精品解析：广西南宁市第二中学2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

南宁二中2023级高二年级12月联考 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用 2B铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的切线斜率，结合斜率的定义即可求解. 【详解】由，可得， 则曲线在处的切线斜率为1， 由（为倾斜角），，可得. 故选：A． 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程化为标准式即可. 【详解】方程化为标准式得 ，则. 故选：D. 3. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的关系，求得，直接求渐近线方程. 【详解】根据双曲线的焦距为4，即， 所以，得， 所以的渐近线方程为. 故选：D 4. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案. 【详解】根据题意，，，， 则，， 结合图象可得直线的斜率k的取值范围是. 故选：D. 5. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率. 【详解】设，则， 由椭圆的定义得，， 由得，即， 整理得，解得或（舍去）， ∴，故点在轴上. 如图，在直角中，， 中，， 化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 7. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，从而求出的最小值即可. 【详解】 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故，又， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 8. 已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （ ） A. 949 B. 1160 C. 1276 D. 2261 【答案】A 【解析】 【分析】先判断数列为等比数列，求出其通项公式，再求数列的通项公式，分组求和，可得问题答案. 【详解】由题意：，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以 所以， . 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可. 二、多选题 (本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) . 9. 已知数列的前项和为，，，且.记，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可得数列为等差数列，进而求得，由裂项求和法可求. 【详解】由变形得，即为等差数列， 因为，，所以，，， 所以， 故ACD正确 故选：ACD 10. 已知圆 直线，则以下几个命题正确的有 （ ） A. 直线恒过定点 B. 圆C被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与直线垂直，从而判断选项D. 【详解】选项A中，直线的方程整理得， 由，解得，∴直线过定点，故A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，解得， ∴轴上的弦长为，故B错误； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，故C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，故D错误. 故选：AC. 11. 如图， 圆. 圆 动圆P与圆F₁外切于点M，与圆F₂内切于点N，且P，M，N不重合，圆心P的轨迹记为曲线C则 （ ） A. 曲线C的方程为 B. ∠MPN的最小值为120° C. 曲线C的一条弦AB 被点(2，1)平分， 则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，与互补，当取最小时，则取最大，当点位于椭圆的上下顶点时，取最大进行求解；对C项，由点差法进行求解；对D项，直接利用数量积运算及基本不等式求解． 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A项，设动圆的半径为，由条件得， 则，且不重合， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点）， 则曲线的方程为：，故选项A错误； 对于B项，由图知，与互补，当取最小时，则取最大， 当点位于椭圆的上下顶点时，取最大，此时， 即，则的最小值为，故选项B正确； 对于C项，设该弦与椭圆的两个交点分别为，， 则，且点为中点，则， 因为，两式作差可得， 则， 即，可得，故选项C正确； 对于D项， ， 当且仅当时，等号成立，故选项D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡上. 12. 双曲线 上的一点P到一个焦点的距离等于7，那么点P到另一个焦点的距离等于________. 【答案】 【解析】 【分析】把双曲线方程变变标准方程，求得，不妨设双曲线左右焦点为，且，由双曲线定义可得，求解即可. 【详解】由，可得，所以，所以， 不妨设双曲线的左右焦点为，且， 由双曲线的定义，可得， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 13. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成新的等差数列. 若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第10项为__. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用累加法结合等差数列运算求解. 【详解】设二阶等差数列为，令， 则，，， 由题意可得：数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则，即， 所以 . 故答案为：. 14. 已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知和函数可得，利用倒序相加即可得. 【详解】由等比数列性质可得；， 又因为函数，所以， 即，所以； 令， 则； 所以， 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用等比数列的性质得；，进而计算的值，从而解决求值问题. 四、解答题：本题共6小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理转化条件可得结果. （2）由面积公式可求，由余弦定理可求，即可得到三角形的周长. 【小问1详解】 由题意结合正弦定理可得 ， 即， ∵，∴， ∴，故． 【小问2详解】 由，解得． 由余弦定理可得， ∴， ∴的周长为． 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. 【小问1详解】 圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. 【小问2详解】 设因为为的中点, 所以, 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 17. 如图， 在四棱锥中， 四边形是矩形，是正三角形， 且平面平面，为棱的中点. （1）若为棱的中点， 求证：平面； （2）在棱上是否存在点 ，使得平面与平面的夹角的余弦值为若存在，指出点的位置并给以证明； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）是线段的中点时，可使得平面与平面的夹角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面垂直的性质定理推导出平面，取的中点，连接，易证，，然后以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 取的中点，连接， 分别为的中点，所以，且， 因为四边形是矩形，所以，， 又为棱的中点，所以且， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 假设在棱上是否存在点满足题意，如图，连接， 在等边中，为棱的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 取的中点，连接，易证，， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 设， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以，. 易知平面的一个法向量为， 所以， 整理可得，解得，合乎题意， 所以，当点为线段的中点时，与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知数列的前n项和为数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）令求数列的前n项和； （3）若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）由不等式能成立，来求的最小值，再由使不等式都成立，分离参变量，即可求k的取值范围. 【小问1详解】 由得：， 两式相减得：， 所以数列是等比数列，公比为， 由于，即， 又因为，所以， 即数列是等差数列上，公差为，首项为， 所以, 即; 【小问2详解】 由于， 则， 利用错位相减法，则 ， 上面两式相减得：， 则， 即； 【小问3详解】 由于，所以数列是递增数列，即， 因为当， 存在正整数n使得，成立， 则，由,变形得：， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以有， 则有. 19. 已知抛物线的焦点关于直线的对称点为. （1）求的方程； （2）若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，点为抛物线上异于的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由. （3）过点的动直线交抛物线于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】（1）抛物线的方程为 （2）当的面积小于时，有4个， 当的面积等于时，有3个， 当的面积大于时，有2个 （3）点在直线上 【解析】 【分析】（1）由焦点关于直线对称点为，即可求得值，则抛物线方程可求； （2）联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式可求，可得的取值范围，利用平移法可求平行与与抛物线相切时的三角形面积，进而可得不同面积的三角形个数； （3）设直线的方程为，，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简，分析可得，则定直线方程可求. 【小问1详解】 抛物线的焦点关于直线的对称点为， 于是，解得：， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，直线的方程为，设， 由，消去得：，， 则，所以， 设与平行且与抛物线相切的直线方程为， ，消去得：，，解得， 所以切线方程为，切线与的距离， 当为切点时，的面积为， 当的面积小于时，在直线各有两个点符合题意， 当的面积等于时，在直线上方有两个点，下方只有一个点符合题意， 当的面积大于时，在直线上方有两个点符合题意， 即当的面积小于时，有4个， 当的面积等于时，有3个， 当的面积大于时，有2个． 【小问3详解】 由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代入抛物线方程，整理得，， 解得或． 设，则， 由， 得， 化简得， 当时，因，化简得， 与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时，化简得， 即，化简得， 又，所以，化简得， 所以点在直线上． 【点睛】方法点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁二中2023级高二年级12月联考 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用 2B铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 2. 若方程表示圆，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（     ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （ ） A. 949 B. 1160 C. 1276 D. 2261 二、多选题 (本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) . 9. 已知数列的前项和为，，，且.记，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 10. 已知圆 直线，则以下几个命题正确的有 （ ） A. 直线恒过定点 B. 圆C被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 11. 如图， 圆. 圆 动圆P与圆F₁外切于点M，与圆F₂内切于点N，且P，M，N不重合，圆心P的轨迹记为曲线C则 （ ） A. 曲线C的方程为 B. ∠MPN的最小值为120° C. 曲线C的一条弦AB 被点(2，1)平分， 则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡上. 12. 双曲线 上的一点P到一个焦点的距离等于7，那么点P到另一个焦点的距离等于________. 13. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成新的等差数列. 若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第10项为__. 14. 已知正项数列{}是公比不等于1等比数列，且 若 则 __________. 四、解答题：本题共6小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中， （1）求； （2）若，且面积为，求的周长． 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 17. 如图， 在四棱锥中， 四边形是矩形，是正三角形， 且平面平面，为棱的中点. （1）若为棱的中点， 求证：平面； （2）在棱上是否存在点 ，使得平面与平面的夹角的余弦值为若存在，指出点的位置并给以证明； 若不存在，请说明理由. 18. 已知数列的前n项和为数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）令求数列的前n项和； （3）若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 19. 已知抛物线的焦点关于直线的对称点为. （1）求的方程； （2）若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，点为抛物线上异于的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由. （3）过点动直线交抛物线于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$