精品解析：云南省昭通市威信县2024-2025学年上学期九年级期中考试数学 试卷

2024年秋季学期九年级期中考试 数 学 （全卷共三个大题，27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，正确记忆“如果一个图形绕着某一点旋转后，能够与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形”是解题关键．根据中心对称图形的概念和各个图形的特点即可求解． 【详解】解：A、选项中的图案符合中心对称图形的概念； B、选项中的图案不符合中心对称图形的概念； C、选项中的图案不符合中心对称图形的概念； D、选项中的图案不符合中心对称图形的概念； 故选：A． 2. 下列函数关系式中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】解：A. 分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． B. 当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C. 最高次数是3，不是二次函数，故此选项不符合题意； D. 是二次函数，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴Δ=[（2k-1）]2-4（k2-2）=-4k+9≥0， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键． 5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象确定出a的符号，进而判断二次函数的图象开口方向，再结合两个图象的交点即可判断求解，掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、由于一次函数和二次函数的图象都经过点，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，且图象都经过点，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向下，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y取最大值 C. 抛物线与y轴交于点 D. 抛物线与x轴有1个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴抛物线的开口向上，选项A正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，y取最小值，选项B错误，符合题意； ∵当时，， ∴抛物线与y轴交于点，选项C正确，不符合题意； 当时，得到方程， ∵， ∴抛物线与x轴有一个交点，故选项D正确，符合题意， 故选：B． 7. 二次函数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的最值．把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 【详解】二次函数可化为：，且开口向上， 二次函数的最小值为． 故选：C． 8. 某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的运用，掌握“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）成为解题的关键． 根据“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）”再结合题中数据列出方程即可． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x, 则2022的教育经费为：万元， 2023的教育经费为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 9. 将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了二次函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可． 先求出新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值． 【详解】解：∵， ∴新抛物线的顶点为， ∵二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为， ∴原抛物线的顶点为， 设原抛物线的解析式为， 代入得：， ∴，． 故选：C． 10. 已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标； 先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：的对称轴为， ，关于直线对称 ∴A点的坐标是， 线段的长度； 故选：D． 11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 12. 直线和抛物线都经过点，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数交点解不等式，掌握一次函数、二次函数图象和性质是解题的关键． 根据题意作图，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图， ∴根据图象可知，不等式的解集为或； 故选：D． 13. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（　　） A. （2，5） B. （5，2） C. （2，﹣5） D. （5，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论． 【详解】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′， ∴△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°， ∴AO=A′O. 作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′， ∴∠ACO=∠A′C′O=90°. ∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′， ∴∠AOC=∠A′OC′. 在△ACO和△A′C′O中， ， ∴△ACO≌△A′C′O(AAS)， ∴AC=A′C′,CO=C′O. ∵A(−2,5)， ∴AC=2，CO=5， ∴A′C′=2,OC′=5， ∴A′(5,2) 故选B 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键． 14. 将函数的图象向右平移1个单位，平移后的图象过点，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图像和性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 确定抛物线平移后的函数解析式，根据二次函数的性质：抛物线开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位得到， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∵离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， 故选：B． 15. 二次函数的图象如图，对称轴是直线．有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当时，，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当时，，然后代入即可判断⑤； 【详解】解：由图象可知：；对称轴是直线， 根据对称轴在y轴左侧，a、b同号，可得， ∴， 故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴； 故②正确； 对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； 故③正确； 当时，，即， 故④错误； 由图象可得：当时，，即， 故⑤错误． 综上，正确的有①②③． 故答案为：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分〉 16. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得， 故答案为： 17. 一元二次方程有一根为4，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程求解． 【详解】解：把代入得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题关键是掌握使等式左右两边相等的未知数的值是方程的解． 18. 抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是_____． 【答案】（-1，0）． 【解析】 【详解】解：在 ∵y=x2+2x+1=（x+1）2 故顶点坐标是（-1，0）． 故答案为：（-1，0）． 【点睛】本题考查二次函数的性质． 19. 已知方程的两个根为和5，则抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】本题要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系．根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根， ∵方程的两个根为和5， ∴的图象与x轴的交点的横坐标为和5， 则对称轴为直线， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴ 则或， 解得， 【小问2详解】 ∴， 则 ∴或， 解得， 21. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ， ∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴， ， ， 在和中， ， ． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，即可得到结论． 【详解】略 22. 如图，三个顶点的坐标分别为，，， （1）请画出绕A点逆时针旋转90度得到的图形； （2）请写出关于原点O成中心对称的图形三个点的坐标； （3）在x轴上求一点P，使的值最小． 【答案】（1）如图，即为所求． （2），， （3） 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图−旋转变换、轴对称−最短路线问题、中心对称，熟练掌握旋转、轴对称和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质可得出答案． （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接AP，此时的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵与关于原点O成中心对称，，，， ∴，，； 【小问3详解】 略 23. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）设该方程的两个根分别是、，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴方程总有实数根； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系． （1）根据判别式，即可得到结果； （2）由根与系数的关系及，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意有， ∵， ∴， 解得． 故m的值为2． 24. 春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过33元．根据以往的销售经验发现，当每副春联的售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副． （1）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润为2000元？ （2）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每副春联的售价定为30元时，日销售利润为2000元， （2）当每副春联的售价定为33元时，日销售利润最大，最大利润是2210元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）设当每副春联的售价定为x元时，日销售利润为2000元，则销售量为副，再根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可； （2）设售价为m元，每日销售利润为w，则销售量为副，再根据利润（售价进价）销售量列出w关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设当每副春联的售价定为x元时，日销售利润为2000元， 由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：当每副春联的售价定为30元时，日销售利润为2000元； 【小问2详解】 解：设售价为m元，每日销售利润为w， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为， 答：当每副春联的售价定为33元时，日销售利润最大，最大利润是2210元． 25. 如图，已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求的面积取得最大值时，点M的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于点，如图，设 ，则，所以，再根据三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题． 【小问1详解】 解：把、、代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为 把分别代入得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图，设，则， ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． ， ∴． 26. 如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】（1）或秒后，的面积等于； （2）的面积不能等于； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程求解； （2）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程，根据方程有无实数根进行判断即可； （3）设经过x秒，的长度等于，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设后，，. 根据三角形的面积公式列方程， 得：. 解得：，. 当时，，点与点重合，符合题意， 所以或秒后，的面积等于； 【小问2详解】 的面积不能等于， 理由：根据三角形的面积公式列方程， 得：， 整理，得：. ∵， ∴没有实数根， 所以的面积不能等于. 【小问3详解】 根据勾股定理得到，， 得：. 解得：，（不符合题意，舍去）. 所以后，的长度等于． 27. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）求四边形的面积S； （3）在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）P的坐标为或或或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式，化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； 【小问3详解】 设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期九年级期中考试 数 学 （全卷共三个大题，27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数关系式中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y取最大值 C. 抛物线与y轴交于点 D. 抛物线与x轴有1个交点 7. 二次函数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 直线和抛物线都经过点，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 13. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（　　） A. （2，5） B. （5，2） C. （2，﹣5） D. （5，﹣2） 14. 将函数的图象向右平移1个单位，平移后的图象过点，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 15. 二次函数的图象如图，对称轴是直线．有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分〉 16. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 17. 一元二次方程有一根为4，则的值是______． 18. 抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是_____． 19. 已知方程的两个根为和5，则抛物线的对称轴为直线________． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20. 解方程： （1） （2）． 21. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 22. 如图，三个顶点的坐标分别为，，， （1）请画出绕A点逆时针旋转90度得到的图形； （2）请写出关于原点O成中心对称的图形三个点的坐标； （3）在x轴上求一点P，使的值最小． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）设该方程的两个根分别是、，若，求m的值． 24. 春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过33元．根据以往的销售经验发现，当每副春联的售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副． （1）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润为2000元？ （2）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求的面积取得最大值时，点M的坐标． 26. 如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 27. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）求四边形的面积S； （3）在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $