精品解析： 2024年湖北省宜昌市五峰土家族自治县中考二模数学试题

2024年春九年级模拟考试数学试题二 考生注意: 闭卷考试，试题共24小题 满分：120分 考试时间：120分钟 请将解答填写在答题卡上指定的位置， 否则答案无效． 一、选择题(下列各小题都给出了四个选项， 其中只有一项符合题目要求， 请将符合要求的选项的字母代号涂填在答题卡上指定的位置．本大题共10小题， 每小题3分， 计30分)． 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）． A. B. C. D. 5. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 8. 如图，用尺规作图作∠BAC的平分线AD，第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；第二步是分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两圆弧交于D点，连接AD，AD即为所求作，请说明△AFD≌△AED的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 9. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2bxc（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1m，2m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0．5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每小题3分，计15分．） 11. 分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______． 13. 如图，点O是的外心，若，求弦所对的圆周角____________． 14. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里． 15. 如图，在矩形中，，点E，F分别在上，连接．将矩形沿折叠，使点D落在边上的点G处，沿折叠，使点B落在AG上的点H处，延长交于点K．连接，则的面积为___________． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分．） 16. 计算：． 17. 如图，D在的边上，，交于点M，． （1）求证：； （2）请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 18. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 5 20 15 8 各组劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息解答下列问题． （1）A组数据的众数是________； （2）本次调查的样本容量是________，B组所在扇形的圆心角的大小是________； （3）若该校有名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数． 19. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 21. 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分面积． 22. 为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示： 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 5 草鱼 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 8 7 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元． （1）求，的值； （2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼斤（销售过程中损耗不计）． ①分别求出每天销售鲢鱼获利（元），销售草鱼获利（元）与的函数关系式，并写出的取值范围； ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低元，草鱼售价全部定为7元斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利（元）的最小值不少于320元，求的最大值． 23. 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接． （1）特例发现：如图1，当，落在直线上时， ①求证：； ②填空：的值为______； （2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点． （1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为． ①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； ②时，的最小值为2，求的值； ③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值． （2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春九年级模拟考试数学试题二 考生注意: 闭卷考试，试题共24小题 满分：120分 考试时间：120分钟 请将解答填写在答题卡上指定的位置， 否则答案无效． 一、选择题(下列各小题都给出了四个选项， 其中只有一项符合题目要求， 请将符合要求的选项的字母代号涂填在答题卡上指定的位置．本大题共10小题， 每小题3分， 计30分)． 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数． 【详解】由于－3<－2<0<1，则最大的数是1 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意； B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意； C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意； D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解． 【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1， ∴灰色区域的面积为, ∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 4. 下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键 【详解】解：∵，，而，， ∴大小在3与4之间的是， 故选：C． 5. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把横坐标加2，纵坐标加1即可得出结果． 【详解】解：将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查点的平移中坐标的变换，把向上（或向下）平移h个单位，对应的纵坐标加上（或减去）h，，把向右上（或向左）平移n个单位，对应的横坐标加上（或减去）n．掌握平移规律是解题的关键． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比例函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键． 8. 如图，用尺规作图作∠BAC的平分线AD，第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；第二步是分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两圆弧交于D点，连接AD，AD即为所求作，请说明△AFD≌△AED的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到AE＝AF，DF＝DE，然后根据全等三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：由作法得AE＝AF，DF＝DE， 而AD为公共边， 所以根据“SSS”可判断△AFD≌△AED． 故选：A． 【点睛】此题考查角平分线的作图方法，全等三角形的判定定理：SSS，熟练掌握角平分线的作图方法是解题的关键． 9. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∵，． ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 10. 定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2bxc（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1m，2m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0．5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①当m=1时，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与y轴交点坐标即可判断；③利用二次函数的性质解答即可；④首先求出对称轴，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1m，2m]的二次函数的解析式为y＝mx2（1-m）x（2-m）， ①当m＝1时，对称轴为直线x==0，故正确； ②∵m=2，∴此时二次函数表达式为y=2x2-x， 令x=0，解得y=0，故二次函数的图象过原点，正确； ③当m>0时，y＝mx2（1-m）x（2-m）是一个开口向上的抛物线，函数有最小值，正确； ④，∵m<0，其对称轴是，抛物线开口向下， ∴在对称轴的右边y随x的增大而减小． 因为m<0，>，即对称轴在x=的右边， 因此函数在x=的右边先递增到对称轴位置，再递减，故错误； 故选C． 【点睛】此类考查了二次函数，问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型． 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每小题3分，计15分．） 11. 分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件可得，求解即可获得答案． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴，解得． 故答案为：． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识，正确求得，是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系，可解得，，再将转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，点O是的外心，若，求弦所对的圆周角____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，分两种情况：当是锐角三角形时；当是钝角三角形时，分别求解即可得解． 【详解】解：当是锐角三角形时， ∵， ∴， 当是钝角三角形时， ∵， ∴， 综上所述，弦所对的圆周角为或， 故答案为：或． 14. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作交于点，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意可知,， 设为x， ，， 根据，可得方程， 解得， 渔船与灯塔C的最短距离是海里， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，点E，F分别在上，连接．将矩形沿折叠，使点D落在边上的点G处，沿折叠，使点B落在AG上的点H处，延长交于点K．连接，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换问题和解直角三角形等知识，由折叠的性质得到对应的边、角相等，再由矩形的性质得到直角三角形，利用勾股定理在中求出长，在中求出的长，即为的长，再利用的对边比邻边，得到的值；由折叠的性质得到，由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形沿折叠，使点D落在边上G处， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则， 同理得：， 在中，， ∴， ∵矩形沿折叠，使点B落在上点处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、乘方的意义进行化简，再计算加减即可， 掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 17. 如图，D在的边上，，交于点M，． （1）求证：； （2）请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：， ， 在和中 ， ， ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系是解题的关键； （1）根据平行线的性质得，证明，根据全等三角形对应边相等得出答案； （2）先判断四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）得： ，， 四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 18. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 5 20 15 8 各组劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息解答下列问题． （1）A组数据的众数是________； （2）本次调查的样本容量是________，B组所在扇形的圆心角的大小是________； （3）若该校有名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数． 【答案】（1） （2）60， （3）人 【解析】 【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可； （2）利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数，再用乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小； （3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过的人数． 【小问1详解】 解：∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了3次， ∴A组数据的众数是； 故答案为：0.4 【小问2详解】 由题意可得，本次调查的样本容量是, 由题意得， ∴B组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：60， 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校学生劳动时间超过的大约有860人． 【点睛】此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键． 19. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 （2）M点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， 经检验，是方程的解， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． 21. 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分面积． 【答案】 （1）证明：连接． ∵，． ∴． ∵是的半径， ∴是切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可； （2）由已知条件得出，利用特殊角锐角三角函数求出OD、OG的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求即可． 【详解】.（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据题意求出是解题关键． 22. 为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示： 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 5 草鱼 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 8 7 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元． （1）求，的值； （2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼斤（销售过程中损耗不计）． ①分别求出每天销售鲢鱼获利（元），销售草鱼获利（元）与的函数关系式，并写出的取值范围； ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低元，草鱼售价全部定为7元斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利（元）的最小值不少于320元，求的最大值． 【答案】（1）；（2）①；；②0.25 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进而即可求解； （2）①根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数解析式，即可；②根据题意列出W关于x的一次函数关系式，参数为m，结合一次函数的性质，得到关于m的不等式，进而即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， （2）①． 当时，即：，； 当时，即：，． ∴， ②由题意得，其中． ∵当时，．不合题意． ∴． ∴随的增大而增大． ∴当时，的值最小， 由题意得． 解得：． ∴的最大值为0.25． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系；列出方程组以及一次函数解析式，是解题的关键． 23. 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接． （1）特例发现：如图1，当，落在直线上时， ①求证：； ②填空：的值为______； （2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长． 【答案】 （1）①证明：延长交于点． 由折叠得． ∴． ∵， ∴． ②1； （2）． 理由：延长交于点， 由折叠得． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据折叠性质证明即可；②当，证明，即可得出的值； （2）延长交于点，根据折叠性质证明，即可得出结论； （3）由（2）可知，设，则，，，可得，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）①略 ②当，即时， 可知AC=BC， 在和中， ， ∴(AAS)， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）略 （3）解：由折叠得，， ∵是的中点， ∴， ∴，，， 由（2）知， ∴， ， 是的中点， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点． （1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为． ①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； ②时，的最小值为2，求的值； ③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值． （2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值 （2）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案； ②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可； ③把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案． 【小问1详解】 ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ①抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； ②当，即时，随增大而减小， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为， 当时，则若时，的最小值为，不符合题意， 当时，随增大而增大， 由题意得：， 解得：（舍去），， ∴的值为1， 综上所述，的值为或1； ③由题意得：当时，则， ∵经过点， ∴，可得， ∴， 由，可得，， 设点，且， ∵轴， ∴， 可得：，则， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵直线：经过点、， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， 联立方程得：， 解得：，， 当时，， ∴， 当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图， 则，， ∵， ∴， 即， ∴， 化简得：， 令， 解得：（舍去），， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图， 则，， ∵， ∴， 即， ∴， 化简得：， 令， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $