图，在矩形中，点在上运动，△的内切圆与相切于点，将△沿翻折，点落在点处，连接．当点恰为的三等分点（靠近点时，且，，则 　　． 八．正多边形和圆（共1小题） 33．（2024•淮安）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为2，则　　． 九．圆的综合题（共4小题） 34．（2024•绵阳）如图，为△的外接圆，弦，垂足为，直径交于点，连接，．若，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）求的值； （3）求的值． 35．（2024•德州）如图，圆与都经过，两点，点在上，点是上的一点，连接并延长交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 36．（2024•常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． （1）如图1，、、是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是 　　，　　（写出符合条件的一种情况即可）； （2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出△的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 37．（2024•广西）如图，已知是的外接圆，．点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：与相切； （3）若，，求的半径． 一十．作图—复杂作图（共1小题） 38．（2024•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． 线段的长为 　　； 点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，△中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使△的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） 　　． 一十一．翻折变换（折叠问题）（共5小题） 39．（2024•淮安）如图，在中，，，，是边上的动点，将△沿翻折得△，射线与射线交于点．下列说法不正确的是　　 A．当时， B．当点落在上时，四边形是菱形 C．在点运动的过程中，线段的最小值为2 D．连接，则四边形的面积始终等于 40．（2024•牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到△，交折痕于点，则线段的长为　　 A． B． C． D． 41．（2024•眉山）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为　　 A． B． C． D． 42．（2024•自贡）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点，分别落在边、上的点，处，，分别交于点，．若，，则的长为　　 A． B． C． D．5 43．（2024•常州）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则　　． 一十二．旋转的性质（共1小题） 44．（2024•徐州）如图，在中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． （1）若点与点重合，则线段的长度为 　　． （2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 一十三．作图-旋转变换（共1小题） 45．（2024•武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画射线交于点，使平分△的面积； （2）在（1）的基础上，在射线上画点，使； （3）在图（2）中，先画点，使点绕点顺时针旋转到点，再画射线交于点； （4）在（3）的基础上，将线段绕点旋转，画对应线段（点与点对应，点与点对应）． 一十四．几何变换综合题（共2小题） 46．（2024•东营）在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 　　，与的位置关系是 　　； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 47．（2024•镇江）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点落在上，已知，，点、、、在上，、、、均与所在直线平行，，．点在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：　　； （2）如图4，　　，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为 　　； 【解决问题】 （3）求的长． 一十五．相似三角形的判定与性质（共9小题） 48．（2024•湖南）如图，在△中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是　　 A． B．△△ C． D． 49．（2024•河南）如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为　　 A． B．1 C． D．2 50．（2024•东营）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．（2024•威海）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是　　 A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 52．（2024•苏州）如图，△中，，，，点，分别在，边上，，连接，将△沿翻折，得到△，连接，．若△的面积是△面积的2倍，则 　　． 53．（2024•成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则　　． 54．（2024•济宁）如图，△中，，，是△的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，．分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 　　（只填序号） ①；②③；④；⑤． 55．（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连结交于点，延长与相交于点．若，，则的长为 　　． 56．（2024•河北）如图，的面积为2，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）△的面积为 　　； （2）△的面积为 　　． 一十六．相似形综合题（共4小题） 57．（2024•湖北）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当，分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 58．（2024•甘南州）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； （2）如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，求的值； （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 59．（2024•江西）综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 　　，数量关系是 　　． 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 60．（2024•安徽）如图1，的对角线与交于点，点，分别在边，上，且．点，分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新题特训02 中考热搜难点考点60题 一．反比例函数综合题（共3小题） 1．（2024•绵阳）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点，边在轴上，，，点在反比例函数的图象上． （1）求点，，的坐标及反比例函数的解析式； （2）将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点，求点到轴的距离． 【答案】（1），，，，，反比例函数的解析式为； （2）． 【分析】（1）判断出△是等边三角形，求出点坐标，可得结论； （2）求出平移后，，的对应点，，的坐标，求出直线的解析式，构建方程组求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）过点作于点． 四边形是菱形， ，， ， △是等边三角形， ， ，， ， ， ， ，，，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）对于反比例函数， 当时，， 当点恰好在反比例函数的图象上时，点的对应点， 菱形向右平移了4个单位， ，的对应点，，， 直线的解析式为， 由， 解得或， ， 点的坐标为，， 点到轴的距离为． 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2024•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点．当时，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）点的坐标为，． 【分析】（1）把点代入，解方程得到反比例函数的表达式为，把点，点代入，解方程组得到一次函数的表达式为； （2）设，得到，求得，由，列方程得到，，于是得到点的纵坐标为，把代入即可得到结论． 【解答】解：（1）把点代入得， ， 解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）设， 平行于轴， ， ， ， ， 解得， ，， 点的纵坐标为， 把代入得，， 点的坐标为，． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 3．（2024•眉山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）点的坐标为； （3）或． 【分析】（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点的坐标为； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，求得直线的解析式为，解方程得到，．，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， ， ， ， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 则此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，．， ， ， 解得或． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 二．二次函数综合题（共9小题） 4．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是，求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）或2． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，时，取得最小值，则时，取得最大值，即可求解； （3）由抛物线的表达式知，点，如图，，，，为顶点的四边形是菱形时，存在点在点上方和下方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1），抛物线的对称轴为直线，则抛物线和轴的另外一个交点为：， 则抛物线的表达式为：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由题意得， 当时，则， 时，，取得最小值， 则时，， 解得：或2，均不符合题意； 当时， 则抛物线的顶点处取得最大值， 抛物线的顶点坐标为：， 即， 解得：； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，点， ①当为菱形对角线时，对应菱形为， 则， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，点， 则，，， ， 解得：或（舍去）， 则， 即菱形的边长为：． ②当为菱形的对角线时对应菱形为菱形， 则， ， 解得：或（舍去）， 则， 即菱形的边长为：2． 综上，菱形的边长为：或2． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 5．（2024•济宁）已知二次函数的图象经过，两点，其中，，为常数，且． （1）求，的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点，的坐标； ②如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，，．是否存在点，使若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）①二次函数解析式为，点坐标，点坐标； ②或或． 【分析】（1）将已知两点代入到解析式进行计算分析即可得解； （2）①将第一问求出的、代入配成顶点式即可得到含的最小值，再根据题中条件建立方程即可求出值，最后求二次函数与轴交点，令即可得解； ②分两种情况讨论，点在点的左右两侧，再利用△和△都是以为底的三角形，求出的长度，从而得到解析式，联立求解即可． 【解答】解：（1）函数过， ，， ， ， ，， ， ． （2）①由（1）知该函数的解析式为：， ， 当时，函数最小值为， 二次函数最小值为， ， 解得， ， ， 二次函数解析式为， 令，则， 解得，， 点坐标，点坐标． ②Ⅰ，当点在点右侧时，如图，过作于点，过作于点， ，，， ，， ，， ， ， △和△都是以为底的三角形， ， ， 过作交轴于点，过作，则， ， ， ， ， ， 点坐标， 直线解析式为， 联立方程组可得， 解得，， 点坐标为，或，． Ⅱ，当点在点左侧时，过作交轴于点， 同第一种情况的方法可得 直线解析式为， 联立方程组得， 解得（舍，， 点坐标为，． 综上，点的横坐标为或或． 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值问题、二次函数与轴交点问题、二次函数与直线交点问题等内容，难度中等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．（2024•广安）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）的最大值为，点的坐标为； （3）点的坐标为或． 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，，与抛物线的另一个 交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为，直线为，再求解函数的交点坐标即可． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为， ． （2）当时，， ， 设直线为， ， 解得， 直线为， 设， ， ， 当时，有最大值， 此时． （3）如图，以为对角线作正方形， ， ，与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ， ， 由可得， 解得， ， 设为， ， 解得， 直线为， ， 解得或， ，，，，正方形． ， 同理可得直线为， ， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 【答案】（1）抛物线的表达式为：； （2）； （3）当时，． 【分析】（1）将点和点坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果； （2）先求出直线的解析式，进而表示出的长，进一步得出结果； （3）当时，作，交于，可得出△△，从而，进而得出，进一步得出结果． 【解答】解：（1）由题意得， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）设直线的函数表达式为：， ， ， ， ， ， ； （3）如图1， 当时， 作，交于， △△， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ． 【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练有关基础知识． 8．（2024•山西）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出△区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在△中，，，则，得到，即可求解； （3）由矩形周长，即可求解． 【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系， 所在直线是的垂直平分线，且， ． 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线 上， ， 解得：． 抛物线的函数表达式为； （2）点，在抛物线 上， 设点的坐标为， ，交轴于点， ，， ． 在△中，，， ． ， 根据题息，得， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． ， 答：的长为4米，的长为2米； （3）如图矩形灯带为， 由点、、的坐标得，直线和的表达式分别为：，， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． 9．（2024•河北）如图，抛物线过点，顶点为．抛物线（其中为常数，且，顶点为． （1）直接写出的值和点的坐标． （2）嘉嘉说：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当时， ①求直线的解析式； ②作直线，当与的交点到轴的距离恰为6时，求与轴交点的横坐标． （4）设与的交点，的横坐标分别为，，且，点在上，横坐标为．点在上，横坐标为，若点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，直接用含和的式子表示． 【答案】（1），； （2）两人说法都正确，理由见解答； （3）①； ②或； （4）． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，设与轴交点横坐标为，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． 【解答】解：（1）抛物线过点，顶点为， ， 解得， 抛物线为， ； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， 在上， 嘉嘉说法正确； ， 当时，， ， 过定点， 淇淇说法正确； （3）①当时，， 顶点， 而， 设为， ， 解得， 为； ②， 到轴的距离为6， 与交点的纵坐标为， 当时（等于6两直线重合不符合题意）， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 时，， 设与轴交点横坐标为， 则， 解得， 此时直线与轴交点的横坐标为； ， 解得， 此时直线与轴交点的横坐标为． 综上，直线与轴交点的横坐标为或； （4），， 是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， 四边形是平行四边形， 当点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，此时与重合，与重合， ，， 的横坐标为，，， 的横坐标为， ， 解得． 【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 10．（2024•南充）已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值． （3）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）的值为； （3）的最小值为． 【分析】（1）把，代入解得，的值，可得抛物线的解析式为； （2）设，求出直线解析式为，联立得，可解得，同理可得，，即可得，，故； （3）作点关于直线的对称点，连接，过点作于，求出，设直线解析式为，把代入即可知直线解析式为，设，，则，，求出，，又，故，，可得，即知当时，最小80，此时，从而的最小值为． 【解答】解：（1）把，代入得： 解得， 抛物线的解析式为； （2）设，直线解析式为， 把，代入得： ， 解得： 直线解析式为， 联立得， 解得或， ， 同理可得，， ，， ； 的值为； （3）作点关于直线的对称点，连接，过点作于，如图： 抛物线的对称轴为直线， ， 设直线解析式为， 把代入得：， ， 直线解析式为， 设，， 联立，可得， ，， ，关于直线对称， ， ， ， ，， 在中， ， 当时，最小80，此时， ， 的最小值为． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，“将军饮马“问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 11．（2024•连云港）在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，．（1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、，连接、．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1）； （2）见解答； （3）． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【解答】（1）解：抛物线与轴交于、两点， 分别将，代入中， 得， 解得， 抛物线对应的函数表达式为． （2）证明：连接，如图， ， ， 当时，， ， 当时，， ， ，， ，，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）解：设，则，， 当时，， 过直线上一点作轴的平行线， 令， 解得，． ， ， 点在的上方，如图， 设，则， 其对称轴为，且， ①当时，即， 由图可知， 当时，取得最大值， 解得或（舍去）， ②当时，得， 由图可知， 当时，取得最大值， 解得（舍去）， 综上所述，的值为． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 12．（2024•甘孜州）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则　2　，　　． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②若抛物线与轴有两个不同的交点，，，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；； （2）①，；②或． 【分析】（1）根据二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，得出，，求得，； （2）①抛物线的顶点为，令，顶点为；，顶点为，得出，； ②当顶点在下方时，抛物线有两个交点，；当顶点在下方时，． 【解答】解：（1）由题意，二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ，， ，， 故答案为：2；； （2）①由题意，， 抛物线的顶点为， 又始终是的伴随抛物线， 可令，顶点为；，顶点为， ， ，； ②与轴有两个不同的交点，，，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， 顶点坐标在图象上滑动，顶点为， 当时，解得：或， 抛物线与轴交于，，两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，； 若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上， 在上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 【点评】本题考查二次函数综合题，主要考查二次函数的性质与应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 三．三角形综合题（共4小题） 13．（2024•新疆）【探究】 （1）已知△和△都是等边三角形． ①如图1，当点在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由．【运用】 （2）如图3，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当△为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）①，理由详见解析；②，理由详见解析；（2）或． 【分析】（1）①根据条件易证△△，再进行线段转化易得答案；②与第①小问思路一样，证出△△即可； （2）由△为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点的位置关系去讨论即可，因为点是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨论求解即可． 【解答】解：（1）①．理由如下， △和△是等边三角形， ，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ． ②．理由如下， △和△是等边三角形， ，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ． （2）过作，则△为等边三角形． ①当点在左侧时，如图1， ，，， △△， ， 此时△不可能为直角三角形． ②当点在右侧，且在线段上时，如图2， 同理可得△△， ，， 此时只有有可能为， 当时，， ， ， ， 又， ． ③当点在右侧，且延长线上时，如图3， 此时只有， ， ， ， ， ， ． 综上：的长为或． 【点评】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 14．（2024•重庆）如图，在中，，，点为上一点，过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 【答案】（1）；； （2）当时，随的增大而增大；随的增大而减小； （3）． 【分析】（1）由，得到，根据相似三角形的性质得到，； （2）平面直角坐标系中画出函数，的图象，根据一次函数的图象和反比例函数的图象即可得到结论； （3）根据函数的图象得到当时的取值范围为． 【解答】解：（1）， ， ， ， ； ， ， 的周长：的周长， ； （2）平面直角坐标系中画出函数，的图象如图所示； 当时，随的增大而增大；随的增大而减小； （3）由函数图象得，当时的取值范围为． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 15．（2024•宁夏）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论　　； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是 　　． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】 结论； 结论； 【应用结论】 （1）见解析； （2）见解析． 【分析】【发现结论】结论1：根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质即可得到结论； 结论2：由结论1得到，求得，根据全等三角形的性质得到； 【应用结论】（1）根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，求得，由，得到． 【解答】【发现结论】解：结论是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 结论2：由结论1知，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：； 【应用结论】证明：（1）在中，， 在中，， ， 在和中， ， ； ； （2）证明：补全图形如图所示， 在中， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 又， ． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．角平分线的定义，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 16．（2024•吉林）如图，在△中，，，，是△的角平分线．动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．过点作，交于点，以为边作等边三角形，且点，在同侧．设点的运动时间为，△与△重合部分图形的面积为． （1）当点在线段上运动时，判断△的形状（不必证明），并直接写出的长（用含的代数式表示）． （2）当点与点重合时，求的值． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）△是等腰三角形，；（2）；（3）． 【分析】（1）根据角平分线平行线可得△是等腰三角形，再用特殊角即可求的长； （2）当、重合时，，即，求值即可； （3）①当点在上，点在上时，重合部分是等边三角形，如图作于点，②当点在上，点在延长线上时，重合部分时四边形．③当点在上，重合部分时直角三角形，分类讨论画出图形计算求解即可． 【解答】解：（1）如图，过作于点， ， ， 是角平分线， ， ， ， △是等腰三角形． ， ， ， ， 故△是等腰三角形，． （2）如图所示，、重合时图形． △是等边三角形， ， 由（1）得， ，即， ． （3）①当点在上，点在上时，重合部分是等边三角形，如图作于点， ， ， △是等边三角形， ， ． 由（2）知当点重合时，， ． ②当点在上，点在延长线上时，重合部分时四边形． 在△中，，， ， ， ． ③当点在上，重合部分时直角三角形， ，． 综上所述，． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点和分类讨论思想是解题关键． 四．正方形的性质（共1小题） 17．（2024•南通）如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 　　． 【分析】过点作于点，证明△是等腰直角三角形，△是等腰直角三角形，证明△△，得，，设，，得，，求出的值，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，过点作于点， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， △是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 设，， 正方形的边长为， ， ，， ，， 将代入整理得：， 解得， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 五．四边形综合题（共13小题） 18．（2024•兰州）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当△为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【分析】（1）证明△△，得到； （2）证明，，得出四边形为平行四边形； （3）过点作，使，连接、，，延长，过点作于点，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的值，在△中，，得出的最小值为． 【解答】（1）证明：△为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， △△， ； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ， 则， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点作，使，连接、，，延长，过点作于点， ，， ， ， ， ， 又， △△， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的值， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在△中，， 的最小值为． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 19．（2024•长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 　30　度，线段长度的最小值为 　　． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为 　　米． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）30，；【方法应用】． 【分析】（1）先证四边形是平行四边形得到． （2）利用等腰三角形可得，再将转化成，时有最小值，即可求解； 【方法应用】参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，即可求解． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 又， ． （2）解：， ， ， ． 四边形是平行四边形， ， 当最小时，也有最小值， 此时． 最小值是． 故答案为：30，． 【方法应用】解：如图过、作、的平行线，则四边形是平行四边形， ，， ， 当时，最小， ， ， ， 在△中，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． 20．（2024•泰安）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结．与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和．将纸片展平，连结，，．同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【分析】（1）作于点，证△△即可得证； （2）利用平行线分线段比例，然后进行等线段转化即可得证． 【解答】解：（1）正确，理由如下， 作于点， ， ， ． ， ， 又， △△． ． 是矩形，， 四边形是矩形． ． ． （2）同学们的发现说法正确，理由如下， ， ，， 由折叠知， ． ． ， 由平行四边形及折叠知，， ， 即点为的一个黄金分割点． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 21．（2024•山东）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）①证明见解析过程； ②当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为．理由见解答过程． 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论； （2）①证明，，可得，证明，可得四边形为矩形，结合，即，而，可得，从而可得结论；②如图，当时，连接，证明，可得，结合，可得； ②如图，当时，连接，同理，结合，可得． 【解答】（1）证明：设， ，， ， ， ， ， ，， ， ； （2）①证明：，， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，即， 而， ， 四边形是正方形； ②解：当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为．理由如下： 如图1，当时，连接， 由（1）可得：，， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，当时，连接， 由（1）可得：，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为． 【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（2024•吉林）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点．若，，则　2　． （2）如图②，在菱形中，，，则　　． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点． 若，，则　　； 若，，猜想与，的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 如图④，在中，，，，点为边上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图； （ⅰ）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，； （ⅱ）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，在同侧； （ⅳ）过点画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2；（2）4；（3），猜想：，证明详见解析；（4）10． 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，代入即可得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再利用（3）中结论即可计算． 【解答】解：（1）在中，，，， ， ， ． 故答案为：2． （2）在菱形中，，， ， 故答案为：4． （3）， ，， ， 故答案为：． 猜想：， 证明：，， ． （4）根据尺规作图可知：， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ， ，， 根据（3）中结论得． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、尺规作图—作一个角等于已知角、勾股定理逆定理等知识，整体难度不大，掌握以上知识是解题关键． 23．（2024•盐城）如图1，、、、分别是各边的中点，连接、交于点，连接、交于点，将四边形称为的“中顶点四边形”． （1）求证：中顶点四边形为平行四边形； （2）①如图2，连接、交于点，可得、两点都在上，当满足 　　时，中顶点四边形是菱形； ②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析； （2）①； ②见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，，即可得证； （2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果； ②连接，作直线，交于点，然后作，，然后连接、、、即可得出点和分别为的重心，据此作图即可． 【解答】（1）证明：， ，，，， 点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形为平行四边形， 同理可得：四边形为平行四边形， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形， 由（1）得四边形是平行四边形， ， ， 中顶点四边形是菱形， 故答案为：； ②如图所示，即为所求， 连接，作直线，交于点，然后作，，然后连接、、、即可， 点和分别为和的重心，符合题意； 证明：矩形， ，， ，， ， 四边形为平行四边形； 分别延长、、、交四边于点、、、如图所示： 矩形， ，， 由作图得， ， ， 点为的中点， 同理得：点为的中点，点为的中点，点为的中点． 【点评】本题主要考查了四边形综合，平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键． 24．（2024•日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是 　　； （2）求证：； （3）若，，，求△的面积． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【分析】（1）由尺规作图即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，则再由作图可知，，则，然后由等腰三角形的判定即可得出结论； （3）由平行四边形的性质得，，，则，进而证明，则，得，，过点作，交的延长线于点，再由锐角三角函数定义求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解答】（1）解：由作图可知，与的数量关系是， 故答案为：； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 由作图可知，， ， ； （3）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 由作图可知，， ， ， ， ， ， 由（2）可知，， 过点作，交的延长线于点， 则， ， ， 在△中，， ． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、尺规作图以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键，属于中考常考题型． 25．（2024•青岛）如图①，△中，，，，△中，，，边与重合，且顶点与边上的定点重合．如图②，△从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．与交于点，连接，．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）如图③，过点作，交于点，△与△关于直线对称，连接．是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当为2秒时，点在线段的垂直平分线上； （2）； （3）秒时，． 【分析】（1）根据动点问题表示相应的线段，再根据线段垂直平分线的性质建立方程，即可求解； （2）连接化不规则四边形为规则图形，根据相似三角形求两个三角形的高，然后求两个三角形的面积和便可求得函数关系； （3）根据平行得出角相等，进而得出其三角函数值相等，再求相关线段建立关系，即可求解． 【解答】解：（1）当点在线段的垂直平分线上，则有， 根据题意可得：，，， ， 点在线段的垂直平分线上， ，即， 解得：，符合题意， 当为2秒时，点在线段的垂直平分线上； （2）过点作于点，于点，连接， 则， 在△中，， 根据勾股定理得：， ，， ，， ，，即，， 解得：，， 由平移可知，且， ， ， ； （3）过点作于点， ， ， △△， ，即， ，， ， ，△与△关于直线对称， ，即， ， ，， ， ， ， 解得，故符合题意， 当为秒时，． 【点评】本题综合考查了勾股定理、平移、线段的垂直平分线性质定理、相似、轴对称、平行线性质、解直角三角形、函数等知识，化动为静是解决问题的关键． 26．（2024•甘孜州）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析过程； （2）①，理由见解析过程； ②． 【分析】（1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下：设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27．（2024•通辽）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点． 问题1 和的数量关系是 　　，位置关系是 　　． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1），；（2）证明过程详见解析；（3）． 【分析】（1）先证，得到，再根据和内角和推导，证即可； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证； （3）由（2）知点，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧上，再根据的变化求圆心角即可得解． 【解答】（1）解：四边形是正方形， ，， 是含有的直角三角尺， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ，即， 故答案为：，． （2）是直角三角形，是中点， ， 由（1）知， 是直角三角形， ， ． （3）由（2）知，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧， 连接，， 旋转角从变化到， 此时点的运动路线就是， 取中点，连接， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 的长度． 即点经过路线的长度为． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、弧长公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28．（2024•扬州）如图，点、、、、依次在直线上，点、固定不动，且，分别以、为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． （1）如图1，若，，求点与点之间的距离； （2）如图1，若，当点在点、之间运动时，求的最大值； （3）如图2，若，当点在点、之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接、，则的最小值为 　　． 【答案】（1）4或6；（2）12.5；（3）． 【分析】（1）易证，再代入边长求解即可； （2）由得出相似比，设未知数代入，得到关于的二次函数表达式，进而求最值即可； （3）先证，将转化为的最小值，利用“将军饮马“模型做对称点求解即可． 【解答】解：（1）由题易得， ， ， ， ， ，，， ，解得或6， 点与点之间的距离是4或6． （2）由（1）知， 设，， ， ， ， ， ， 当时，， 即最大值为12.5． （3），是中点， ， ， 求的最小值就是求的最小值即可． 如图，连接，则点在的角平分线上，作关于的对称点，连接交为，则即为所求位置，长度即为最小值． 过点作． ， 在的延长线上， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在△中，， 即最小值为， 最小值为． 【点评】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握相似的判定和性质、二次函数求最值、轴对称等知识点是解题关键． 29．（2024•青海）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，、、、分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：、、、分别是、、、的中点， 、分别是△和△的中位线， ，①_____）． ． 同理可得：． 中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①　三角形中位线定理　． 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ② （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②　　． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③ ④ 结论：原四边形对角线③　　时，中点四边形是④　　． 【答案】（1）三角形中位线定理； （2）见解析； （3）矩形； （4）见解析； （5）且；正方形． 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理得到．同理可得：．根据平行四边形的性质得到中点四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论； （3）根据菱形的判定定理得到结论； （4）根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，根据矩形的判定定理得到中点四边形是矩形； （5）根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）解：①三角形中位线定理， 故答案为：三角形中位线定理； （2）证明：， ， 中点四边形是菱形； （3）解：②矩形； 故答案为：矩形； （4）证明：设与交于，与交于， ，分别是△和△的中位线， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， ， 中点四边形是矩形； （5）解：③且； ④正方形； 理由：由（2）知中点四边形是菱形．由（4）知中点四边形是矩形， 中点四边形是正方形． 故答案为：且；正方形． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定菱形的判定正方形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 30．（2024•包头）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，，且． （1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与，相交于点，． ①求证：是的中点； ②求； （2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接，的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①证明过程详见解析；②；（2），证明过程详见解析． 【分析】（1）①由平行线之间是等距的以及可得，再证即可得证；②先证，得出，再根据即可求解； （2）由第（1）问思路可知可构造8字型相似或者全等，从而过作交延长线于点，先证得到，再证得到，最后证即可得证． 【解答】（1）①证明：四边形是平行四边形， ，， 和之间是等距的，且， ， ， 是中点， ， ， 在和中， ， ， ， 是中点． ②解：，， ， ， 设，则， ， ， ， ． （2）． 证明：过作交延长线于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 六．切线的判定与性质（共1小题） 31．（2024•淮安）如图，在△中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）连接，，证出，根据切线的判定推出即可； （2）由勾股定理，求出，证△△，求出，，进而求出，利用，即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接，，如图， 为的直径， ， ， ， 点为的中点， 点为的中点， 为△的中位线， ， ， ， ， ， ， 为的半径，为的外端点， 为的切线； （2）解：如上图， ，，， 由勾股定理，得， 由（1）知， △△， ， ，，， ， 解得，， ， 在△中， 由勾股定理，得， ， ， ． 【点评】本题考查圆的切线判定，等腰三角形的性质，圆周角定理的推论，以及解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键． 七．三角形的内切圆与内心（共1小题） 32．（2024•绵阳）如图，在矩形中，点在上运动，△的内切圆与相切于点，将△沿翻折，点落在点处，连接．当点恰为的三等分点（靠近点时，且，，则 　　． 【答案】． 【分析】要求需要构造直角三角形，所以过过作于点，交于点，求出和的长度即可，折叠问题优先考虑勾股方程，先根据切线长定理△求出，，再根据△△得到．，然后设参，利用△建立勾股方程，从而求出、的长度，进而得到的长度，最后利用勾股定理求出的长度即可得解． 【解答】解：如图，设△内切圆圆心为，连接，过作于点，过作于点，则四边形为正方形， 根据切线长定理可得，， 设半径为，则， ， ，， 在△中，，， 即， 解得或（舍去）， ，， ， 折叠， ，，， 过作于点，交于点，则， ， △△， ， ．， 设，则， ， 在△中，， 即， 解得或（舍去）， ，， ， 在△中，， ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 八．正多边形和圆（共1小题） 33．（2024•淮安）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为2，则　　． 【答案】． 【分析】过作，连接，则易证是矩形，所以，再延长、交于点，于点，解△，求出和长度，设参，最后利用△△求参即可得解． 【解答】解：如图，延长、交于点，作于点，于点，则， 由反射光线的性质可知， ， 即， ， ， ， 设，则， ， 六边为正六边形， ， ， 是中点， ， 在△中，，， ， 在正六边形中，， ，， △△， ，即， 解得， ， 连接， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 九．圆的综合题（共4小题） 34．（2024•绵阳）如图，为△的外接圆，弦，垂足为，直径交于点，连接，．若，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，推出，得到，根据平行四边形的判定定理得到结论； （2）设，得到，根据勾股定理得到，，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）过点作于，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， 由（1）知，， ， △△， ， ； （3）解：过点作于， 在△中，， ， ， ， △△， ， ， ，， ， ， ， ， 在△中，， ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了三角形外接圆和外心，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正地的作出辅助线是解题的关键． 35．（2024•德州）如图，圆与都经过，两点，点在上，点是上的一点，连接并延长交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）的半为2； ②． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到； （2）①连接并延长交与，连接，根据圆周角定理得到，得到，根据三角函数的定义得到结论； ②连接交于，根据垂径定理得到，，根据直角三角形的性质得到，，求得，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， ， ； （2）解：①连接并延长交与，连接， 则， ， ， ， ， ， 的半为2； ②连接交于， ，， ，， ， 在中，弓形扇形△， 在中，弓形扇形△， 图中阴影部分的面积． 【点评】本题是圆的综合题，考查了相交两圆的性质，圆周角定理，等边三角形的性质，三角形的面积的计算，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 36．（2024•常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． （1）如图1，、、是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是 　　，　　（写出符合条件的一种情况即可）； （2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出△的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1），1或者，2；（两种情况任填一种即可）． （2）作图见解析； （3）或． 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）在延长线上截取，再分别以和为圆心，长为半径画弧交于点，连接和，则△即为所求； （3）根据题干可知要在找一点，使，分两种情况，在圆内或圆外讨论即可求解． 【解答】解：（1）由题知，． ， 线段的“平移关联图形”可以是，也可以是， 当线段的“平移关联图形”是时，， 当线段的“平移关联图形”是时，； 故答案为：，1或者，2；（两种情况任填一种即可）． （2）作图如图所示， 作法提示：①在延长线上截取， ②再分别以和为圆心，长为半径画弧交于点， ③连接和，则△即为所求； 理由：，△是等边三角形， △为等边三角形， △△， 平移距离为2， △是△的一个“平移关联图形”，且满足． （3）点、、的坐标分别是、、， ，， ，， 对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ，， 当在圆外时，如图所示， 在△中， 若，则， ， 结合图形可得，当向上移动时满足题意， ； 当在圆内时，如图所示， 在△中， 若，则， ， 结合图形可得，当向下移动时满足题意， ； 综上，或． 【点评】本题主要考查了平移的性质、尺规作图、点圆最值问题等内容，难度一般，熟练掌握相关知识是解题的关键． 37．（2024•广西）如图，已知是的外接圆，．点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：与相切； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10． 【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质得到，，利用内错角相等两直线平行的性质得到，利用线段中点的定义得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形的性质解答即可得出结论； （2）连接，利用等腰三角形的三线合一的性质得到垂直平分，利用（1）的结论得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）连接，，，利用等腰三角形的 三线合一的性质得到，，利用圆周角定理得到，则，求得后再利用勾股定理解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：点，分别是，的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； （2）证明：连接，如图， ， ， 垂直平分， 经过圆心， 由（1）知：， ， 为半径， 与相切； （3）解：连接，，，如图， ，， ，， ， ． ， ， ， ， ， ， 的半径为10． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的切线的判定定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 一十．作图—复杂作图（共1小题） 38．（2024•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． 线段的长为 　　； 点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，△中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使△的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） 　　． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求． 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理可得结论； （Ⅱ）作点关于，的对称点，，连接，分别与，相交于点，，△的周长线段的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作出图形即可． 【解答】解：； 如图，点，，即为所求． 方法：如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求． 故答案为：如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求． 【点评】本题考查作图复杂作图，勾股定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题． 一十一．翻折变换（折叠问题）（共5小题） 39．（2024•淮安）如图，在中，，，，是边上的动点，将△沿翻折得△，射线与射线交于点．下列说法不正确的是　　 A．当时， B．当点落在上时，四边形是菱形 C．在点运动的过程中，线段的最小值为2 D．连接，则四边形的面积始终等于 【答案】 【分析】根据每一选项逐一判断即可． 【解答】解：选项：如图所示， ， ， 折叠， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，故选项正确，不合题意； 选项：如图所示， 当落在上时，点和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 折叠， ，，， △是等边三角形， ， 四边形是菱形，故选项正确，不合题意； 选项：如图所示， 当点靠近点时，在四边形外部，此时， ，故选项错误，符合题意； 选项：如图所示，连接交于点， 折叠，且是折痕， 垂直平分， ，故选项正确，不合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判断等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 40．（2024•牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到△，交折痕于点，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设 ，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【解答】解：四边形是矩形， ， 由折叠可得：，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设 ，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 41．（2024•眉山）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，在中，由勾股定理可求的长，再由三角函数定义即可求解． 【解答】解：方法一：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：． 方法二：四边形是矩形， ，， ， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，二次根式的运算，灵活运用这些性质是解题的关键． 42．（2024•自贡）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点，分别落在边、上的点，处，，分别交于点，．若，，则的长为　　 A． B． C． D．5 【答案】 【分析】由，推出，，推出，推出，可得．解得，再证明，利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理求出． 【解答】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ． ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查翻折变换，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 43．（2024•常州）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则　　． 【答案】． 【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：，，，是边的中点， ， ， 将沿翻折，点落在上的点处， ，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 一十二．旋转的性质（共1小题） 44．（2024•徐州）如图，在中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． （1）若点与点重合，则线段的长度为 　5　． （2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 【答案】（1）5．（2）不变；理由见解答过程． 【分析】（1）当点与点重合时，、、、、共线，，为△的中位线，即可求出的长度． （2）构造△，使为△的中位线，再构造△△，进而证得△是等边三角形，得出．然后由△和△为等边三角形，推导出，然后再由，最后得出和的长度不变． 【解答】解：（1）当点与点重合时，点在点处，此时、、、、共线， 如图①，在平行四边形中，． 将绕点逆时针旋转得到，． 点、分别是，的中点，由中位线可知． ． 故答案为：5． （2）结论：不变． 如解图②，连接并延长到点，使得，连接，， 点为中点， ． 四边形 为平行四边形， ，． 延长，交于点，连接． ，． 四边形为平行四边形， ， ． 如解图②，延长至点，使得，连接， 在平行四边形中， ， ， △是等边三角形， ．， ，， ， 又，， △△． ， △ 为等边三角形． 点、为、的中点， 为△的中位线，． ． ．且长度不变； 连接， 由△和△都为等边三角形． 由手拉手模型易证△△． ． 设与 交于点，易证△和△为等边三角形． 由上可知：△和△为等边三角形， ． ， ， ， ，设， 则，，， ． 为△的中位线，为中点， ， ． 故和的长度都不变． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质．本题的难点是构造△△得出． 一十三．作图-旋转变换（共1小题） 45．（2024•武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画射线交于点，使平分△的面积； （2）在（1）的基础上，在射线上画点，使； （3）在图（2）中，先画点，使点绕点顺时针旋转到点，再画射线交于点； （4）在（3）的基础上，将线段绕点旋转，画对应线段（点与点对应，点与点对应）． 【答案】见解析． 【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形； （2）方法一：作点作的对称点，连接交射线于点，点即为所求．方法二：取格点，，连接，作射线交于点，连接交一点，点即为所求； （3）构造等腰直角三角形即可； （4）取格点，，，，，，连接，，，交射线于点，交于点，连接，延长交一点，线段即为所求（证明△△，可得结论）． 【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求； （2）如图1中，点即为所求； （3）如图2中，点，射线，点即为所求； （4）如图2中，线段即为所求． （其中（2）的方法二：如图所示）． 【点评】本题考查作图旋转变换，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 一十四．几何变换综合题（共2小题） 46．（2024•东营）在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 　　，与的位置关系是 　　； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】（1），； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析过程； （3）． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，，可证； （2）通过证明，可得，，可证，； （3）由勾股定理可求的长，通过证明，可求的长，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，延长交于， 将绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ，，，， ，， ， ， 故答案为：，； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由如下： 如图2，延长交于， 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到， ，，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图3，过点作于， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 由（2）可知：． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 47．（2024•镇江）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点落在上，已知，，点、、、在上，、、、均与所在直线平行，，．点在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：　　； （2）如图4，　　，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为 　　； 【解决问题】 （3）求的长． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【分析】（1）； （2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果； （3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2）、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识． 一十五．相似三角形的判定与性质（共9小题） 48．（2024•湖南）如图，在△中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是　　 A． B．△△ C． D． 【答案】 【分析】根据题中所给条件可得出△与△相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：点，分别为边，的中点， 是△的中位线， ，． 故、选项不符合题意． ， △△． 故选项不符合题意． △△， ， 则． 故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键． 49．（2024•河南）如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为　　 A． B．1 C． D．2 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明△△，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ， ， △△， ，即， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 50．（2024•东营）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】通过证明，可得，故①错误；由，故②错误；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可求，即平分，故③正确；通过证明，可得，故④正确；即可求解． 【解答】解：设， 四边形是正方形， ，， ， ，故①错误； ， ，故②错误； ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分，， ， ， ， ， 平分，故③正确； ，， ， ， ， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 51．（2024•威海）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是　　 A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可判断；根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明△△可得，则垂直平分，即可判断选项；证明四边形是菱形，即可判断选项；选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ．若，即， 又， △△， ， ， 故选项正确； ．若，，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 在△和△中， ， △△， ， 又， ， ， 故选项正确； ．， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 又， ， ， 垂直平分， ， ， 故选项正确； ．若，则四边形是菱形， 当，且时，可得垂直平分， ， ， 故选项不正确， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理． 52．（2024•苏州）如图，△中，，，，点，分别在，边上，，连接，将△沿翻折，得到△，连接，．若△的面积是△面积的2倍，则 　　． 【分析】设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明△△，得到，进而得到，，证明△是等腰直角三角形，得到，可得，证明△△，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解的值即可． 【解答】解：， 设，， △沿翻折，得到△， ，， 过作于，设与相交于， 则， 又， △△， ， ，，， ， ，，则， △是等腰直角三角形， ，则， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， △的面积是△的面积的2倍， ， 则， 解得，（舍去）， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键． 53．（2024•成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则　　． 【答案】． 【分析】连接，过作于，设，则，由，为中点，可得，有，，证明，可得，，故，再证，得，而，即得，从而，即可解得答案． 【解答】解：连接，过作于，如图： 设，则， ，为中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ， 解得或（小于0，舍去）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 54．（2024•济宁）如图，△中，，，是△的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，．分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 　①②⑤　（只填序号） ①；②③；④；⑤． 【分析】根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行 比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出△△即可判断⑤． 【解答】解：，， 三角形为等腰直角三角形，， 又是△的角平分线， ， ， ，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图： 是△的角平分线，由三线合一可得：，即， ， ， 四边形为矩形， ， ， ，故②正确； ，， ，故③错误； 设，则， ， ， ，即， ，即， ，故④错误； 添加解法：在△中，， ， ，故④错误； ， ， ， 又， △△， ， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 【点评】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 55．（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连结交于点，延长与相交于点．若，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】先证，从而求出，再证即可得解． 【解答】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 56．（2024•河北）如图，的面积为2，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）△的面积为 　1　； （2）△的面积为 　　． 【答案】（1）1； （2）7． 【分析】（1）证明△，即可得出结果； （2），分别求出它们的面积即可． 【解答】解：（1）连接、、、、， 的面积为2，为边上的中线， ， 点，，，是线段的五等分点， ， 点，，是线段的四等分点， ， 点是线段的中点， ， 在△和中， ， △， ，， △的面积为1， 故答案为：1； （2）在△和中， ， △， ，， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， 在△和中， ，， △， ， ， ， ， ， △的面积为7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意 义，三角形的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 一十六．相似形综合题（共4小题） 57．（2024•湖北）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当，分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【解答】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 58．（2024•甘南州）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； （2）如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，求的值； （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析． 【分析】（1）如图1，设与交于点，根据正方形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）如图2，设与交于点，根据矩形的性质得到，求得，得到，，于是得到； （3）如图3，过点作交的延长线于点，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论． 【解答】（1）解：如图1，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ； （2）解：如图2，设与交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）证明：如图3，过点作交的延长线于点， ， ， 四边形为矩形， ，， ，， △△， ， ， ． 【点评】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 59．（2024•江西）综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 　　，数量关系是 　　． 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），，理由见解析； （2），，证明见解析； （3）①与的函数表达式为，的最小值为18； ②或． 【分析】（1）由，得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据垂直的定义得到； （2）根据相似三角形的判定定理得到，求得，，得到，根据垂直的定义得到； （3）①连接交于，由（1）知，，，求得，得到，根据勾股定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，推出四边形是正方形，根据正方形的面积公式即可得到，根据二次函数的性质即可得到结论； ②过作于，根据等腰直角三角形到现在得到，求得，连接，推出，得到，根据勾股定理得到结论． 【解答】解：（1），， 理由：， ，， ， ，， ， ，， ， ； 故答案为：，； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）①连接交于， 由（1）知，，， ， ， ，， ， 点与点关于对称， 垂直平分， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 与的函数表达式为， ， 的最小值为18； ②过作于， 则是等腰直角三角形， ， ， 连接， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 60．（2024•安徽）如图1，的对角线与交于点，点，分别在边，上，且．点，分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析；． 【分析】（1）证明，即可得到； （2）证明，即可得到；先求出，，即可得到的值． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， ， ； 解：为菱形， ， ，， ， ， ，， ，即， ， ， ，，， ，即， ， ， ， 的值是． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等，综合运用性质与判定方法是解题的关键． 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