江苏省扬州市京华梅岭中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

12月素养体验 初三年级 数学学科 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，满分150分，考试时间为120分钟.请用0.5mm黑色水笔做完整套试卷，画图必须用2B铅笔. 2.请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置，填在试卷上无效. 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。） 1．下列各式中，y是x的二次函数的为（ ▲ ） A． B． C． D． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ▲ ） A．5、-6、-8 B．5、-6、8 C．6、-5、8 D．6、5、-8 3．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ▲ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，OA交于点B，AD切于点D，点C在上． 若，则为（ ▲ ） A． B． C． D． 5．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则点（a，b+c）位于（ ▲ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 第4题 第5题 第7题 6．11月28日起江苏省正式上线购买手机最高补贴15%的优惠活动，某品牌手机店为响应政府优惠政策，进行了两次降价，由3999元降为3399元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（ ▲ ） A． B． C． D． 7．如图，C为上一点，是的直径，，，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为（ ▲ ） A． B． C． D． 8．某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2-2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ▲ ） A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m2，m4 2． 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。） 9．抛物线的顶点坐标为 ▲ ． 10．若x1，x2是一元二次方程x2+5x-1＝0的两个实数根，则x1+x2= ▲ ． 11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=28°，则∠D= ▲ °． 12．已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是 ▲ ． 13．圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为 ▲ cm2． 14．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝ ▲ °． 15．将抛物线绕顶点旋转180°后，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ▲ ． 16．已知二次函数y＝x2-2x+c的图象经过点P（-1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是 ▲ ． 第11题 第17题 第18题 17．如图所示，边长为1和边长为3的两个正方形内接于圆，则此圆的半径为 ▲ ． 18． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（8，0），点C是△ABO的内心，直线a1、b1分别经过点A、B，且．若直线a1关于AC对称的直线为a2，直线b1关于BC对称的直线为b2，直线a2、b2交于点P，则CP的最大值为 ▲ ． 3． 解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。） 19．（本题满分8分）解下列一元二次方程： （1）x2+2x＝0； （2）2x2-5x+1＝0． 20．（本题满分8分）已知方程是关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当方程有一个根为3时，求m的值和另一个根． 21．（本题满分8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E． （1）求证：BD＝CD； （2）连接BE，若∠A＝45°求∠EBC的度数． 22．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）三点． （1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为 ▲ ； （2）点B绕点C逆时针旋转后的点D的坐标为 ▲ ； （3）在（2）的条件下，点B旋转到点D所经过的路径长为 ▲ ． 23．（本题满分10分）某商场销售一批玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为 ▲ 元，平均每天的销售量为 ▲ 件；（用含x的式子表示） （2）为了赢得市场，尽可能让利于顾客，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？ 24．（本题满分10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像过A（0，4），B（1，6），C（3，4）． （1）求这个二次函数表达式； （2）若P为抛物线上一点，且，求点P的坐标； （3）当x的取值范围为 ▲ 时，y＞-6． 25．（本题满分10分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，DE＝4，求AD的长． 26．（本题满分10分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以（x＞0）为例，构造方法如下： 第一步：将原方程（x＞0）变形为（x＞0）； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为x表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ▲ ． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 图1 画图区 图2 【实践】小明根据赵爽的办法解方程x2+x-6＝0（x＞0），请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程x2+x-6＝0（x＞0）变形为x（ ▲ ）＝6； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为 ▲ ． 27．（本题满分12分）已知抛物线　 （1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的式子表示）； （2）若该抛物线与x轴交于点A、B，当△ABP是等腰直角三角形时，求a的值； （3）将点M（0,4）向右平移3个单位长度，得到点N，若抛物线与线段MN只有一个公共点，求a的取值范围． 备用图 28．（本题满分12分）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）下列说法正确的有 ▲ ．（填序号） ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有R＝． （2）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD． ①该四边形ABCD是“ ▲ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径． 图1 图2 （3）如图2，已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．连接EG，FH交于点P． 若⊙O的半径为1，连接OP，当时，求OP的取值范围． 初三年级 数学学科 第 页，共6页1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12月素养体验答案 初三年级 数学学科 （满分：150分；考试时间：120分钟） 说明：本评分标准每题给出了一种解答供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B B D C D 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9．（-3，-2） ；10. -5 ；11. 62° ；12. k＞1 ；13. 10π ； 14. 90°；15. y=x2+3 ；16. m＜-1或m＞3 ；17. ；18. ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1） x1=0，x2=-2 ； ………………………………4分 （2）， ………………………………8分 20. （1） ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根 ………………………………4分 （2）m=2，另一根为x=-1 ………………………………8分 21. 解：（1）连接AD， ∵AB是直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝DC． ………………………………4分 （2）∵AB为圆O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝＝67.5°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°． ………………………………8分 22. （1）（2，0） ………………………………2分 （2）（4，0） ………………………………5分 （3） ………………………………8分 23.（1）（40﹣x）；（20+2x） ……………………………… 4分 （2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． ………………………………8分 ∵尽可能让利于顾客， ∴x＝20． 答：每件玩具应降价20元． ………………………………10分 24.（1）y=-x2+3x+4 ………………………………3分 （2）P（6，-14）或P（-3，-14） ………………………………7分 （3）-2＜x＜5 ………………………………10分 25.（1）1）证明：如图，连接OD． ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， 又∵AC＝AB，∴DC＝BD， ∴OD是△BAC的中位线． ∴OD∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵OD是半径， ∴DE是⊙O的切线； ………………………………5分 （2）如图，作OF⊥AC于点F， ∵DE⊥OD，DE⊥CF， ∴四边形ODEF为矩形， ∴EF＝OD＝AO＝5，OF＝DE＝4， Rt△OAF中，， ∴AE＝AF+EF＝8， Rt△ADE中，．………………………………10分 26. 【理解】B ……………………………… 2分 【实践】第一步：x+1 ……………………………… 4分 第二步： ……………………………… 6分 后续解题过程： 大正方形的面积可表示为（x+x+1）2，也可表示为4x（x+1）+12＝4×6+1， ∴（x+x+1）2＝4×6+1， ∵x表示边长（或x＞0）， ∴2x+1＝5， 解得x＝2； ………………………………8分 （3）1或3 ………………………………10分 27.解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴抛物线的顶点P的坐标为（1，﹣4a）； ………………………………3分 （2）在y＝ax2﹣2ax﹣3a中，令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交点A（﹣1，0）、B（3，0）， 当△ABP是等腰直角三角形时，由抛物线对称性可知只能PA＝PB，∠APB＝90°， 设抛物线对称轴交x轴于点H，则PH⊥AB， ∴AH＝BH，∴H（1，0）， ∴PH＝AB＝×[3﹣（﹣1）]＝2，∴|﹣4a|＝2， 解得：a＝±． ………………………………7分 （3）∵将点M（0，4）向右平移3个单位长度，得到点N， ∴N（3，4）， 若a＞0，则抛物线开口向上， NB⊥x轴，抛物线与线段MN不可能相交， 画出示意图如图1， ………………………………8分 因此只考虑a＜0，分两种情况： ①线段MN与抛物线相切，此时顶点P在线段MN上， ∵MN∥x轴，MN上点的纵坐标都是4， ∴﹣4a＝4， ∴a＝﹣1； ②抛物线与y轴的交点在点M的上方， 对于抛物线，当x＝0时，y＝a×02﹣2a×0﹣3a＝﹣3a， 根据题意得：﹣3a＞4， 解得：a＜﹣， 综上所述，a的取值范围是：a＝﹣1或a＜﹣．………………………………12分 28.（1）②③ ………………………………1+1=2分 （2） ①外接型单圆 ………………………………4分 ②如图1，连接AF． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴，， ∴∠1+∠2＝90°， 由同弧所对的圆周角相等可得∠2＝∠3， ∴∠1+∠3＝90°，即∠EAF＝90°． ∴EF是⊙O的直径 ………………………………8分 （3） ………………………………12分 （过程略） 学科网（北京）股份有限公司 $$