第17讲 相交线与平行线（6个知识点+8种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第17讲 相交线与平行线（6个知识点+8种题型+过关检测） 知识点1．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点2．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点3．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点4．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点5．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点6．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 题型一、垂线的定义理解 1．（21-22七年级·江苏南通·阶段练习）如图，在同一平面内，，垂足为，则与重合的理由是（   ）．    A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．已知直线的垂线只有一条 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，点在直线上，，，那么的度数是 ． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若射线，求的度数． 题型二、垂线段最短 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）体育课上，立定跳远时，老师丈量小明的成绩时，找到小明踏在沙坑上的离起跳线最近的脚印后跟向起跳线拉垂线段，读出小明的跳远成绩是2.25米，老师这样做的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是 ． 6．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）利用网格仅用无刻度直尺按照要求完成作图并回答问题． (1)过点A作射线的垂线，垂足为点C； (2)过点A作射线的垂线，交射线于点D； (3)比较和的大小，并说明理由． 题型三、对顶角的定义 7．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 8．（20-21七年级上·江苏南京·期末）直线 ，垂足为点O，直线经过点O，若锐角，则 °（用含m的代数式表示）． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线、相交于点，、是内部的两条射线． (1)的对顶角是__________，的补角是__________； (2)若，，是的平分线．求的度数． 题型四、利用邻补角互补求角度 10．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 11．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，两条直线交于点，若，则的度数为 度． 12．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点，，在同一条直线上，，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型五、同位角、内错角、同旁内角 13．（22-23七年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，与的关系是（   ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．以上都不是 14．（21-22七年级上·全国·单元测试）如图，与是同位角的是 ，与是内错角的是 ． 15．（20-21七年级上·江苏扬州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图： （1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E； （2）线段 的长度是点C到AB的距离； （3）求三角形ABC的面积． 题型六、平面内两直线的位置关系 16．（2023七年级上·江苏·专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ． 17．（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列说法正确的是（   ） A．一点确定一条直线 B．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 C．若，则为的中点 D．不相交的两条直线相互平行 题型七、平行公理的应用 18．（2023七年级上·江苏·专题练习）如果，那么 ． 19．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．不相交的两条直线必平行 20．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 题型八、两直线平行同旁内角互补 21．（22-23七年级·江苏淮安·阶段练习）如图，一条“U”型水管中，若，则应该等于（   ） A． B． C． D． 22．（22-23七年级·江苏镇江·期中）如图，，，则的度数为 ．    23．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）如图，，且．试判断与的位置关系，并说明理由． 一、单选题 1．如图，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的同位角是（     ）    A． B． C． D． 3．下图中的和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论：①线段是点A到直线的距离；②线段的长是点P到直线l的距离；③三条线段中，最短；④点C到直线的垂线段是线段，其中，正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．③④ D．①②③④ 6．如图，已知，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点在直线上，直线，，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，，下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．②④ C．②③④ D．② 二、填空题 11．的邻补角是，，则的度数为 ． 12．如图，直线a，b相交于点O，∠1=130°，则∠2的度数是 ． 13．如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为 ． 14．如图，点B，C在直线l上，且BC＝6cm，△ABC的面积为18cm2．若P是直线l上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为 cm． 15．已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ． 16．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是 . 17．著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜．小美同学在网上查阅资料得知，斜塔与地面所成的较小的角为，那么，它与地面所成的较大的角的度数是 ． 18．如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号） 三、解答题 19．如图，已知，直线分别交、于、，平分，若，求的度数． 20．如图，平面上的三个点A，B，D．按照下列要求画出图形：    (1)作直线，射线，连接； (2)在射线上作点C，使； (3)在中，最短的线段是______，依据是______． 21．潜江市城区交通便利，四通八达，其中东荆大道是市西外环主干道，章华南路是进入市区中心的主干道，这两道路近似平行，两条道路之间有潜阳西路和潜阳中路连通，这些道路都近似笔直的，地图示意图如图1所示，现将其抽象成数学图形如图2所示，为东荆大道，为潜阳西路，为潜阳中路，为章华南路，张老师开车从点A处出发去章华南路上的点E处办事，行驶至路口B处向右拐约到潜阳西路上，又在路口C处右拐约到潜阳中路上，那么张老师在路口D处怎样走可到达目的地？ 22．如图，点E为线段上的点，点为线段上的点，连接，，，已知，，试说明． 解：∵（已知）， ， （等量代换）， （同位角相等、两直线平行）， （ ）， 又（已知） （等量代换） 　 　． 23．如图，已知FE⊥ AB，CD⊥ AB，∠ 1＝∠ 2，求证：∠AGD＝∠ACB． 证明：FE⊥ AB，CD⊥ AB（已知） ∴∠CDB＝∠FEB＝90°（ ） ∴ （ ） ∴∠ 2＝ （ ） 又∵∠ 1＝∠ 2（已知） ∴∠ 1＝ （ ） ∴（ ） ∴∠AGD＝∠ACB（ ） 24．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 25．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值； (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数； (3)若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值． 26．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点． 【猜想验证】（1）如图1，转至某刻，，，则____； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯射线到达之前，灯转动几秒时，？ 【实践创新】（3）交相辉映处，饱读长安城，小明设想处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 相交线与平行线（6个知识点+8种题型+过关检测） 知识点1．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点2．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点3．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点4．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点5．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点6．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 题型一、垂线的定义理解 1．（21-22七年级·江苏南通·阶段练习）如图，在同一平面内，，垂足为，则与重合的理由是（   ）．    A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．已知直线的垂线只有一条 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解 【分析】此题主要考查了垂线的性质，正确掌握垂线的性质是解题关键． 直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案． 【详解】解：在同一平面内，，垂足为， 则与重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，点在直线上，，，那么的度数是 ． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了垂线以及角的计算，根据垂直的定义得到，得到，根据已知条件即可得到结论，正确把握垂线的定义是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∵，即：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若射线，求的度数． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】（）利用对顶角的性质和角平分线的定义即可求解； （）分在直线的上方和下方两种情况，画出图形解答即可求解； 本题考查了垂线、对顶角、角平分线的定义，掌握垂线的定义、对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线相交于点，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：当在直线的上方时，如图， ∵， ∴， ∴； 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 题型二、垂线段最短 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）体育课上，立定跳远时，老师丈量小明的成绩时，找到小明踏在沙坑上的离起跳线最近的脚印后跟向起跳线拉垂线段，读出小明的跳远成绩是2.25米，老师这样做的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短解题即可． 【详解】解：立定跳远时，老师丈量小明的成绩时，找到小明踏在沙坑上的离起跳线最近的脚印后跟向起跳线拉垂线段，读出小明的跳远成绩是2.25米，老师这样做的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是 ． 【答案】/ 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了垂线段最短，利用垂线段最短求解． 【详解】解：根据垂线段最短可得，需要测量的线段是； 故答案为：． 6．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）利用网格仅用无刻度直尺按照要求完成作图并回答问题． (1)过点A作射线的垂线，垂足为点C； (2)过点A作射线的垂线，交射线于点D； (3)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由解析 【知识点】垂线段最短、画垂线 【分析】（1）直接利用垂线的作法得出答案； （2）取格点E，连接交于点D即可； （3）利用垂线的性质得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三、对顶角的定义 7．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角．根据对顶角的定义分析即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知， 图中的和是对顶角， 故选：B． 8．（20-21七年级上·江苏南京·期末）直线 ，垂足为点O，直线经过点O，若锐角，则 °（用含m的代数式表示）． 【答案】或 【知识点】对顶角的定义、对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，掌握其性质是解本题的关键． 对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．根据题意，利用对顶角的性质通过计算解出答案． 【详解】由题意，需讨论以下两种情况： ①如图1 ∵， ∴ ； ∵与是对顶角; ∴, ∴． ②如图2 ∵， ∴； ∵与是对顶角， ∴， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线、相交于点，、是内部的两条射线． (1)的对顶角是__________，的补角是__________； (2)若，，是的平分线．求的度数． 【答案】(1)；、 (2) 【知识点】对顶角的定义、求一个角的补角、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了对顶角、补角的概念，角平分线的定义，角的和差计算； （1）根据对顶角、补角的概念可得答案； （2）首先求出和的度数，再根据角平分线定义求出，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：的对顶角是，的补角是、； 故答案为：；、． （2）∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 题型四、利用邻补角互补求角度 10．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】先根据邻补角的定义求出，再根据折叠的性质即可求解；本题主要考查了邻补角的性质，折叠的性质． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，两条直线交于点，若，则的度数为 度． 【答案】140 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，根据角度之间的关系先求出，再根据平角可得到结果，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：140． 12．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点，，在同一条直线上，，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用邻补角互补求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算，角的平分线，角的和差关系； （1）根据题意，得到结合，分别是，的平分线得．结合计算即可； （2）根据，，得到，结合计算即可． 【详解】（1）根据题意， 得到， ∵，分别是，的平分线 ∴． ∵, ∴； （2）∵，， ∴， ∵ ∴． 题型五、同位角、内错角、同旁内角 13．（22-23七年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，与的关系是（   ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．以上都不是 【答案】C 【知识点】相交线、同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同旁内角的定义进行判断．同旁内角是在截线的同旁，又都在被截两直线之间的角． 【详解】与在被截线与之间，在截线的同旁，属于同旁内角． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同旁内角，解决问题的关键是熟练掌握同旁内角的定义． 14．（21-22七年级上·全国·单元测试）如图，与是同位角的是 ，与是内错角的是 ． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角与内错角的定义分析即可求解．同位角的概念：两条直线，被第三条直线所截（或说，相交），在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角 【详解】解：与是同位角的是，与是内错角的是 故答案为：，． 【点睛】本题考查了同位角与内错角，熟练掌握同位角与内错角的定义是解题的关键． 15．（20-21七年级上·江苏扬州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图： （1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E； （2）线段 的长度是点C到AB的距离； （3）求三角形ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）CF；（3）3 【知识点】画垂线、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系 【分析】（1）根据网格的特点即可作图，画出直线CD，CE，标出F点的位置； （2）根据点到直线的距离的定义即可判断； （3）根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】(1) 如图，直线CD，CE为所求，F点为所求； (2)由图可知，线段CF的长度是点C到AB的距离； 故答案为：CF； (3)△ABC的面积为3． 【点睛】此题主要考查直线、线段、垂线的作图，解题的关键是熟知垂线的定义． 题型六、平面内两直线的位置关系 16．（2023七年级上·江苏·专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ． 【答案】平行或相交 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交， 故答案为：平行或相交． 17．（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列说法正确的是（   ） A．一点确定一条直线 B．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 C．若，则为的中点 D．不相交的两条直线相互平行 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、两点确定一条直线、平面内两直线的位置关系、角的概念理解 【分析】本题考查直线的性质，角的定义，线段的中点的定义，平行的定义，掌握相关知识点，逐一进行判断，是解题的关键． 【详解】解：A、两点确定一条直线，故A选项错误； B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故B选项正确； C、若，且点在线段上，则为的中点，故C选项错误； D、同一平面内，不相交的两条直线相互平行，故D选项错误； 故选B． 题型七、平行公理的应用 18．（2023七年级上·江苏·专题练习）如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行于同一直线的两直线平行是解题的关键． 【详解】解：如果，那么（平行于同一直线的两直线平行）， 故答案为：． 19．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．不相交的两条直线必平行 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质、定义、平行公理及推论，根据平行线的性质、定义、平行公理及推论判断即可． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误； B、平行于同一条直线的两直线平行，故此选项正确； C、两条直线被第三条直线所截，只有被截线互相平行时，才同位角相等，故此选项错误； D、同一平面内，不相交的两条直线必定平行，故此选项错误． 故选：B． 20．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【知识点】平行公理的应用、画垂线、作线段(尺规作图) 【分析】（1）根据网格作图即可； （2）根据网格作图即可； （3）根据网格作图即可. 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图见（1） （3）如图： 故符合题意的点F有6个. 故答案为：6 【点睛】本题考查了直线、射线、线段及平行公理的应用，解题的关键是准确作出图形. 题型八、两直线平行同旁内角互补 21．（22-23七年级·江苏淮安·阶段练习）如图，一条“U”型水管中，若，则应该等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键． 22．（22-23七年级·江苏镇江·期中）如图，，，则的度数为 ．    【答案】/55度 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】由两直线平行同旁内角互补得，然后把代入计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． 23．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）如图，，且．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见详解 【知识点】同位角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补、内错角相等两直线平行 【分析】根据同位角相等两直线平行可得，即可得，进而可得，再根据内错角相等，两直线平行，即可证明． 【详解】，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判断与性质，掌握同位角相等两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，是解答本题的关键． 一、单选题 1．如图，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是角的和差运算，平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 先证明，从而可得答案． 【详解】解：如图， ． ， 又， ， 故选：D． 2．如图，的同位角是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角的识别，解答此类题确定同位角是关键，可直接从截线入手．根据若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角求解即可． 【详解】解：的同位角是． 故选B． 3．下图中的和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．本题考查同位角的定义，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．根据定义，逐一判断． 【详解】解：A、、的两边都不在同一条直线上，不是同位角； B、、的两边都不在同一条直线上，不是同位角； C、、有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角； D、、的两边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C 4．如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】该题主要考查了平行线的性质，解题的关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 根据两直线平行，内错角相等即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 5．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论：①线段是点A到直线的距离；②线段的长是点P到直线l的距离；③三条线段中，最短；④点C到直线的垂线段是线段，其中，正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：①线段的长度是点A到直线的距离，原来的说法错误； ②线段的长是点到直线的距离，正确； ③，，三条线段中，最短，正确； ④点C到直线的垂线段是线段，正确． 故选：A． 6．如图，已知，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平行线的性质，可得，，得到，根据即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ， 故选D． 7．如图，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键的熟练掌握平行线的性质．由平行线的性质得出，，即可求出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 故选：C． 8．如图，点在直线上，直线，，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义等知识点．根据平角可求，进而根据平行线的性质即可求出的度数．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9．如图，在中，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义、角平分线的定义，由平行线的性质结合可得，即可判断①；由垂线的定义可得，从而得出，，结合，即可判断③；由平行线的性质可得，从而得出，即可判断②；由已知条件无法证出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，故①正确，符合题意； ， ， ，， ， ，故③正确，符合题意； ， ， ， 平分，故②正确，符合题意； 由已知条件无法证出，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：C． 10．如图，，下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．②④ C．②③④ D．② 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、对顶角相等 【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：由，不能判定， 故①不符合题意； ，， ， ， 故②符合题意； 由，，不能判定， 故③不符合题意； ，， ， ， 故④符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键． 二、填空题 11．的邻补角是，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】根据邻补角的性质求解即可． 【详解】解：的邻补角是， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，熟记概念是解题的关键． 12．如图，直线a，b相交于点O，∠1=130°，则∠2的度数是 ． 【答案】130°/130度 【知识点】对顶角相等 【分析】直接利用对顶角的性质得出答案． 【详解】解：∵直线a，b相交于点O，∠1=130°， ∴∠2=∠1=130°． 故答案为：130°． 【点睛】此题主要考查了对顶角，正确掌握对顶角的性质：对顶角相等是解题的关键． 13．如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，过点作，根据平行公理，则，根据，则，根据平行线的性质，则，根据角平分线的性质，则，，推出，在根据平行线的性质，得到，，根据，即可． 【详解】解：过点作， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵与的角平分线交于点 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 14．如图，点B，C在直线l上，且BC＝6cm，△ABC的面积为18cm2．若P是直线l上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为 cm． 【答案】6 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短知，当AP⊥BC时，AP的长度最小．从而由三角形的面积公式可求出AP，即三角形ABC的高； 【详解】 解：根据垂线段最短知，当AP⊥BC时，AP的长度最小， 此时△ABC的面积为18cm2， 即，可得， 解得：（cm）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查垂线段最短，明确当AP⊥BC时，AP的长度最小是关键． 15．已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ． 【答案】 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意可得有两条直线，共有2对对顶角，而；有三条直线，共有6对对顶角，而；有四条直线，共有12对对顶角，而；……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：有两条直线，共有2对对顶角，而； 有三条直线，共有6对对顶角，而； 有四条直线，共有12对对顶角，而； ……； 当有n条直线相交于一点时，共有对对顶角； 故答案为：． 16．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是 . 【答案】同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据同位角相等，两直线平行即可证得． 【详解】如图所示， 由题意得，， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 17．著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜．小美同学在网上查阅资料得知，斜塔与地面所成的较小的角为，那么，它与地面所成的较大的角的度数是 ． 【答案】/95度 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】比萨斜塔与地面所成的较小的角是，它与地面所成的较大的角与较小的角互补，因而与地面所成的较大的角是95度．此题考查了邻补角的定义．理解较小的角与较大角的含义及两者间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：比萨斜塔与地面所成的较大的角与较小的角是邻补角，且它与地面所成的较小的角是， ∴， 比萨斜塔与地面所成的较大的角是． 故答案为：． 18．如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④根据现有条件无法证明． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ，即，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ， 由①知， ，故③正确； 根据现有条件，无法证明，故④错误； 其中正确的有：①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 19．如图，已知，直线分别交、于、，平分，若，求的度数． 【答案】59° 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，由平行线的性质可得到的度数，再由角平分线的定义可得到的度数，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解， ， ， 平分， ， ， ， ． 20．如图，平面上的三个点A，B，D．按照下列要求画出图形：    (1)作直线，射线，连接； (2)在射线上作点C，使； (3)在中，最短的线段是______，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短 【分析】（1）按照要求分别作出直线，射线，线段．注意直线没有端点，射线一个端点，线段两个端点； （2）作即可； （3）在两点之间所有的连线中，垂线段最短． 【详解】（1）解：直线，射线，线段如图：   ； （2）解：点C，如图所示； （3）解：在中，最短的线段是，依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【点睛】本题考查直线，射线，线段的作法，及两点之间线段最短这一基本事实，注意端点个数解题的关键． 21．潜江市城区交通便利，四通八达，其中东荆大道是市西外环主干道，章华南路是进入市区中心的主干道，这两道路近似平行，两条道路之间有潜阳西路和潜阳中路连通，这些道路都近似笔直的，地图示意图如图1所示，现将其抽象成数学图形如图2所示，为东荆大道，为潜阳西路，为潜阳中路，为章华南路，张老师开车从点A处出发去章华南路上的点E处办事，行驶至路口B处向右拐约到潜阳西路上，又在路口C处右拐约到潜阳中路上，那么张老师在路口D处怎样走可到达目的地？ 【答案】张老师在路口D处应该向右拐到达目的地 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点C作，利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴张老师在路口处右拐约后可到达目的地． 22．如图，点E为线段上的点，点为线段上的点，连接，，，已知，，试说明． 解：∵（已知）， ， （等量代换）， （同位角相等、两直线平行）， （ ）， 又（已知） （等量代换） 　 　． 【答案】对顶角相等；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】求出，推出，根据平行线性质推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】证明：（已知）， （对顶角相等）， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生灵活运用性质进行推理的能力． 23．如图，已知FE⊥ AB，CD⊥ AB，∠ 1＝∠ 2，求证：∠AGD＝∠ACB． 证明：FE⊥ AB，CD⊥ AB（已知） ∴∠CDB＝∠FEB＝90°（ ） ∴ （ ） ∴∠ 2＝ （ ） 又∵∠ 1＝∠ 2（已知） ∴∠ 1＝ （ ） ∴（ ） ∴∠AGD＝∠ACB（ ） 【答案】垂直定义；CD，FE，同位角相等，两直线平行；，两直线平行，同位角相等；，等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】先证得，再证得，从而证得结论 【详解】证明：∵（已知） ∴（垂直定义） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵ ，（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，熟练掌握性质及判定是解题关键． 24．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）如图，过点C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值； (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数； (3)若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类列出方程计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴，； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 26．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点． 【猜想验证】（1）如图1，转至某刻，，，则____； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯射线到达之前，灯转动几秒时，？ 【实践创新】（3）交相辉映处，饱读长安城，小明设想处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；（2）45；（3）补全图形见解析，，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念， （1）过点G作，根据平行线的性质得到，然后求出，得到，即可求出； （2）设灯转动几秒时，，根据题意得到，，，，然后求出，然后分点G在左边和点G在右边两种情况，分别根据列方程求解即可； （3）首先根据题意画出图形，然后根据题意表示出，，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点G作，    ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）设灯转动几秒时， ∵灯、灯转动的速度分别是每秒2度、每秒4度 ∴， ∴， ∴当灯射线到达时，秒 ∴ 如图所示，当点G在左边时．    由（1）可得， ∴ 解得，不符合题意，舍去， 如图所示，当点G在右边时．    由（1）可得， ∴ 解得，符合题意， ∴灯转动45秒时，； （3）如图所示，    ∵，分别平分，， ∴， ∴ 由（1）可得，， ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$